最新弹性力学答案清晰修改.docx

1、最新弹性力学答案清晰修改2-16 设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上 (包括孔口边界上 )受有均匀压力 q 试证 x y q 及 xy 0能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。程、相容方程2)对于微小的三角板 A, dx, dy 都为正值，斜边上的方向余弦 l cos(n, x),m cos(n, y),将 x y q ， xy 0 代入平面问题的应力边界条件的表达式(l x m yx ) s f x ( s)( c)(m y l xy ) s f y ( s)则有 x cos(n, x) qcos(n,x) y cos( n,

2、 y) q cos(n, y)所以 x q， y q 。对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。 (3)对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。该题为平面应力的情况，首先，将应力分量 x y q及 xy 0 代入物理方程，得形变分量 x ( E1)q， y ( E1)q， xy 0 (d)然后，将( d)的变形分量代入几何方程，得其中的 f1和 f2分别是 y和 x的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式( f)代入( e)的第三式得 df1(y) df2(x)dy dx等式左边只是 y 的函数，而等式右边只是 x 的函数。因此，只可能两边都等于同一个常数，代入( f)得位移分量其中

3、 u0 ,v0 , 为表示刚体位移量的常数，须由约束条件求得。从式( g)可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件，因而，应力分量是正确 的解答。0，然后证明，这些表达2-17 设有矩形截面的悬臂粱，在自由端受有集中荷载 F ，体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力 x 和切应力 xy 的表达式，并取挤压应力解 1矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为 M(x) Fx ，横截 面对 z轴(中性轴)的惯性矩为Ih3根据材料力学公式，弯应力xyM (x) yIz123F xy ； 该 截 面 上 的 剪 力 为 Fs( x) F h剪应力3 Fs(x) (I2 h ( I4

4、hy22)6F3 (h y2) ；并取挤压应力 y 0h42)经验证，上述表达式能满足平衡微分方程yxxy2也能满足相容方程 (2 )( x y ) (1 ()y 2 x再考察边界条件：在h / 2 的主要边界上，应精确满足应力边界条件：y ) y h/ 20，( yx ) y h / 2 0 ；y) y h /20，( yx ) y h / 2 0 。在次要边界能满足x=0 上，列出三个积分的应力边界条件：h/2h/2h/2x)x 0 dyh/2h/2x)x 0 ydyh/2xy)x 0 dyh/2h / 212Fh / 2(x ) xl dyh/23 lydy 0 h3h/2h/212F

5、2h / 2(x ) xl ydyh / 23 ly 2 Fl h3h/2h/26F h 2 2h / 2(xy ) x0 dyh/2h3 ( 4 y 2)h4列出三个积分的应力边界条件：满足应力边界条件。 在次要边界 x l 上，满足应力边界条件 因此，他们是该问题的解答。3-6 如题 3-6 图所示的墙，高度为h，宽度为 b，h?b，在两侧面上受到均布剪力q 的作用。试用应力函数Axy Bx2y 求解应力分量。4解（ 1）相容条件：将应力函数44440 ， 4 0，220很明显满足相容方程。xyxy2）应力分量表达式222x2 0 ， y26Bxy，xy A 3Bx 2y2xxy3）考察边

6、界条件：在主要边界xb/ 2上，各有两个应精确满足的边界条件，即x)x b / 2 0 ， ( xy ) xb/2q。代人相容方程0中，其中0 的条件不可能精确满足（否则只有而在次要边界 y 0 上， （ y）y( yx ) y 000A=B=0 ），可用积分的应力边界条件代替b/2b/ 2 (yx) y 0 dx 04）把各应力分量代入边界条件，得A q2， B 2bq2 。b应力分量为0， y 1b22q xy，bx2xyqq2(1 12 b2)3-8 设题 3-8 图中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为 函数求解。，试用纯三次式的应力解（ 1）相容条件：3 2 2 3设 Ax Bx

7、 y Cxy Dy (a)不论上述中的系数取何值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程。3）考察边界条件：利用边界条件确定待定系数先考察主要边界上 y 0的边界条件： （ y ）y 0 0， （ yx）y 0 0将应力分量式 （b）和式（ c）代入，这些边界条件要求e）( y)y 0 6Ax 0，( xy)y 0 2Bx 0 得A=0，B=0。 式(b) 、(c)、(d)成为y gy（f）xy 2Cy（g）根据斜边界的边界条件,它的边界线方程是y xtan , 在斜面上没有任何面力，即x2Cx 6Dyfx f y 0 ,按照一般的应力边界条件，有由应力函数 得应力分量222( Acos2 Bsi

8、n 2 C D)( 1 ) 2A sin 2 2B cos 2 C2）考察边界条件：根据对称性，得() / 20（a）() /2q（b）() /20（c）() / 2q（d）由式（a）得 2Acos2BsinC2D0（e）由式（b）得 2Asin2BcosCq（f）由式（c）得 2Acos2BsinC2D0（g）由式（d）得2Asin2BcosCq（h）式（ e）、（f）、（g）、（h）联立求解，得 A q ,B C 0,D qcot2sin 2将以上系数代入应力分量，得cos2q（ cos2 cot ）sincos2q（cos2 cot ）sinsin2q sin4 一 13 设有内半径为

9、r,外半径为 R 的圆筒受内压力 q，试求内半径和外半径的改变，并求 圆筒厚度的改变。解 本题为轴对称问题， 只有径向位移而无环向位移。 当圆筒只受内压力 q 的情况下， 取 应力分量表达式（ B=0），内外的应力边界条件要求() r 0， () R 0() r q ， () R 0由表达式可见，前两个关于的条件是满足的，而后两个条件要求A2 rAR2把 A,B,C 值代入轴对称应力状态下对应的位移分量，2E(Rq2r2 r2) (1 )(1R2) I cos K sinb）H I sin K cos(c)式（ c）中的 , 取任何值等式都成立，所以个自由项的系数为零 所以，轴对称问题的径向位

10、移式（ b）为H=I=K=0 。22 qr R u 2 2 (1 ) (1 ) E(R2 r2 )而圆简是属于平面应变问题，故上式中 EE,1 2 ,代替，则有uu q(1 122)R2 (1 ) 21E 2 (Rr 2 1)r此时内径改变为ur2 (1 )R2 (11 q2 q 1 Er2 (Rr22 1)1r1 )r2qr(1E222)(RR22），外径改变为 uR(1q22)R2 (1 )R2112ER2 (Rr22 1)r圆环厚度的改变为uR urqr(1 2)(R rE (R rqr(1E1)4-15 在薄板内距边界较远的某一点处，应 .力分最为 x一小圆孔 .试求孔边的最大正应力。

11、22) 2Rr22Rr0，xy q ，如该处有解 求出两个主应力，即12原来的间题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力 q 而在上下两边受均布压力 q，如图所示。应力分量 xq，y q ，xy0 代入坐标变换式，得到外边界上的边界条件()Rqcos2（ a）()Rqsin2(b)在孔边，边界条件是()r0（c）()r0（d）由边界条件式（ a）、（ b）、（ c）、（d）可见，用办逆解法是，可假设 为 的某一函数乘以(1删去因子 cos2 以后，求解这个常微分方程，得由应力函数得应力分量的表达式将上式代入应力边界条件得 2BR2R4q（g）22C6D得 6AR2B24q（h）R2R44C6D得 2

12、B240（i）rr22C6D得 6Ar 22B26D4 0（j）由式（ a）由式（ b）由式（ c）由式（ d）rr将各系数值代入应力分量的去达式，沿着孔边 r ，环向正应力是 4q cos 2最大环向正应力为 （ ）max 4q4-17 在距表面为 h 的弹性地基中，挖一直径为 d 的水平圆形孔道，设 h d，弹性地基的密 度为 ，弹性模量为 E，泊松比为 ，试求小圆孔附近的最大、最小应力。2)原来的问题变为管道在左右两边受均布压力在上下两边受均布压力 gh ,在上下1两边受均布压力 gh ，如图( a)所示。可以将荷载分解为两部分：第一部分是四边的均布 压 力 1 2 gh 如 图 ( b

13、 ) 所 示 ， 第 二 部 分 是 左 右 两 边 的 均 布 拉 力 2 2(1 )1 2 (1 2 ) gh 和上下两边的均布压力 1 2 (1 2 ) gh 如图( c)所示。 2 2(1 ) 2 2(1 )2 r 对于第一部分荷载，可应用解答 q(1 2 )R2对于第二部分解答，可应用解答，教材中式( 4-18)。将两部分解答叠加，即得原荷载作用下的应力分量(基尔斯的解答 )。解 按应力求解空间问题时，须要使得六个应力分量在弹性体区域内满足平衡徽分方程，满 足相容方程；并在边界上满足应力边界条件 .(l) fx fy 0, fz g 很显然应力分量满足如下平衡徽分方程xyxzxfx0

14、xyzyzyxyfy0yzxzxzyzfz0zxy2)x yxzgz，应力分量也满足贝尔特拉米相容方程2)22(1)2x20(1xy0xxy2)22(1)2y20(1yz0yyz2)22(1)2z20(1xz0zxz3）考察应力边界条件：柱体的侧面和下端面，fxfyfz0。.在 （x, y） 平面上应考虑为任意形状的边界（侧面方向余弦分别为n 0,l , m 为任意的；在下端面方向余弦分别为n 1,l m 0 ）。应用一般的应力边界条件，将应力和面力分量、方向余弦分别代入下(l x m yx n zx ) s (m y n zy l xy ) s (n x l xz m yz )s直杆的侧面和

15、下端的应力边界条件都能满足，因此，所给应力分是是本问题的解8-2 设有任意形状的空间弹性体， 在全部边界上 （包括在孔洞边界上 ）受有均布压力 q,试证应 力分量 x y z q, yz zx xy 0 能满足一切条件，因而就是正确的解答。解：应力应满足平衡微分方程， 相容方程及应力边界条件 （在 s 上 ），多连体还应满足位移单 值条件。（1）（2） 平衡条件 fx fy f z 0 ，很显然，应力分量满足平衡微分方程3）4） 相容条件：x y z 3q ，应力分量也满足贝尔特拉米相容方程。（3）应力边界条件。考虑一般的应力边界条件：法线的方向余弦为 l,m,n 边界面为任意斜面，受到法向压力 q 的作用。同样，满足应力的边界条件。（4）位移单值条件，为了考虑多连体中的位移单值条件，由应力求出对应的位移，然后再检 查是否满足单值条件。将应力分量代人教材中式（ 7 一 12），得形变分量表达式21将形变分量代入几何方程，得其中的 f1, f2, f3分别是 y,z和x,z和 x, y的待定函数，可以通过几何方程的后三个式子求 出。u0v02 f3代入位移分量表达式得其中 u 0 , v0 ,分量分别表示位移和刚体转动，与形变无关。多连体上各个点的位移分量都是 x, y, z的线性函数，所以满足位移单值条件。