最新弹性力学答案清晰修改.docx
《最新弹性力学答案清晰修改.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新弹性力学答案清晰修改.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
最新弹性力学答案清晰修改
2-16设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上（包括孔口边界上）受有均匀
压力q试证xyq及xy0能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也
能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。
程、相容方程
2）对于微小的三角板A,dx,dy都为正值，斜边上的方向余弦lcos（n,x）,mcos（n,y）,
将xyq，xy0代入平面问题的应力边界条件的表达式
（lxmyx）sfx（s）
（c）
（mylxy）sfy（s）
则有xcos（n,x）qcos（n,x）ycos（n,y）qcos（n,y）
所以xq，yq。
对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。
（3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。
该题为平面应力的情况，首先，将应力分量xyq及xy0代入物理方程，得形
变分量x（E1）q，y（E1）q，xy0（d）
然后，将（d）的变形分量代入几何方程，得
其中的f1和f2分别是y和x的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式（f）代
入（e）的第三式得df1（y）df2（x）
dydx
等式左边只是y的函数，而等式右边只是x的函数。
因此，只可能两边都等于同一个常数ω，
代入（f）得位移分量
其中u0,v0,为表示刚体位移量的常数，须由约束条件求得。
从式（g）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件，因而，应力分量是正确的解答。
0，然后证明，这些表达
2-17设有矩形截面的悬臂粱，在自由端受有集中荷载F，体力可以不计。
试根据材料力学
公式，写出弯应力x和切应力xy的表达式，并取挤压应力
解〔1〕矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为M（x）Fx，横
截面对z
轴（中性轴）的惯性矩为I
h3
根据材料力学公式，
弯应力
xy
M（x）y
Iz
123Fxy；该截面上的剪力为Fs（x）Fh
剪应力
3Fs（x）（I
2h（I
4hy22）
6F3（hy2）；并取挤压应力y0
h4
2）经验证，上述表达式能满足平衡微分方程
yx
xy
2
也能满足相容方程（
2）（xy）（1（）
y2x
再考察边界条件：
在
h/2的主要边界上，应精确满足应力边界条件：
y）yh/2
0，
（yx）yh/20；
y）yh/2
0，
（yx）yh/20。
在次要边界
能满足
x=0上，列出三个积分的应力边界条件：
h/2
h/2
h/2
x）x0dy
h/2
h/2
x）x0ydy
h/2
xy）x0dy
h/2
h/2
12F
h/2
（
x）x
ldy
h/2
3lydy0h3
h/2
h/2
12F2
h/2
（
x）x
lydy
h/2
3ly2Flh3
h/2
h/2
6Fh22
h/2
（
xy）x
0dy
h/2
h3（4y2）
h4
列出三个积分的应力边界条件：
满足应力边界条件。
在次要边界xl上，
满足应力边界条件因此，他们是该问题的解答。
3-6如题3-6图所示的墙，高度为
h，宽度为b，
h?
b，在两侧面上受到均布剪力
q的作用。
试用应力函数
AxyBx2y求解应力分量。
4
解
（1）相容条件：
将应力函数
4
4
4
4
0，40，
2
20
很明显满足相容方程。
x
y
xy
2）
应力分量表达式
2
2
2
x
20，y
2
6Bxy，
xyA3Bx2
y2
x
xy
3）
考察边界条件：
在主
要边界
x
b/2上，各有两个应精确满足的边界条件，即
x）
xb/20，（xy）x
b/2
q。
代人相容方程
0中，其中
0的条件不可能精确满足（否则只有
而
在次要边界y0上，（y）y
（yx）y0
00
A=B=0），可用积分的应力边界条件代替
b/2
b/2（
yx）y0dx0
4）把各应力分量代入边界条件，得
Aq2
，B2bq2。
b
应力分量为
0，y1b22qxy，
b
x2
xy
q
q2（112b2）
3-8设题3-8图中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为函数求解。
，试用纯三次式的应力
解
（1）相容条件：
3223
设AxBxyCxyDy（a）
不论上述中的系数取何值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程。
3）考察边界条件：
利用边界条件确定待定系数
先考察主要边界上y0的边界条件：
（y）y00，（yx）y00
将应力分量式（b）和式（c）代入，这些边界条件要求
e）
（y）y06Ax0，（xy）y02Bx0得A=0，B=0。
式（b）、（c）、（d）成为
ygy
（f）
xy2Cy
（g）
根据斜边界的边界条件
它的边界线方程是
yxtan,在斜面上没有任何面力，即
x
2Cx6Dy
fxfy0,按照一般的应力边界条件，有
由应力函数得应力分量
22
2（Acos2Bsin2CD）
（1）2Asin22Bcos2C
2）考察边界条件：
根据对称性，得
（
）/2
0
（a）
（
）/2
q
（b）
（
）/2
0
（c）
（
）/2
q
（d）
由式（
a）
得2Acos
2Bsin
C
2D
0
（e）
由式（
b）
得2Asin
2Bcos
C
q
（f）
由式（
c）
得2Acos
2Bsin
C
2D
0
（g）
由式（
d）
得
2Asin
2Bcos
C
q
（h）
式（e）、（f）、（g）、（h）联立求解，得Aq,BC0,Dqcot
2sin2
将以上系数代入应力分量，得
cos2
q（cos2cot）
sin
cos2
q（cos2cot）
sin
sin2
qsin
4一13设有内半径为r,外半径为R的圆筒受内压力q，试求内半径和外半径的改变，并求圆筒厚度的改变。
解本题为轴对称问题，只有径向位移而无环向位移。
当圆筒只受内压力q的情况下，取应力分量表达式（B=0），内外的应力边界条件要求
（
）r0，（
）R0
（
）rq，（
）R0
由表达式可见，
前两个关于
的条件是满足的，而后两个条件要求
A
2r
A
R2
把A,B,C值代入轴对称应力状态下对应的位移分量，
2
E（Rq2r2r2）
（1）
（1
R2
）IcosKsin
b）
HIsinKcos
（c）
式（c）中的,取任何值等式都成立，所以个自由项的系数为零所以，轴对称问题的径向位移式（b）为
H=I=K=0。
22qrRu22
（1）
（1）E（R2r2）
而圆简是属于平面应变问题，故上式中E
E,
12,
代替，则有
u
uq（11
22
）R2
（1）2
1
E2（Rr21）
r
此时内径改变为
ur
2
（1）R2（1
1q2q1Er2（Rr221）
1r
1）r2
qr（1
E
22
2）（RR22
），
外径改变为uR
（1
q
22
）R2
（1）R2
11
2
ER2（Rr221）
r
圆环厚度的改变为
uRur
qr（12）（Rr
E（Rr
qr（1
E
1）
4-15在薄板内距边界较远的某一点处，应.力分最为x
一小圆孔.试求孔边的最大正应力。
2
2）2Rr
22
Rr
0，
xyq，如该处有
解求出两个主应力，即
1
2
原来的间题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力q而在上下两边受均布压力q，如图所示。
应力分量x
q，
yq，
xy
0代入坐标变换式，得到外边界上的边界条件
（
）R
qcos2
（a）
（
）R
qsin2
（b）
在孔边，边界条件是
（
）r
0（
c）
（
）r
0
（d）
由边界条件式（a）、（b）、（c）、（d）可见，用办逆解法是，可假设为的某一函数乘以
（1
删去因子cos2以后，求解这个常微分方程，得
由应力函数得应力分量的表达式
将上式代入应力边界条件
得2B
R2
R4
q
（g）
2
2C
6D
得6AR
2B
2
4q
（h）
R2
R4
4C
6D
得2B
2
4
0
（i）
r
r
2
2C
6D
得6Ar2
2B
2
6D40
（j）
由式（a）
由式（b）
由式（c）
由式（d）
r
r
将各系数值代入应力分量的去达式，
沿着孔边r，环向正应力是4qcos2
最大环向正应力为（）max4q
4-17在距表面为h的弹性地基中，挖一直径为d的水平圆形孔道，设h》d，弹性地基的密度为，弹性模量为E，泊松比为，试求小圆孔附近的最大、最小应力。
2）原来的问题变为管道在左右两边受均布压力在上下两边受均布压力gh,在上下
1
两边受均布压力gh，如图（a）所示。
可以将荷载分解为两部分：
第一部分是四边的均
布压力12gh如图（b）所示，第二部分是左右两边的均布拉力22
（1）
12（12）gh和上下两边的均布压力12（12）gh如图（c）所示。
22
（1）22
（1）
2r对于第一部分荷载，可应用解答q（12）
R2
对于第二部分解答，可应用解答，教材中式（4-18）。
将两部分解答叠加，即得原荷载作用
下的应力分量（基尔斯的解答）。
解按应力求解空间问题时，须要使得六个应力分量在弹性体区域内满足平衡徽分方程，满足相容方程；并在边界上满足应力边界条件.
（l）fxfy0,fzg很显然应力分量满足如下平衡徽分方程
x
yx
zx
fx
0
x
y
z
y
zy
xy
fy
0
y
z
x
z
xz
yz
fz
0
z
x
y
2）
xyx
z
gz，
应力分量也满足贝尔特拉米相容方程
2
）2
2
（1
）2
x2
0
（1
xy
0
x
x
y
2
）2
2
（1
）2
y2
0
（1
yz
0
y
y
z
2
）2
2
（1
）2
z2
0
（1
xz
0
z
x
z
3）考察应力边界条件：
柱体的侧面和下端面，
fx
fy
fz
0。
.在（x,y）平面上应考
虑为任意形状的边界（侧面方向余弦分别为
n0,l,m为任意的；在下端面方向余弦分别为
n1,lm0）。
应用一般的应力边界条件，将应力和面力分量、方向余弦分别代入下
（lxmyxnzx）s（mynzylxy）s（nxlxzmyz）s
直杆的侧面和下端的应力边界条件都能满足，因此，所给应力分是是本问题的解
8-2设有任意形状的空间弹性体，在全部边界上（包括在孔洞边界上）受有均布压力q,试证应力分量xyzq,yzzxxy0能满足一切条件，因而就是正确的解答。
解：
应力应满足平衡微分方程，相容方程及应力边界条件（在s上），多连体还应满足位移单值条件。
（1）
（2）平衡条件fxfyfz0，很显然，应力分量满足平衡微分方程
3）
4）相容条件：
xyz3q，应力分量也满足贝尔特拉米相容方程。
（3）应力边界条件。
考虑一般的应力边界条件：
法线的方向余弦为l,m,n边界面为任意斜
面，受到法向压力q的作用。
同样，满足应力的边界条件。
（4）位移单值条件，为了考虑多连体中的位移单值条件，由应力求出对应的位移，然后再检查是否满足单值条件。
将应力分量代人教材中式（7一12），得形变分量表达式
21
将形变分量代入几何方程，得
其中的f1,f2,f3分别是y,z和x,z和x,y的待定函数，可以通过几何方程的后三个式子求出。
u0
v0
2f3
代入位移分量表达式得
其中u0,v0,
分量分别表示位移和刚体转动，与形变无关。
多连体上各
个点的位移分量都是x,y,z的线性函数，所以满足位移单值条件。
升级会员 