八节点等参单元平面有限元.docx
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八节点等参单元平面有限元
八节点等参单元平面有限元
分析程序
土木工程学院
2011.2
《计算力学》课程大作业
1.概述
通常情况下的有限元分析过程是运用可视化分析软件（如ANSYS、SAP等）进行前处理和后处理，而中间的计算部分一般采用自己编制的程序来运算。
具有较强数值计算和处理能力的Fortran语言是传统有限元计算的首选语言。
随着有限元技术的逐步成熟,它被应用在越来越复杂的问题处理中，但在实际应用中也暴露出一些问题。
有时网格离散化的区域较大,而又限于研究精度的要求，使得划分的网格数目极其庞大，结点数可多达数万个，从而造成计算中要运算的数据量巨大，程序运行的时间较长的弊端，这就延长了问题解决的时间，使得求解效率降低。
因为运行周期长，不利于程序的调试，特别是对于要计算多种运行工况时的情况；同时大数据量处理对计算机的内存和CPU提出了更高的要求，而在实际应用中，单靠计算机硬件水平的提高来解决问题的能力是有限的。
因此，必须寻找新的编程语言。
随着有限元前后处理的不断发展和完善，以及大型工程分析软件对有限元接口的要求，有限元分析程序不应只满足解题功能，它还应满足软件工程所要求的结构化程序设计条件，能够对存储进行动态分配，以充分利用计算机资源，它还应很容易地与其它软件如CAD的实体造型，优化设计等接口。
现在可编写工程应用软件的计算机语言较多，其中C语言是一个较为优秀的语言，很容易满足现在有限元分析程序编程的要求。
C语言最初是为操作系统、编译器以及文字处理等编程而发明的。
随着不断完善，它已应用到其它领域，包括工程应用软件的编程。
近年来，C语言已经成为计算机领域最普及的一个编程语言，几乎世界上所有的计算机都装有C的编译器，从PC机到巨型机到超巨型的并行机，C与所有的硬件和操作系统联系在一起。
用C编写的程序，可移植性极好，几乎不用作多少修改，就可在任何一台装有ANSI、C编译器的计算机上运行。
C既是高级语言，也是低级语言，也就是说，可用它作数值计算，也可用它对计算机存储进行操作。
2.编程思想
本程序采用C语言编程，编制平面四边形八节点等参元程序，用以求解平面结构问题。
程序采用二维等带宽存储整体刚度矩阵，乘大数法引入约束，等带宽高斯消去法求解位移。
在有限元程序中，变量数据需赋值的可分为节点信息，单元信息，载荷信息等。
对于一个节点来说，需以下信息：
节点编号（整型），节点坐标（实型），节点已知位移（实型），节点载荷（实型），边界条件（实型）和节点温度（实型）等。
同样，对于一个单元来说，需以下信息：
单元的节点联接信息（整型），单元类型信息（桁架、梁、板、壳等）（整型），单元特性信息（厚度、内力矩等）（实型），材料信息（弹性模量，泊松比等）（实型）等。
在FORTRAN程序中，以上这些变量混合在一起，很难辨认，使程序的可读性不好，如需要进行单元网络的自适应划分，节点及单元的修改将非常困难。
在进行C语言编译过程中，采用结构struct使每个节点信息存储在一个结构体数组中，提高程序的可读性，使数据结构更趋于合理。
1.
2.
2.1.八节点矩形单元介绍
八节点矩形单元编号如图21所示
图21
八节点矩形单元的位移函数为：
其形函数为
式和式中
，并且采用等参变换，则单元的坐标变换式可取为
单元应变矩阵为
式一般简写为
其中
的子块矩阵为
由于
是
、
的函数，在
中的
、
要按照复合函数来求导，即
从而有
因此，单元应力矩阵为
单元刚度矩阵为
其中积分采用三点高斯积分，
（高斯积分点的总数），
和
或
是加权系数，
和
是单元内的坐标.。
对于三点高斯积分，高斯积分点的位置：
，
，
。
单元等效节点荷载
结构刚度矩阵
结构结点荷载列阵
注意，对于式和式中
的理解不是简单的叠加而是集成。
总刚平衡方程
从式求出
将
回代入式和式，得到
和
。
1.
2.
2.1.
2.2.有限元分析的模块组织
一个典型的有限元分析过程主要包括以下几个步骤：
1）读输入数据，定义节点及单元数组。
2）由边界条件计算方程个数，赋值荷载列阵。
3）读入在带状存储的总刚度矩阵中单元和载荷信息。
4）定义总刚度阵数组。
5）组装总刚度阵。
6）解方程组。
输入边界条件（对称条件）
形成各荷载工况的节点荷载阵
总刚分解
回代求出位移及输出
计算应变、应力
形成单元刚阵
单刚向总刚投放
坐标变换
输入原始参数
计算总刚规模
形成总刚方程
向总节点荷载阵投放
形成单元荷载阵
调整几何、弹性矩阵
调整单元位移列阵
图22
其流程图可见图22。
3.程序变量及函数说明
3.
3.
3.1.主要变量说明：
主要程序变量说明
wide
分析模型的宽
hight
分析模型的高
wsize
宽度方向网格划分尺寸
hsize
高度方向网格划分尺寸
npoin
节点总数
nelem
单元总数
structnode[500]
节点结构体变量
structelement[500]
单元结构体变量
ifpre[500]
节点约束信息
posgp[3]
高斯积分点
weigp[3]
权系数
gpcod[2][9]
高斯积分点总体坐标
bmatx[3][16]
单元变形矩阵
dmatx[3][3]
单元弹性矩阵
xjacm[2][2]
雅可比矩阵
xjaci[2][2]
雅可比矩阵的逆矩阵
djacb
雅可比矩阵行列式的值
estif[136]
单元刚度矩阵
shape[8]
单元形函数
deriv[2][8]
形函数对局部坐标的导数
cartd[2][8]
形函数对整体坐标的导数
A[30000]
总体刚度矩阵
eload[16]
等效节点荷载
gpcod[2][9]
高斯积分点的总体坐标
3.1.
3.2.主要函数说明
主要函数说明
voidmeshing（）
网格划分
voidcoordinate（）
节点整体坐标计算
voidinput（）
信息输入
voidstif（）
形成单元刚度矩阵
voidsfr2（）
计算形函数对当前积分点及形函数对局部坐标的到数值
voidjacobi2（）
形成雅可比矩阵
voidmodps（）
形成弹性矩阵
voidbmatps（）
形成应变矩阵
voidload（）
计算等效节点荷载
voidasem（）
形成整体刚度矩阵和整体荷载列阵
voidsolve（）
求解整体方程
voidstre（）
计算单元应力
4.程序流程图
任何一个有限元程序处理过程，都可以划分为三个阶段：
1）前处理：
读入数据和生成数据。
2）处理器：
有限元的矩阵计算、组集和求解。
3）后处理：
输出节点位移、单元应变等。
为了更清楚地描述程序，我们给出了程序的流程图。
5.程序应用与ANSYS分析的比较
为了验证程序的正确性，我们取了一个简单框架结构，分别用自编程序和ANSYS进行分析和比较。
4.
5.
5.1.问题说明
图51所示一简支梁，高3m，长18m，承受均布荷载
，
，
，取
m，作为平面应力问题。
图52
由于结构和荷载对称，只对右边一半进行有限单元计算，如图52所示，而在y轴各节点布置水平连杆支座。
5.2.ANSYS分析结果
ANSYS分析中，采用plane82单元，在板单元上边施加均布荷载
，在y轴上的各结点约束UX方向的自由度，在板单元右下角的结点约束UX自由度，结点布置、网格划分方案如图53所示。
图53
图54位移图和图55各单元
图分别给出了结构的位移图和
应力云图。
图54位移图
图55各单元
图
从图54位移图和图55各单元
图可以看到，跨中的位移和正应力最大，与简支梁承受均布荷载，跨中挠度和正应力最大的力学常识相符合，可以初步认为模型是正确的。
表格1给出了
的截面上的正应力
和表格2给出了
处各横截面
方向位移，其中
的单位为
，
的单位为
。
表格1
考查点的y/m
1.5
1.0
0.5
0
-0.5
-1.0
-1.5
正应力
-270.20
-178.25
-88.57
0.00
88.57
178.25
270.21
表格2
考查点的x/m
0
1.5
3.0
4.5
6.0
7.5
9.0
方向位移（10-6）
-0.3485
-0.3380
-0.3069
-0.2571
-0.1914
-0.1133
0
5.3.自编程序分析结果
用自编程序进行分析时，采用了整个结构模型进行计算，其他条件不变，因编程水平有限，在后处理阶段没有给出节点处的位移与应力，而只能得到高斯积分点处的位移与应力，得到积分点处的应力后，根据数值分析相关知识采用了插值进行处理，从而得到
的截面上的正应力
和
处各横截面
方向位移，分别列出表格如下：
表格3
考查点的y/m
1.5
1.0
0.5
0
-0.5
-1.0
-1.5
正应力
-297.2
-196.06
-93.25
0.00
93
196.08
297.23
表格4
考查点的x/m
0
1.5
3.0
4.5
6.0
7.5
9.0
方向位移（10-6）
-0.3481
-0.3376
-0.3065
-0.2568
-0.1910
-0.1125
0
5.4.结果分析比较
为了更直观的比较自编程序和ANSYS的计算结果，将表格1和表格3的数据绘入图56，将表格2和表格4的数据绘入图57。
图56应力比较
图57位移比较
自编程序所得结果与ANSYS分析结果进行比较发现，应力偏大而位移偏小。
分析其中的原因，一方面是编程水平有限，自编程序有很多不完善之处，有很多因素没有考虑（温度、变形、非线性等），所得结果可信度不是很高，只能得到应力以及位移大概的分布情况；另一方面是在后处理阶段，在对高斯积分点结果进行处理时，误差难以避免，还有一方面的原因是在进行求解时保留数据精度不够，造成误差较大，并且进行数值运算时可能会造成大数吃小数，从而引起结果的差异。
参考文献
[1]（美）史密斯（Smith,I.m.）著;王崧等译.有限单元法编程（第三版）[M].北京:
电子工业出版社,2003
[2]王勖成.有限单元法[M].北京:
清华大学出版社,2003
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101-105
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23-28
[5]王伟,刘德富.有限元编程中应用面向对象编程技术的探讨[J].三峡大学学报.2001.2（23）:
124-128
[6]汪文立,吕士俊.二级C语言程序设计教程[M].北京:
中国水利水电出版社,2006
[7]赵翔龙.FORTRAN90学习教程[M].北京:
北京大学出版社,2002
附录程序源代码
#include
#include
/*Thegemotryofthemodel*/
floatmesh[2];
floatwide,hight;
floatwsize,hsize,young,poiss,thick;
inti,j,k,knelem,npoin,elem[500],ielem;
floatcoord[2][1],props[3][1],lnods[8][500],ifpre[1];
floatposgp[3],weigp[3],estif[136],elcod[2][8];
intnpoin,nelem,kevab,igaus,jgaus,kgasp,ngash,djacb;
floatgpcod[2][9],bmatx[3][16],dmatx[3][3];
floatshape[8],deriv[2][8];
floatxjacm[2][2],xjaci[2][2],elcod[2][8];
floatcartd[2][8];
floatbmatx[3][16],dmatx[3][3];
floatnload[1];
floatpress[3][2],pgash[2],dgash[2];
structnode
{intnodenu;/*Thenumberofthenode*/
floatcor[2];/*Thecoordinateofthenode*/
floatdisplacement[2];/*Thedisplacementofthenode*/
floatload[2];/*Theloadofthenode*/
floatboundary[2];
}node[500];
struct
{intelementnu;/*Thenumberofelement*/
intlocalnu[8];/*Localnumber*/
intlocalcorx[8];
intlocalcory[8];/*Localcoordinateofnode*/
floatqx,qy,t;/*Thestressandstrain*/
}element[500];
voidmeshing（floatwide,floathight,floatmesh[2]）
{printf（"Pleaseinputthemeshingsize\n"）;
scanf（"%f%f",&wsize,&hsize）;
getchar（）;
mesh[0]=wide/wsize;
mesh[1]=hight/hsize;
}
/*Theglobalcoordinateofnode*/
voidcoordinate（）
{
inti,j=1;
floatx,y;
for（i=1;i<=2*mesh[1]+1;i++）
{x=0;
while（x<=wide）
if（i%2!
=0）
{node[j].cor[1]+=wsize/2;
node[j].cor[2]+=（i-1）*hsize;
j++;}
else
{node[j].cor[1]+=wsize;
node[j].cor[2]+=（i-1）*hsize;
j++;}
}
}
main（）
{inttop[500],bottom[500];/*Thenumberoftopandbottomelement*/
voidinput（）;
voidstif（）;
voidjacobi2（）;
voidload（）;
voidasem（）;
voidsolve（）;
voidstre（）;
npoin=8;
for（i=1;i<=8;i++）
lnods[i][1]=i;
for（i=1;i<=3;i++）
scanf（"%f",&props[i][1]）;
printf（"TheEXis%e\nTheuois%8f\nThebtis%8f",props[1][1],props[2][1],props[3][1]）;
getch（）;
printf（"Pleaseinputthegemotryofthemodel\n"）;
scanf（"%f%f",&wide,&hight）;
getchar（）;
printf（"Thewideis%0.3f,thehightis%0.3f",wide,hight）;
getchar（）;
meshing（wide,hight,mesh）;
printf（"Thewidesizeis%f,thehightsizeis%f\n",mesh[0],mesh[1]）;
input（）;
getchar（）;
nelem=mesh[0]*mesh[1];
for（i=1;i<=nelem;i++）/*Theelementnumber*/
element[i].elementnu=i;
for（i=1;inpoin+=5;
for（i=1;inpoin+=3*mesh[0]+2;
printf（"%d",npoin）;
for（i=1;i<=npoin;i++）
node[i].nodenu=i;
for（i=1;i<=nelem;i++）
for（j=1;j<=8;j++）
element[i].localnu[j]=j;
for（i=1;i<=mesh[0];i++）
bottom[i]=i;
j=1;
for（i=mesh[0]*（mesh[1]-1）+1;i<=nelem;i++）
top[j++]=i;
for（i=1;iprintf（"thetopnumberis%d\n",top[i]）;
printf（"%d\n",element[1].localnu[8]）;
coordinate（）;
stif（）;
jacobi2（）;
load（）;
asem（）;
solve（）;
stre（）;
getchar（）;
}
/*datainput*/
voidinput（）
{intnnode=8;
intnotreadchar;
/*inputelementnodenumber*/
printf（"inputelementnodenumber\n"）;
for（ielem=1;ielem<=nelem;ielem++）
for（i=1;i<=nnode;i++）
scanf（"%d",&lnods[i][ielem]）;
/*Inputrestrictionmessage*/
printf（"double-digitissymboloftherestriction,1representatesstable,2representatesgiveddisplacement\n"）;
i=1;
while（i）
{scanf（"%d",&i）;
if（i!
=0）
{scanf（"%d",&j）;
scanf（"%d",&ifpre[j]）;}
elsebreak;
}
}
/*Elementstiffnessmatrix*/
voidstif（）
{intkevab,nstre,ievab,istre,lnode,jstre,jevab;
floatkgasp,exisp,etasp,dvolu;
floatbtdbm,dbmat[3];
voidsfr（）;
/*Gausspoint*/
posgp[1]=-sqrt（0.6）;
posgp[2]=0;
posgp[3]=sqrt（0.6）;
/*weightcoefficient*/
weigp[1]=5.0/9.0;
weigp[2]=8.0/9.0;
weigp[3]=5.0/9.0;
/*numberofstress*/
nstre=3;
/*formelasticmatrix*/
for（ielem=1;ielem<=nelem;ielem++）
{printf（"Thenumberofelementis%d\n",ielem）;
for（i=1;i<=8;i++）
{lnode=lnods[i][ielem];
for（j=1;j<=2;j++）
{coord[j][lnode]=node[lnode].cor[j];
elcod[j][i]=coord[j][lnode];
}
}
young=props[1][1];
poiss=props[2][1];
thick=props[3][1];
modps（young,poiss）;
/*Theinitialvalueof[k]*/
kevab=0;
for（i=1;i<=16;i++）
for（j=1;j<=i;j++）
{kevab++;
estif[kevab]=0.0;
}
/*Thegausspointshapefunctionandderiv*/
kgasp=0;
for（igaus=1;igaus<=3;igaus++）
for（jgaus=1;jgaus<=3;jgaus++）
{kgasp=kgasp+1;
exisp=posgp[igaus];
etasp=posgp[jgaus];
printf（"Thenumberofgausspointis%d\n",kgasp）;
sfr2（exisp,etasp）;
jacob2（ielem,djacb,kgasp,elcod）;
dvolu=djacb*weigp[igaus]*weigp[jgaus]*thick;
bmatps（）
/*Theinitialvalueofelasticmatrix[D]*/
kevab=0;
for（ievab=1;ievab<=16;ievab++）
{for（istre=1;istre<=nstre;istre++）
{dbmat[istre]=0.0;
for（jstre=1;jstre<=nstre;jstre++）
dbmat[istre]=dbmat[istre]+bmatx[jstre][ievab]*dmatx[jstre][istre];
}
for（jevab=1;jevab<=ievab;ievab++）
{kevab=kevab+1;
btdbm=0.0;
for（istre=1;istre<=nstre;istre++）
btdbm=btdbm+dbmat[istre]*bmatx[istre][jevab];
estif[kev
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