备战高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展练习专题46直线与圆圆与圆的位置关系.docx

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备战高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展练习专题46直线与圆圆与圆的位置关系

专题46直线与圆、圆与圆的位置关系

【热点聚焦与扩展】

高考对圆的方程的考查，一般是以小题的形式出现，也有与向量、圆锥曲线等相结合的问题．纵观近几年的高考试题，主要考查以下几个方面：

一是考查圆的方程，要求利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决相关问题；二是考查直线与圆的位置关系，高考要求能熟练地解决圆的切线问题，弦长问题是高考热点，其中利用由圆心距、半径与半弦长构成的直角三角形，是求弦长问题的关键．三是判断圆与圆的位置关系，确定公共弦所在的直线方程.近几年多与圆锥曲线问题综合考查.本专题通过例题说明关于直线与圆、圆与圆的位置关系问题的解法与技巧.

1、定义：

在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆

2、圆的标准方程：

设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为：

3、圆的一般方程：

圆方程为

（1）的系数相同

（2）方程中无项

（3）对于的取值要求：

4、直线与圆位置关系的判定：

相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式：

（1）几何性质：

通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系，设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则：

①当时，直线与圆相交

②当时，直线与圆相切

③当时，直线与圆相离

（2）代数性质：

可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系，即联立直线与圆的方程，再判断解的个数.设直线：

，圆：

，则：

消去可得关于的一元二次方程，考虑其判别式的符号

①，方程组有两组解，所以直线与圆相交

②，方程组有一组解，所以直线与圆相切

③，方程组无解，所以直线与圆相离

5、直线与圆相交：

弦长计算公式：

6、直线与圆相切：

（1）如何求得切线方程：

主要依据两条性质：

一是切点与圆心的连线与切线垂直；二是圆心到切线的距离等于半径

（2）圆上点的切线结论：

①圆上点处的切线方程为

②圆上点处的切线方程为

（3）过圆外一点的切线方程（两条切线）：

可采取上例方法二的做法，先设出直线方程，再利用圆心到切线距离等于半径求得斜率，从而得到方程.（要注意判断斜率不存在的直线是否为切线）

7、与圆相关的最值问题

（1）已知圆及圆外一定点，设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为，最大值为（即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点.

（2）已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.

（3）已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于

（4）已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为.

8、圆与圆的位置关系：

外离，外切，相交，内切，内含

（1）可通过圆心距离与半径的关系判定：

设圆的半径为，

①外离

②外切

③相交

④内切

⑤内含

（2）可通过联立圆的方程组，从而由方程组解的个数判定两圆位置关系.但只能判断交点的个数.例如方程组的解只有一组时，只能说明两圆有一个公共点，但是外切还是内切无法直接判定

【经典例题】

例1.【2016高考山东】已知圆M：

截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：

的位置关系是（）

（A）内切（B）相交（C）外切（D）相离

【答案】B

【解析】

试题分析：

由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以，解得，圆的圆心为，半径为，所以，，，因为，所以圆与圆相交，故选B．

例2.【2018届湖北省华师一附中调研】已知圆C：

（）及直线：

，当直线被C截得的弦长为时，则=（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】由题意，得，解得，又因为，所以；故选C.

例3.【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高考综合卷

（一）】已知两点，（），若曲线上存在点，使得，则正实数的取值范围为（）

A.B.C.D.

【答案】B

例4.已知直线上总存在点，使得过点作的圆：

的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是（）

A.或B.C.D.或

【答案】C

【解析】

如图，设切点分别为A，B．连接AC，BC，MC，由及知，四边形MACB为正方形，故若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心到直线的距离，即∴，故选C．

例5.过点作圆的弦，其中最短的弦长为.

【答案】.

点睛：

数形结合思想的应用，是解析几何的重要特征，解题过程中要通过分析题目的条件和结论，灵活的加以转化.

例6．【2016高考新课标3】已知直线：

与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.

【答案】4

【解析】因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．

例7．已知圆，圆，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．

【答案】,.

【解析】将两圆方程相减得相交弦的方程为：

.

将配方得：

，圆心到公共弦的距离为.所以弦长为.

例8.求过点的圆的切线方程

【答案】，.

点睛：

求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程．若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．

例9.已知点及圆：

.

①若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；

②设过点P的直线与圆交于、两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；

③设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？

若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

【答案】①或；②；③不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.

【解析】①设直线的斜率为（存在），

则方程为.即

又圆C的圆心为，半径，

由，解得.

所以直线方程为，即.

当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件

②由于，而弦心距，所以.

即，解得．

则实数的取值范围是.

设符合条件的实数存在，由于垂直平分弦，故圆心必在上．

所以的斜率，而，所以．

由于，故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．

例10.已知半径为2，圆心在直线上的圆C.

（Ⅰ）当圆C经过点A（2,2）且与轴相切时，求圆C的方程；

（Ⅱ）已知E（1，1）,F（1，-3）,若圆C上存在点Q，使,求圆心的横坐标的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）因为原心在直线上故可设原心为，则可根据圆心和圆上的点的距离为半径列出方程。

又因为此圆与轴相切则，解方程组可得。

（Ⅱ）设，根据可得，即点在直线上。

又因为点在圆上，所以直线与圆必有交点。

所以圆心到直线的距离小于等于半径。

试题解析：

解:

（Ⅰ）∵圆心在直线上，

∴可设圆的方程为，

其圆心坐标为（；2分

∵圆经过点A（2,2）且与轴相切，

∴有

解得，

所以圆的横坐标的取值范围是

【精选精练】

1.已知条件：

，条件：

直线与圆相切，则是的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

【答案】C

【解析】由，可得直线为.所以圆心（0,0）到该直线的距离等于半径，所以直线与圆相切.所充分性成立.当直线与圆相切，可解得.所以必要性成立.综上是的充要条件.

2.已知圆与直线有两个交点，则正实数的值可以为（）

A.B.C.1D.

【答案】D

【解析】圆化为标准方程即，由题意，圆心到直线的距离，结合选项，可得D正确，故选D.

3.已知圆，当圆的面积最小时，直线与圆相切，则（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

4.若直线与圆相切，且为锐角，则这条直线的斜率是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由题意：

，所以，

因为且为锐角，所以，

所以直线的斜率是，故选A．

5.已知圆与直线相切于第三象限，则的值是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】由已知有圆心到直线的距离为1,所以有,当时,圆心为在第一象限,这时切点在第一象限,不符合;当时,圆心为在第三象限,这时切点也在第三象限,符合,所以.选B.

6.【2018届安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等十校联考】设直线与圆交于两点，过分别作轴的垂线与轴交于两点.若线段的长度为，则（）

A.或B.或C.或D.或

【答案】D

7.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.

8.已知点，，在圆上运动，且.若点的坐标为，则的取值范围为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】由题意知AC是圆的直径，所以O是AC中点，故，PO的长为5，所以,显然当B在PO上时，有最小值，当B在PO的延长线上时，有最大值，故选C．

9.过定点的直线：

与圆：

相切于点，则__．

【答案】4

【解析】直线：

过定点，的圆心，半径为：

3；定点与圆心的距离为：

．过定点的直线：

与圆：

相切于点，则．

10.【2018届江苏省泰州中学月考】知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是__________．

【答案】

11.已知圆关于直线对称的圆为.

（1）求圆的方程；

（2）过点作直线与圆交于两点，是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形中？

若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】

（1）

（2）存在直线和

【解析】试题分析：

（1）将圆的一般方程转化为标准方程，将圆关于直线对称问题转化为点关于直线对称问题，进而求出圆的方程；

（2）先由条件判定四边形为矩形，将问题转化为判定两直线垂直，利用平面向量是数量积为0进行求解.

解得：

，

所以圆的方程为.

（2）由，所以四边形为矩形，所以.

要使，必须使，即：

.

①当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为，与圆

交于两点，.

因为，所以，所以当直线的斜率不存在时，直线满足条件.

②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为.

设

由得：

.由于点在圆内部，所以恒成立，

，

，，

要使，必须使，即，

也就是：

整理得：

解得：

，所以直线的方程为

存在直线和，它们与圆交两点，且四边形对角线相等.

12.已知定点，圆C：

，

（1）过点向圆C引切线l，求切线l的方程；

（2）过点A作直线交圆C于P,Q，且，求直线的斜率k；

（3）定点M,N在直线上，对于圆C上任意一点R都满足，试求M,N两点的坐标.

【答案】

（1）x＝2或

（2）（3）．

【解析】解：

（1）①当直线l与x轴垂直时，易知x＝2符合题意；

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x－2）．

即kx－y－2k＝0.

若直线l与圆C相切，则有，解得k＝，

∴直线l：

故直线l的方程为x＝2或

（2）设，由知点P是AQ的中点，所以点Q的坐标为.

又得，⑤

由④、⑤得，⑥

由于关于的方程⑥有无数组解，所以，

解得

所以满足条件的定点有两组