材料力学基本概念和公式.docx

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材料力学基本概念和公式

第一章绪论

第一节材料力学的任务

1、组成机械与结构的各组成部分，统称为构件。

2、保证构件正常或安全工作的基本要求：

a）强度，即抵抗破坏的能力；b）刚度，即抵抗变形的能力；c）稳定性，即保持原有平衡状态的能力。

3、材料力学的任务：

研究构件在外力作用下的变形与破坏的规律，为合理设计构件提供强度、刚度和稳定性分析的基本理论与计算方法。

第二节材料力学的基本假设

1、连续性假设：

材料无空隙地充满整个构件。

2、均匀性假设：

构件内每一处的力学性能都相同

3、各向同性假设：

构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。

木材是各向异性材料。

第三节内力

1、内力：

构件内部各部分之间因受力后变形而引起的相互作用力。

2、截面法：

用假想的截面把构件分成两部分，以显示并确定内力的方法。

3、截面法求内力的步骤：

用假想截面将杆件切开，一分为二；取一部分，得到分离体；③对分离体建立平衡方程，求得内力。

4、内力的分类：

轴力；剪力；扭矩；弯矩

第四节应力

1、一点的应力：

一点处内力的集（中程）度。

全应力；正应力σ；切应力τ；

2、应力单位：

Pa（1Pa=1N/m2，1MPa=1×106Pa，1GPa=1×109Pa）

第五节变形与应变

1、变形：

构件尺寸与形状的变化称为变形。

除特别声明的以外，材料力学所研究的对象均为变形体。

2、弹性变形：

外力解除后能消失的变形成为弹性变形。

3、塑性变形：

外力解除后不能消失的变形，称为塑性变形或残余变形。

4、小变形条件：

材料力学研究的问题限于小变形的情况，其变形和位移远小于构件的最小尺寸。

对构件进行受力分析时可忽略其变形。

5、线应变：

。

线应变是无量纲量，在同一点不同方向线应变一般不同。

6、切应变：

。

切应变为无量纲量，切应变单位为rad。

第六节杆件变形的基本形式

1、材料力学的研究对象：

等截面直杆。

2、杆件变形的基本形式：

拉伸（压缩）、扭转、弯曲

第二章拉伸、压缩与剪切

第一节轴向拉伸（压缩）的特点

1、受力特点：

外力合力的作用线与杆件轴线重合。

2、变形特点：

沿杆件的轴线伸长和缩短。

第二节拉压杆的内力和应力

1、内力：

拉压时杆横截面上的为轴力。

2、轴力正负号规定：

拉为正、压为负。

3、轴力图三个要求：

上下对齐，标出大小，标出正负。

4、横截面上应力：

应力在横截面上均匀分布

第三节材料拉伸和压缩时的力学性能

1、低碳钢拉伸时的应力–应变曲线：

（见图）

2、低碳钢拉伸时经过的四个阶段：

弹性阶段，屈服阶段，强化阶段，局部变形阶段。

3、胡克定律：

应力小于比例极限时，应力与应变成正比，材料服从胡克定律：

，E为（杨氏）弹性模量，是材料常数，单位与应力相同。

钢的弹性模量

E=210GPa。

4、低碳钢拉伸时四个强度指标：

弹性极限；比例极限；屈服极限；强度极限。

5、低碳钢拉伸时两个塑性指标：

伸长率：

；断面收缩率

6、材料分类：

d＜5％为脆性材料，d≥5％为塑性材料。

7、卸载定律和冷作硬化：

在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。

预加塑性变形使材料的比例极限或弹性极限提高，但塑性变形和延伸率有所降低。

8、名义屈服极限：

对于没有明显屈服阶段的材料，工程上常以卸载后产生残余应变为0.2%的应力作为屈服强度，称为名义屈服极限

9、材料压缩时的力学性能：

塑性材料的拉压性能相同。

脆性材料在压缩时的强度极限远高于拉伸强度极限，脆性材料抗拉性能差，抗压性能好。

（如图）

低碳钢

铸铁

第四节失效、许用应力与强度条件

1、失效：

塑性材料制成的构件出现塑性变形，脆性材料制成的构件出现断裂。

2、许用应力：

称为许用应力，构件工作时允许的最大应力值，其中n为安全因数，为极限应力

3、极限应力：

构件失效时的应力，塑性材料取屈服极限（或）；脆性材料取强度极限（或）。

4、拉压时强度条件：

5、强度计算：

根据强度条件，可进行强度校核、截面设计和确定许可载荷等强度计算。

在工程中，如果工作应力σ略大于[σ]，其超出部分小于[σ]的5%，一般还是允许的。

第五节杆件轴向拉压时的变形

1、轴向变形：

，为拉压刚度。

公式只适用于应力小于比例极限（线弹性范围）。

2、横向变形：

，μ称为泊松比，材料常数，对于各向同性材料，。

3、计算变形的叠加原理：

分段叠加：

分段求轴力分段求变形求代数和。

分载荷叠加：

几组载荷同时作用的总效果，等于各组载荷单独作用产生效果的总和。

4、叠加原理适用范围：

材料线弹性（应力与应变成线性关系）小变形。

5、用切线代替圆弧求节点位移。

第五节杆件轴向拉压时的应变能

1、应变能：

构件在外载荷作用下发生变形，载荷在相应位移上作了功，因变形而储存的能量称为应变能。

忽略动能、热能等能量的变化，在数量上等于外力作功。

2、轴向拉压杆应变能：

此公式只适用于线弹性范围。

3、应变能密度：

单位体积应变能。

4、轴向拉压杆应变能密度：

第六节拉伸、压缩超静定问题

1、静定与超静定的概念：

由静力学平衡方程即可求出全部未知力的问题称为静定问题。

只凭静力学平衡方程不能求出全部未知力的问题称为超静定问题。

2、超静定次数：

超静定次数=未知力数—独立平衡方程数。

3、超静定问题的解法：

通过变形协调方程（几何方程）和物理方程来建立补充方程。

4、变形协调方程：

也称为变形几何相容方程。

结构受力变形后，结构各部分变形必须满足相互协调的关系。

可以通过结构的变形图来建立结构各部分变形之间的关系。

5、结构变形图的画法：

①若能直接判断出真实变形趋势，则按真实变形趋势画变形图；②若不能直接判断出真实变形趋势，则画出任意可能变形图即可；③对于不能判断出真实变形趋势的情况，应设杆子受拉，即内力为正（设正法），若计算结果为负，则说明真实方向与所设方向相反；④杆子受力与变形要一致，设杆子受拉则应该伸长，设杆子受压则应该缩短；⑤刚性杆不发生变形。

6、超静定结构内力特征：

在超静定结构中各杆的内力与各杆刚度的比值有关。

刚度越大内力越大。

7、温度应力和装配应力：

超静定结构在温度变化时构件内部产生的应力称为温度应力。

由于加工误差使实际杆长与设计尺寸不同，超静定结构组装后还没有受外力时已经存在的应力称为装配应力。

温度应力和装配应力问题的解法：

与超静定问题解法相同，在建立变形协调方程和物理方程时要考虑温度和加工误差的影响。

第七节应力集中的概念

1、应力集中：

因杆件外形突然变化而引起的局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。

2、理论应力集中因数：

其中：

为应力集中截面上最大应力，σ为同截面上平均应力。

3、圣维南原理：

用与原力系等效的力系来代替原力系，则除在原力系作用区域内有明显差别外，在离外力作用区域略远处，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。

（杆端作用力的分布方式，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区的轴向范围约离杆端1—2个杆的横向尺寸。

）

第八节剪切和挤压的实用计算

1、剪切的实用计算：

2、挤压的实用计算：

，称为计算挤压面，受压面为圆柱面时，取圆柱面的投影面积计算，。

第三章扭转

第一节圆轴扭转时横截面上的内力和应力

1、扭转时的内力：

扭矩T，

2、扭矩的正负规定：

以右手螺旋法则，沿截面外法线方向为正，反之为负。

3、切应力互等定理：

在两个相互垂直的面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向为共同指向或共同背离该交线。

4、剪切胡克定律：

其中：

G为剪切弹性模量，材料常数。

5、材料常数间的关系：

6、圆轴扭转时横截面上的应力：

其中：

为极惯性矩，，是距轴线的径向距离。

7、圆轴扭转时横截面上切应力分布规律：

横截面上任意一点切应力大小与该点到圆心的距离成正比（按线性规律分布），最大切应力发生在圆截面边缘上。

8、最大扭转切应力：

最大切应力发生在圆截面边缘上。

其中：

称为抗扭截面系数。

9、圆和空心圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数：

第二节圆轴扭转时强度条件

1、圆轴扭转的强度条件：

2、许用切应力：

称为极限切应力，塑性材料取剪切屈服极限，脆性材料取强度极限。

3、许用切应力与许用正应力间关系：

塑性材料：

脆性材料：

第三节圆轴扭转变形与刚度条件

1、圆轴扭转变形：

扭转角φ

其中：

称为圆轴的抗扭刚度。

2、单位长度扭转角φ′：

3、刚度条件：

其中：

称为许用单位长度扭转角

以上所有公式适用范围：

①因推导公式时用到了剪切胡克定律，故材料必须在比例极限范围内；②只能用于圆截面轴，因为别的形状刚性平面假设不成立。

第四章弯曲内力

第一节弯曲的概念

1、平面弯曲的概念：

梁的横截面至少有一根对称轴，外载荷作用在纵向对称面内，杆件发生弯曲变形后，轴线仍然在纵向对称面内，是一条平面曲线，此为平面弯曲（对称弯曲）。

2、梁的三种基本形式：

简支梁、外伸梁和悬臂梁。

第二节弯曲内力

1、弯曲内力：

杆件弯曲时有两个内力，剪力FS，弯矩M。

2、弯曲内力的正负规定：

剪力FS：

左上右下为正;反之为负。

弯矩M：

左顺右逆为正；使梁变成上凹下凸（可以装水）的为正弯矩。

3、指定截面上弯曲内力的求法：

剪力=截面左侧所有外力在y轴上投影代数之和，向上为正。

弯矩=截面左侧所有外力对该截面之矩的代数和，顺时针为正。

也可以取截面右侧，正负号相反。

第三节剪力图和弯矩图特征

1、在集中力作用的地方，剪力图有突变，外力F向下，剪力图向下变，变化值=F值；弯矩图有折角。

2、在集中力偶作用的地方，剪力图无突变；弯矩图有突变，Me顺时针转，弯矩图向上变（朝增加方向），变化值=Me值。

3、在均布力作用的梁段上，剪力图为斜直线；弯矩图为二次抛物线，均布力向下作用，抛物线开口向下。

抛物线的极值在剪力为零的截面上。

4、载荷集度、剪力和弯矩间的关系：

5、刚架的内力图规定：

剪力图及轴力图可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。

弯矩图通常（机械类）正值画在刚架的外侧，负值画在刚架的内侧，不注明正负号。

附录I平面图形的几何性质

1、静矩：

或

2、形心：

或

3、组合截面的静矩与形心：

4、图形有对称轴时，形心在对称轴上。

5、惯性矩：

6、矩形：

圆：

空心圆：

7、平行移轴定理：

8、组合截面的惯性矩：

9、形心主惯性轴和形心主惯性矩：

使惯性积为零的坐标轴称为主惯性轴。

图形对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。

主惯性轴过形心时，称其为形心主惯性轴。

图形对形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性矩。

如果图形有对称轴，则对称轴就是形心主惯性轴。

10、惯性半径：

称为图形对z轴的惯性半径。

第五章弯曲应力

第一节弯曲正应力

1、中性层和中性轴的概念：

梁内既不伸长也不缩短的一层纤维，此层纤维称中性层。

中性层与横截面的交线称为中性轴。

中性轴通过截面形心。

2、横截面上弯曲正应力：

横截面上弯曲正应力沿截面高度直线变化，与该点到中性轴的距离成正比，中性轴上为零。

正应力公式：

3、最大正应力：

最大正应力发生在离中性轴最远的梁上缘（或下缘）。

或

式中：

称为抗弯截面系数

4、矩形：

圆：

空心圆：

5、梁的弯曲正应力强度条件：

第二节弯曲切应力

1、矩形截面梁弯曲切应力：

矩形截面梁弯曲切应力沿截面高度按抛物线分布，最大切应力在中性轴上，是平均值的1.5倍。

2、工字形截面梁的弯曲切应力：

在腹板上切应力也是沿截面高度按抛物线分布，中性轴上最大，计算公式：

3、梁的弯曲切应力强度条件：