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低阶群的结构
《近世代数基础》团队学习小论文
2015届
论文题目：
低阶群的结构
组 长朱陈胤
团队成员 朱家彬、章媛、赵慧
院 系 数理信息学院
专业班级 数学与应用数学152
指导教师尹幼齐
完成日期 2016.11.13
低阶群的结构
摘要
本文主要利用群的三个基本同构定理，Sylow定理和同余的关系对低阶群的结构进行分析。
根据低阶群的基本性质可知，阶为素数的群一定是循环群。
此外，低阶群可推出高阶群的结构，利用素数的幂方和倍数来讨论问题。
由于群的概念太过宽泛，低阶群的定义较广，故本文只讨论到20阶群的性质，其它低阶群的性质可同理推出。
关键词：
群的基本同构定理；Sylow定理；同余；
引言
群是近世代数的一个重要内容，而其中低阶群的结构就研究群的整体来说有极为重要的意义。
许多抽象群或高阶群均可利用低阶群的结构推导出来。
在社会不断进步的同时，群也在不断地发展、不断地完善。
直至现在，还有很多人致力于矩阵的研究。
本次课题的主要研究内容为归纳、总结群论在实际生活等领域的应用。
通过本次课外团队学习的研究，使我们对群有了更深一步的了解，如知道了很多有关于群的发展史及其存在方式的多样性。
研究群让我们的思维变得更加灵活，面对抽象的问题能更好的从容应对，它的神奇足以给我们以学好近世代数莫大的鼓励和支持。
1若干定义及定理的准备
定义1.1我们说一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说做成一个群满足一下条件：
（a）G对于乘法来说是闭的
（b）结合律成立，即（ab）c=a（bc）对于G中的任意三个abc
（c）G里至少存在一个左单位元e，使得ea=a对于G的任意元都成立
（d）对于G的每一个元a在G里至少存在一个左逆元，能让
定义1.2若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，我们就把G叫做循环群，并用G=（a）表示，a叫生成元。
定义1.3若在G和间对运算o和o’来说存在一个同构映射，我们说对于代数运算o和o’来说G和同构并用符号G≌G’来表示.
定理1.4有限阶群中元的阶是群的阶的因数.
定理1.5群G中阶大于2的元素必成对出现.
定理1.6若群G的阶为s，则群G中阶等于2的元素个数t于s的奇偶性相反，偶数阶群中t0
定理1.7Sylow定理：
设G是群且G=且p是素数，p不整除m，则称G的阶子群为G的一个Sylowp-子群，则有以下条件满足
1）G有（）阶子群；
2）G的每个（）阶子群必包含在G的某个阶子群内，且前者是后者的正规子群；
3）G的所有Sylowp-子群恰是G的共轭子群类，且若其个数为K，则
K1（modp）
定理1.8群的第一基本同构定理：
设A和B是两个群的结构，f是A到B的态射，则A等价关系Φ：
a~b当且仅当f（a）=f（b）是A上的一个同余类，并且A/Φ同构于f的像（B的子代数）。
定理1.9群的第二基本同构定理：
设B是A的子代数，Φ是A上的同余类。
令[B]Φ是所有包含B种元素的同余类的集合，它是A/Φ的一个子集；ΦB是Φ限制在BxB上的部分。
那么[B]Φ是A/Φ的子代数结构，ΦB是B上的同余类，并且[B]Φ同构于B/ΦB。
定理1.10群的第三基本同构定理：
设A是一个代数结构，Φ和Ψ是A上的两个同余关系，Ψ包含于Φ。
则Φ定义了A/Ψ上的一个同余类Θ：
[a]~[b]当且仅当a与b关于Φ同余（[a]表示a所在的Ψ-等价类），并且A/Φ同构于（A/Ψ）/Θ。
2．阶数不超过20的群的个数和种类
从1到20的阶的不同的群的个数（群的个数按同构意义来分）以下表给出：
阶数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
群数
1
1
1
2
1
2
1
5
2
2
1
5
1
2
1
14
1
5
1
5
3．（p为素数）阶群的结构
3.1p阶群必为循环群，只有一种类型。
3.1.1︱G︱﹦2
G={[0],[1]}
3.1.2︱G︱﹦3
G={[0],[1],[2]}
3.1.3︱G︱﹦5
G={[0],[1],[2],[3],[4]}
3.1.4︱G︱﹦7
G={[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6]}
3.1.5︱G︱﹦11
G={[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10]}
3.1.6︱G︱﹦13
即模13的剩余类加群
3.1.7︱G︱﹦17
即模17的剩余类加群
3.1.8︱G︱﹦19
即模19的剩余类加群
3.2阶群必为交换群，有两种类型：
（1）G=,=e（循环群）；
（2）G=,==e=[a,b];
，
即，G由a和b生成。
G=,（初等交换群）。
3.2.1︱G︱﹦4
G的元的阶只能是1，2或4.
（1）G1=<[1]>.若G有一个元d阶为4，则G=（d）是一个循环群，且G与G1同构。
（2）S4的子群——klein四元群G2={
（1），（12）（34），（13）（24），（14）（23）}
若G没有阶为4的元，则除单位元e外，G的其它3个元的阶都是2，则有
G=（e,a,b,c）则abG，下证，ab=c.
若ab=e，则ab=和b=a，这不可能。
若ab=a，则b=e，也不可能。
若ab=不，则a=e，也不可能。
那么，可能的只有ab=c。
同理可证ab=ba=c，bc=cb=a，ca=ac=b
比较G和G2的代数运算，易见G和G2同构。
3.2.2︱G︱﹦9
（1）同构于9阶循环群，即模9的剩余类加群。
由a=[1]生产。
（2）
同构于置换群{
（1），（123），（132），（456），（465），（123）（456），（123）（465），（132）（456），（132）（465）}
证明同四阶群。
3.3阶非交换群（分p=2和p2），有下列情形：
p=2时，有两种类型：
（1）G=,（两面体群）；
（2）G=,（四元数群）。
p2时，有两种类型：
（1）G=,；
（2）G=,。
3.3.1︱G︱﹦88阶群的结构共5种。
1G中有8阶元素，则G和同构
2G中没有8阶元素，则含有2阶和4阶元素。
又因为在一个有限群中阶为2的元素必为奇数，所以二阶元的个数只能是1各或者3个。
1）二阶元的个数为1时，必存在1个四阶元。
则设a=（1234），b=（56），此时为交换群，则有，分别带入计算则可得其值。
2）二阶元的个数为3时，有一个交换群和一个非交换群
（1）为交换群时，令a=（12），b=（34），c=（56），则有，带入计算即得值。
（2）为非交换群时，即四元数群,,
3同构与正方形所代表的二面体群。
正方形ABCD的对称群即二面体群的元素为8个，从几何的角度可以表示为4个旋转，4个反射。
若将顶点A,B,C,D依次编号为1,2,3,4则的8个元素的可以用置换表示。
沿中心旋转2π,;沿中心逆时针旋转90°，
沿中心逆时针旋转180°，;沿中心逆时针旋转270°，
沿AD对称轴反射，；沿AC对称轴反射，
沿AB对称轴反射，；沿BD对称轴反射，
综上所述，八阶群的结构共以下五种。
（1）同构于8阶循环群即模8的剩余类加群；
（2）同构于正方形所代表的二面体群；
（3）同构于四元数群：
G=,a4=1,a2=b2,b-1ab=a3
（4）同构于置换群{
（1），（1234），（13）（24），（1432），（56），（1234）（56），（13）（24）（56），（1432）（56）}；
（5）同构于置换群{
（1），（12），（34），（56），（12）（34），（12）（56），（34）（56），（12）（34）（56）}。
其中
（1）、（4）、（5）为交换群，
（2）、（3）为非交换群。
4.2p（p为素数）阶群的结构
设群G的阶为2p，由sylow定理知，存在p阶元a和2阶元b，则G=,且G.
设，则有
（1）时，，所以G=,（循环群）；
（2）时，。
当取p=3、5、7时就得到6、10、14阶群的结构。
4.1︱G︱﹦6
（1）G为6阶循环群
（2）c为2阶，a为3阶
G为3次对称群S3，是最小的非交换群，起运算表如下：
e
a
a2
c
ca
ca2
e
e
a
a2
c
ca
ca2
a
a
a2
e
ca2
c
ca
a2
a2
e
a
ca
ca2
c
c
c
ca
ca2
e
a
a2
ca
ca
ca2
c
a2
e
a
ca2
ca2
c
ca
a
a2
e
4.2︱G︱﹦10
在10元群中有一种群是循环群，即G1={[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9]}另外一种为与{（25）（34），（12345）}同构的群;
G2={
（1）,（25）（34）,（12345）,（12）（35）,（13）（45）,（14）（23）,（15）（24）,（13524）（14253）,（15432）}
G2有4个5阶元，5个2阶元和单位元构成，那么10元群除与这两种同构的群外，是否还有其他群存在呢？
下面我们用群的性质来研究，10元群的阶只能是1,2,5,10，可以证明当10元群中有一个10阶元时它必为循环群G,G2有4个5阶元，5个2阶元和单位元构成，从元上考虑，若还有10元群存在，则满足如下条件；
a）有唯一的单位元
b）阶为2的元的个数为奇数
c）阶大于2的元的个数为偶数，从此考虑其他10元群存在有如下4种情况
（1）G1={e,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9}
e=（ai）2（i=1,2,3,4,5,6,7,8,9）即G1是由单位元和9个2阶元。
由2.5知2阶元是可以交换的，不妨令ab=ba=c（显然ab=e,ab=b,ab=a都不可能）由此可得ac=ca,bc=cb=a那么令G={e,a,b,c}是4元群，它是G1一个子群，这与拉格朗日定理矛盾故G1不构成群。
（2）G2={e,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9}
e=a12=aj5=e（j=2,3,4,5,6,7,8,9）即是G2由单位元，1个2阶元，8个5阶元构成；
（3）G3={e,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9}
e=a12=a22=a32=aj5（j=2,3,4,5,6,7,8,9）即G3是由单位元，3个2阶元，6个5阶元构成;
（4）G4={e,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9}
e=aj2=a85=a95（j=2,3,4,5,6,7）即G4是由单位元，7个2阶元，2个5阶元构成.
先证G2不构成群，a,b∈G2，且a5=b5=e,a≠b
且则令H=（a）,K=（b）,由
可知即H=K同时5阶元只能有4个
故G2不构成群，同理G3,G4也不构成群
可见10元群只有如上两种类型，证毕。
4.4︱G︱﹦14
（1）同构于14阶循环群。
（2）同构于7次对称群S7={e，c，c2，c3，c4，c5，c6，a，ca，c2a，c3a，c4a，c5a，c6a}
5.阶为特殊值时群的结构
5.11阶群的结构
G={e}，G上的二元
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