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20世纪数学史略作者：
木桃20世纪数学史略
20世纪的数学一如既往地向前发展，其速度可以说超出了人们的预料。
与19世纪的经典数学相比，20世纪的数学也可称之为现代数学。
§120世纪数学的特点
一般认为，现代数学具有以下特征：
（1）各门数学学科以集合论为基础，按数学结构的框架展开，推理方式进一步形式化，数理逻辑成为数学的基础分支。
（2）纯粹数学进一步抽象化了，但却并未离开整个科学的发展。
它的核心内容已从过去的微积分，单元多项式理论，三维解析几何及局部微分几何为主体转到以泛函分析，抽象代数和拓扑学（所谓新三高）为主体。
数学内容从单变量发展到多变量，从平面和立体几何转向一般的n维空间的几何，从研究局部性态发展为研究整体性态，从线性问题过渡为非线性问题。
（3）新的应用学科蓬勃发展。
概率论与数理统计迅速普及，几乎渗入所有的科学分支。
控制论、信息论、对策论、规划论等全新学科在二次大战后纷纷问世。
数学广泛渗入一切科学分支自然科学的，也包括社会科学的。
各科学分支数量化的进程仍在一日千里地前进。
（4）最重要的特点也许是电子计算机的问世，它改变了数学发展的方向。
大范围的科学计算使许多数学方法获得新生，并正在改变数学家的工作方式。
机器证明正在成为数学界的现实。
与计算机相关，离散数学将成为数学中的主角之一。
§220世纪数学中心的转移
在上世纪末、本世纪初之时，法国的大数学家庞加莱（H.poinoare1854-1912）执国际数坛牛耳，巴黎是世界数学中心之一。
当时正在上升的明星是德国的希尔伯特（D.Hilbert1962-1943）。
1900年，他在巴黎的国际数学家会议上发表演说，提出了著名的23个问题，表明他将领导新世纪的数学新潮流。
从1900年到1933年，德国的哥庭根大学成为世界数学的中心，其中早期的核心人物是克莱茵（F.Klein1849-1925），希尔伯特和闵可夫斯基（H.Minkowski1864-1909）。
后期的中坚是外尔（H.Noether1882-1935）等人。
冯·诺伊曼（vonNeumann1903-1957）也深受哥庭根学派的影响，有段时间曾在那里工作，更是希尔伯特家里的常客。
在哥庭根，闵可夫斯基为狭义相对论提供了数学框架（闵可夫斯基四维几何），外尔最早提出规范场理论，并为广义相对论提供理论依据。
冯·诺依曼对刚刚降生的量子力学提供了严格的数学基础，发展了泛函分析。
仅此数端，说明哥庭根紧紧抓住了科学前进的脉搏，走在数学发展的最前列。
在理论数学方面，希尔伯特创造了从代数、几何、分析乃至元数学的一连串无与伦比的数学成就。
德国女数学家诺特（Noether）以一般理想论奠定了抽象代数的基础，并在此基础上刺激了代数拓扑学的发展。
柯朗是应用数学大家，他在偏微分方程求解方面的工作为空气动力学等一系列实际课题扫清了道路。
以上极不完全的列举，已足以证明，德国的哥庭根确实是国际数学中心，与此相对照的是法国。
本世纪初，法国数学家集中在函数论这一相对狭小的领域内，除了阿达玛（J.Hadamard1865-1963）和嘉当（E.Cartan1869-1951）是少有的例外，我们熟知的法国数学家勒贝格（H.L.Lebesgue1875-1941），皮卡（picard1856-1941），波莱尔（E.Borel1871-1956）等都是函数论专家。
过于狭窄的领域使法国数学落后于时代，巴黎逐渐失去了世界数学中心的光采。
1933年希特勒法西斯上台，把哥庭根学派全毁了。
疯狂的排犹，使得哥庭根的主要数学家移居美国。
外尔和冯·诺曼在美国的普林斯顿高等研究所任教授，诺特则在普林顿附近的MaxBown女子学院，柯朗在纽约大学任教，创办了举世闻名的应用数学研究所。
从此以后，美国数学居于世界领域地位，普林斯顿取代哥庭根成为世界数学的中心，一直至今。
在20年代末30年代初，法国的一批年青数学家迪多内（J.Dieudonne1906-），威伊（A.Weil1906-），亨利·嘉当（H.Cartan1904-），薛华荔（C.Chevalley1909-1984），组成了名为布尔巴基（Bourbaki）的团体，倡导法国数学改革，提倡结构主义，研究整个数学，编著《数学原本》，在二次大战后风靡一时，对20世纪数学有深远影响。
"布尔巴基"现在还活着，但是已经老了，更年轻的法国数学家在开拓新领域。
现在巴黎又恢复了西欧数学中心的地位。
第二次大战后的德国数学总的来说未能恢复哥庭根的昔日雄风。
联邦德国的数学家以F.Hirzebruch为首在波恩创立了Plank数学研究所，成绩显著。
1984年伐尔廷斯（G.Faltings1954-）解决了Mordell猜想，震惊世界。
德国数学仍在复苏中。
英国数学在第二次大战前由哈代（H.Hardy1877-1947）和李特伍德（littlewood1885-1977）领导，主要工作在解析函数和经典函数论方面，已不能成为数学主流。
第二次大战后，英国数学也一改旧观，阿蒂亚（Atiyah1929-），唐纳尔松（Donaldson1957-）崭露头角，对当代数学有杰出贡献。
值得一提的是波兰数学。
这个曾被瓜分的小国，在1920年开始数学起飞，他们集中在一个相对狭窄的领域里：
集合论与泛函分析，形成了自己的特色，出现了一批杰出的数学家如巴拿赫（Banach1829-1945），夕尔宾斯基（Sierpinski1882-1969）等人。
他们的学生如Ulam、Eilenberg、Tarski等人后来移居美国等地，在世界数坛著称。
苏联是当今的又一数学大国。
十月革命以前，沙皇俄国有一定的数学底子，如车比雪夫（Tschebysceff1821-1894）、马尔可夫（Markov1856-1922）、李雅普诺夫（Liapounoff1857-1918）等人。
卢津（Lusin1883-1950）到法国学习函数论，回国以后在莫斯科大学创立了新学派。
苏维埃政权对数学家给予多方支持，亚历山大罗夫（P.S.Alexandroff1896-1982）常到哥庭根访问，成为本世纪拓扑学奠基人之一。
柯尔莫戈洛夫（A.N.Kolmogoroff1903-）是一位数学的天才人物，成就很高，他为概率论奠定公理化体系尤为人所称道。
列宁格勒的康脱洛维奇（Kantrovitz1912-）由于创立线性规划理论而获1975年诺贝尔经济学奖。
60年代以后，苏联数学更有重大进展，Arnold、Novikov、Mannin等年轻人在拓扑学上有重要成就。
现在的莫斯科也被人们视为世界的数学中心之一。
东方的日本，在1898年派遣高木贞治到哥庭根随希尔伯特学代数数论。
1920年他创立实域论，使日本数学挤身于先进之列。
第二次大战后，小平邦彦、广中平佑等人又获世界最高数学奖--菲尔兹奖，与世界水平的差距不断缩小。
印度也是数学人才较多的国家，除了20年代有拉曼努扬（Ramanujan1887-1920）那样的传奇数学家之外，以后又出现了许多像Chandra、Bose那样的名家，不过他们都在国外工作，印度本土的数学水平不很高。
东方的中国曾有灿烂的数学成就，但在宋元以后走向低谷。
现代数学的发展可以说在1919年的五四运动以后才开始，那时办了北京大学、南开大学等著名的数学系。
到了30年代，出现了熊庆来、苏步青、陈建功等一批有成就的数学家，以及稍年轻的华罗庚、陈省身、许宝*等一批享有世界声誉的数学家。
陈省身在整体几何学上的成就使他成为一代大师。
解放以后的中国数学有了迅速发展，但离开世界数学主流有相当的距离，再加上十年动乱，水平徘徊不前。
进入80年代以后，中国数学正在改变落后面貌，向世界数学高峰迈进。
美国和苏联继续领先，西欧紧随其后，日本正在迎头赶上，十亿人口的中国，当今数学情势，看来是很有希望的。
中国有丰富的智力资源，潜力极大。
只要善于开发，用力追赶，中国成为"21世纪的数学大国"，是完全能够实现的。
§320世纪数学发展的梗概
20世纪数学的发展极为迅速，学科分支大量涌现，文献资源以指数方式增长。
因而研究它的历史发展线索是十分困难的，甚至认为目前还不成熟。
这里我们仅就目前所收集到的材料，作一概略的叙述。
3.1第一次大战前的数学
从本世纪初到第一次世界大战结束，现代数学可以说经历了初创时期。
法国数学家庞加莱（H.Poincare）是这一时期的权威，直到他1912年去世时为止，这位多才且多产的数学家，以微分方程、自守函数（1879）、天体力学（1892-1899）、拓扑学（1895）等最为著名，二十世纪的许多成果都可溯源于他。
可以和庞加莱的权威相匹敌的只有希尔伯特。
1900年，希尔伯特在巴黎国际数学家会议上发表著名演说，向未来世纪的数学家提出了23个问题，揭开了本世纪数学史的第一页。
这23个问题确实在相当程度上左右了本世纪数学发展的进程，其中大约有三分之二已经获得解决或基本解决，伴随而来的是一个一个的新学科。
但是这一演说，对后来获得重大进展的代数拓扑、泛函分析等学科并无暗示，可见预言毕竟不如现实来得丰富。
本世纪初，在积极分学里发生了一场革命，勒贝格突破了黎曼（Riemann）积分的框框，提出了可列可加的测度，形成了L积分理论。
这种专门研究"病态函数"的积分，曾遭到一些著名数学家的讪笑和抵制。
但是L积分不胫而走，俄国学者卢津、叶戈罗夫（Eropob）等人继续研究，到1910年，勒贝格进入法兰西学院，争论和批判也就停止了。
第一次世界大战前经历的所谓"第三次数学危机"是惊心动魄的。
上世纪末，德的康托尔（G.Cantor）提出集合论，对"无限"作了新的探讨，提出超限数，因而引起争论。
1900年，庞加莱曾宣布"数学已完全严谨"，三年之后，英国的数学家、哲学家罗素（Russell）发表著名的悖论，使数学陷入危机，康托尔的集合论成了自相矛盾的体系。
为了解救危机，希尔伯特的形式主义学派、罗素和怀特黑（A.N.Whitehead1861-1947）的逻辑主义学派以及荷兰布劳威尔（L.E.J.Brouwer）的直觉主义学派，在1910年前后发表了许多论著，导致公理集合论、数学逻辑等数学基础学科蓬勃发展，这场争论至今没有结束。
围绕相对论和量子力学的发展，在本世纪最初十余年里发展了嘉当和外尔的李代数表示论，以及张量分析和黎曼几何。
外尔的流形论（1913）和豪斯道夫（Hausdorff）的点集拓扑学（1914）先后问世。
弗雷切（Frechet）和黎斯（Riesz）发展了无限维函数空间论（1906），成为泛函分析的发端。
多复变理论和马尔可夫链相继诞生。
这些反映了二十世纪初期的数学有不少开创性的工作，其影响一直延续至今。
统计学在本世纪初不像今天那样受人注意，但也有一些重大进展。
1901年，美国吉布斯（Gibbs）出片《统计力学中的基本原理》，同年英国人皮尔逊（K.Pearson）创办《生物统计学》杂志。
1909年，波莱尔著《概率论初步》一书，也有重大意义。
综观这一时期，集合论为大多数数学家所接受，形成了现代数学的基础。
黎曼几何、群论、群表示论、点集拓扑、多复变、泛函分析的工作已初露端倪，然而占据当时主流的大多数工作还是三角级数、积分论、复变函数论、数论、微分方程论等经典数学。
关于数学基础三个学派的论争，影响极其深远。
希尔伯特的公理化方法和形式主义，几乎给二十世纪的每一门学科都打上了印记。
3.2二十至三十年代的奠基性工作
第一次世界大战结束后，世界上陆续形成了一些重要的学派。
德国虽是战败国，但数学家未上前线，加上哥廷根学派的传统，使德国迅速成为世界数学中心。
法国自庞加莱去世后，失去了首屈一指的权威，而青年数学有却葬身于前线炮火。
除了少数例外，法国差不多成了"函数论王国"（皮卡、勒贝格、波莱尔都是函数论大家），现代数学的势头不大。
这时，以研究数学基础著称的波兰学派崛起。
匈牙利、奥地利等国相继出现冯·诺伊曼、哥德尔（K.Godel）等举世闻名的学者。
苏联学派在十月革命之后也获得迅速成长。
英国仍然是经典分析的天下，而当时美国的数学家大多是去欧洲留学才的成长起来的。
抽象代数，代数拓扑，泛函分析可以说是现代数学的三根理论支柱，它们都在二十年代和三十年代中期奠定了基础。
1926年前后，诺特完成了理想论，范·德·瓦尔登（vanderWaerden）总结诺特和阿廷（Artin）等德国学者的成果写成《代数学》（1932），使抽象代数成为系统的学科，一时风靡世界。
代数拓扑学借用代数工具进行研究，也进展神速。
1931年，瑞士的德·拉姆（deRham）发现多维流形上的微分形式和流形上的同调性质有联系。
1934年莫尔斯（Morse）提出大范围变分理论，1935年赫维兹（Hurwitz）引入同伦群，给代数拓扑、微分拓扑打下了坚实的基础。
泛函分析方面，巴拿赫（Banach,1922）和黎斯（1918）分别提出巴拿赫空间和希尔伯特空间。
冯·诺伊曼则于1929年提出算子谱论并应用于量子力学，泛函分析的主要部分至此也大体完成。
随着三根理论支柱的建立，二十世纪以来数学日益抽象的势头越来越大。
三十年代，奥籍的哥德尔关于数学基础的研究令人惊讶，他的关于公理系统不完备的定理曾使大数学家冯·诺伊曼为之折服。
希尔伯特企图将全部数学都公理化的奢望也随之破灭。
但是，人类思维形式的奥秘却越来越使神往了。
数学理论抽象化的倾向也涉及根率论。
1932年，苏联的柯尔莫戈洛夫提出概率论的公理化体系，抽象测度和积分论一旦用于概率论，使这门学科别开生面。
马尔可夫过程、平均过程等理论也在这前后诞生，概率论的体系更加科学，也更加严谨了。
三十年代初，世界数学中心由德国逐步转移到美国，这不是因为美国出了数学天才，而是希特勒"送给"美国的"礼物"。
1930年以后，德国政局动荡，法西斯分子蠢蠢欲动。
希特勒一上台，大肆迫害犹太人，许多著名数学家离开德国赴美避难，其中有抽象代数的奠基人诺特和阿廷，最负盛名的应用数学大师阿朗，数学基础方面的天才哥德尔，本世纪的大数学家外尔和冯·诺伊曼。
其他著名数学家还有费勒（W.Feller）、波利亚（Polya）、切戈（Szego）、塔尔斯基（Tarski）、海林格（E.Hellinger）。
美国开明的人才政策，使得一向冷落的美国数学界突然热闹起来。
美国单方面向欧洲派遣数学留学生的历史从此结束了，到了今天，则是欧洲向美国大量派遣数学留学生的时代了。
当德国和东欧的数学"头脑"纷纷渡过大西洋时，法国的一批年轻数学家决计冲击"函数论王国"的束缚，吸收世界的精华，用自己的结构主义观点，将迄今为止的全部数学加以整理，终于在1939年出版了《数学原本》第一卷。
这一学派继承希尔伯特形式主义的传统，注入自己的结构观，在数学界独树一帜，它在促进数学理论进一步抽象化、公理化方面，有其独特的作用。
3.3二次世界大虞前后及五十年代的数学大发展
第二次世界大战，是人类历史上的空前浩动，一批有才华的数学家在战叟中夭折。
波兰的巴拿赫，被纳粹百般摧残，于1945年走出集中营后不久即逝世。
又如德国的泰希穆勒（O.Teichmuller），虽然有过出色的数学研究，但追随希特勒纳粹，在战场上死于非命。
赫赫有名的德国哥廷根学派经受法西斯的破坏后大伤元气，一蹶不振，损失是难以估量的。
另一方面，反法西斯战争促使应用数学的发展，结出了丰硕的果实。
这些成果战时为军事服务，战后为经济服务，给现代数学的发展注入了严自实践的新活力。
下面是几个重要的例子。
1940年，英国和美国海军的运筹小组为了对付德国潜艇，提高军事搜索能力，发展了运筹学。
这种旨在提高现有设备能力和效率的学问，主要是数学家们完成的，战后大量用于经济部门。
它是现代运筹学的发端。
1942年，苏联的柯尔莫戈洛夫和美国的维纳（Wiener）等人分别研究火炮的自动跟踪，形成随机过程的预测和滤波理论。
1948年，维纳综合其他（生物、医学）方面成果，写成《控制论》一书，开辟了现代数学的重要分支。
1939年，英国数学家图灵（Turing），用数学理论帮助英国外交部破译德军密码获得成功，并成为今日自动机的渊源。
1944年冯·诺伊曼建议美国军方：
为了计算弹道，必须发展电子计算机，因而促进了世界上第一台电子计算机--ENIAC于1944年投入运转，全新存贮通用电子计算机EDVAC也于1945年6月建成。
计算机的出现，使计算数学迅猛发展。
一些由于计算量太大而搁置不用的应用方法，这时获得了新的实用价值。
线性规划、动态规划、优选法等最优化理论如雨后春笋般生长起来。
应用数学有了电子计算机，如虎添翼，二十世纪数学强调抽象理论的趋势至此有了新的变化。
当然，理论数学在相对的和平环境里也有巨大的发展。
在拓扑方面，纤维丛、同调代数、现代代数几何、米尔诺（Milnor）怪球、托姆（Thom）的余边界论等成就，使拓扑和微分几何、抽象代数、泛函分析、偏微分方程建立密切联系，打破了战前拓扑学孤立的局面。
代数化、拓扑化的倾向有增无减。
其他如广义函数论、范畴论、一般偏微分算子理论、鞅论、最优控制的变分原理等也都在四、五十年代发展起来。
现代数学至此可说已经相当成熟了。
3.4现代数学的深化（1960--）
理论上更抽象、应用上更广泛、计算机更普及，这就是六十年代以来数学的总趋势。
从理论上看，1963年美国科恩（Cohen）证明了广义连续统假说独立于ZF公理，这是继哥德尔之后最著名的工作。
希尔伯特23个问题中的第一个问题至此获得某种意义的解决，选择公理的价值再次引起人们的注意。
鲁宾逊（Robinson）用严格的数理逻辑方法使"无限小"重返数学，令人振奋。
代数和拓扑方面的工作更加深入了。
庞加莱猜想（n≥5）、伯恩赛德（Burnside）猜想、外尔猜想相继获得解决。
阿蒂亚（Atiyah）和辛格（Singer）建立了指标定理，进一步沟通了代数、拓扑和分析的联系，十分深刻。
概率论方法用于证明经典函数定理，也别开生面。
泛函分析似乎已失去大踏步前进的势头，但非线性泛函分析由于为非线性偏微分方程提供了合适的框架，正迅速发展。
算子代数、非自伴算子理论、巴拿赫空间几何理论不断有所建树。
经典分析一件悬案得到了解决：
录p>1时三角级数依Lp中范数收敛必几乎处处收敛（p=1时此结论不成立，这早在1912年就知道了）。
80年代以来，微分拓扑学，尤其是低维拓扑学处于中心地位，四维空间中至少有两个微分结构的发现引起广泛轰动。
Mordell猜想，Bieberbach猜想相继解决，也是数坛大事。
数学应用的广泛性，已到了令人难以置信的程度。
量子场论、规范场论需要用纤维丛理论、算子理论、无限维空间上的微分和积分理论，这证明数学的高度抽象并未背离物质世界研究的需要。
工程技术方面需要的数学早已从微积分技术扩展到泛函分析、矩阵代数、随机过程等理论。
生物数学已成长为一门单独的学科。
托姆的突变理论运用拓扑学中的奇点理论给出了非光滑变化的数学模型，影响深远。
数学渗入社会科学极其迅速，如果说计量经济学主要还是运用微积分和统计学，那么现在的数学经济学几乎动用了一切数学工具。
计量历史学、计量语言学、计量文学也有了长足的进展。
计算机居然能根据数学模型来辨别莎翁著作的真伪，数学真可以说无孔不入了。
计算机的功能已从代替人们的繁重计算进入数学证明的殿堂。
1976年，哈肯和阿佩尔宣布用计算机解决了四色问题。
尽管有不少人怀疑，但十年过去了，这一证明仍认为是正确的。
计算机的出现，也正在影响数学研究的方向，人工智能的研究导致离散数学的繁荣。
有人预料，离散数学有可能取代微积分成为数学教育的核心。
80年代以来，数学正在继续前进，尽管在经济上缺乏二次大战后那种十分优裕的条件，但数学发展不会停顿下来。
许多权威的调查报告表明：
非线性分析（包括混沌、分维），概率方法，大范围科学计算和离散数学将会受到更多的重视。
在20世纪最后十几年中，这四门学科的进展可能成为数学进步的主要标志。
与现代数学发展相适应，中学数学教育也一定会随着时代的步伐前进。
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