届浙江省湖州三校普通高等学校招生全国统一考试数学试题解析版.docx

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届浙江省湖州三校普通高等学校招生全国统一考试数学试题解析版

2019届浙江省湖州三校普通高等学校招生全国统一考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】根据交集定义求解.

【详解】

选B.

【点睛】

本题考查集合交集，考查基本求解能力，属基本题.

2．双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（）

A．1B．2C．4D．

【答案】A

【解析】根据双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长一半，即得结果.

【详解】

因为双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长一半，

所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是1,选A.

【点睛】

本题考查双曲线的焦点与渐近线，考查基本分析求解能力，属基本题.

3．复数（为虚数单位）的共轭复数是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】先化简复数为代数形式，再根据共轭复数概念求解.

【详解】

因为,所以其共轭复数是，选C.

【点睛】

本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题.

4．若变量，满足约束条件，则的最大值是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】D

【解析】先作可行域，再求范围，最后可得的最大值.

【详解】

作可行域，如图，

则直线过点A（-1,-1）时取最小值-4，过点时取最大值2，

因此的最大值是4,选D.

【点睛】

本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基本题.

5．设函数，则函数的图像可能为（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】先判断函数奇偶性，舍去B,D，再根据函数值正负确定选项.

【详解】

因为，所以舍去B,D，

因为ln3>0,所以选C.

【点睛】

本题考查函数图象识别，考查基本分析判断能力，属基本题.

6．设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】根据面面垂直性质定理可证得充分性成立，举反例说明必要性不成立.

【详解】

因为，平面与平面相交于直线，直线在平面内，且，

所以，因为直线在平面内，所以，即充分性成立，

若，，但时，与不一定垂直，即不一定垂直，即必要性不成立.

选A.

【点睛】

本题考查面面垂直性质定理与充要关系，考查基本分析判断能力，属中档题.

7．已知袋子中装有若干个大小形状相同且标有数字1，2，3的小球，每个小球上有一个数字，它们的个数依次成等差数列，从中随机抽取一个小球，若取出小球上的数字的数学期望是2，则的方差是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】根据题意可假设标有数字1，2，3的小球各有1个，再根据方差定义求结果.

【详解】

因为取出小球上的数字的数学期望是2，且个数依次成等差数列，所以不妨设标有数字1，2，3的小球各有1个，从而随机抽取一个小球概率皆为，方差为，选B.

【点睛】

本题考查数学期望与方差，考查基本分析与求解能力，属中档题.

8．已知三棱锥中，为正三角形，，且在底面内的射影在的内部（不包括边界），二面角，二面角，二面角的大小分别为，，，则（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】作出三个二面角，再根据，确定二面角大小.

【详解】

设在底面内的射影为O，过O分别作AB,BC,CA垂线，垂足分别为D,E,F,则，，，从而，，，

因为，所以,,即,

即，选C.

【点睛】

本题考查二面角，考查基本分析与判断能力，属中档题.

9．已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（）

A．B．C．5D．

【答案】B

【解析】建立坐标系，将转化为直线上一动点到两定点距离和，再根据对称求最小值.

【详解】

由题意可设,，

因此表示直线上一动点到定点距离的和,因为关于直线的对称点为，所以选B.

【点睛】

本题考查向量坐标表示与直线对称，考查等价转化与数形结合思想方法，考查基本求解能力，属难题.

10．已知数列满足，，则使的正整数的最小值是（）

A．2018B．2019C．2020D．2021

【答案】C

【解析】令,利用裂项相消法得，再根据范围求正整数的最小值.

【详解】

令,则,所以，从而，

因为,所以数列单调递增，

设当时,当时,

所以当时，，，

从而,

因此,

选C.

【点睛】

本题考查数列递推关系与裂项相消法，考查等价转化与构造法，考查综合分析与求解能力，属难题.

二、填空题

11．我国古代某数学著作中记载了一个折竹抵地问题：

“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？

”意思是：

有一根竹子（与地面垂直），原高二丈（1丈=10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离为六尺，则折断处离地面的高为__________尺．

【答案】9.1尺

【解析】根据题意列方程，解得结果.

【详解】

设折断处离地面的高为尺．则

【点睛】

本题考查数学文化与应用，考查基本分析与求解能力，属基础题.

12．某几何体的三视图如图所示（单位：

），则该几何体的体积（单位：

）等于_______，表面积（单位：

）等于__________．

【答案】

【解析】先还原几何体，再根据柱体与锥体性质求体积与表面积.

【详解】

几何体一个边长为2的正方体挖去一个正四棱锥（顶点在正方体下底面中心，底面为正方体上底面），因此几何体的体积为，表面积为

【点睛】

本题考查三视图与柱体与锥体性质，考查空间想象能力与基本求解能力，属基础题.

13．在中，内角，，所对的边分别为，，.已知，则的值为__________，若，，则的面积等于_________.

【答案】16

【解析】第一空根据两角和正切公式得，再根据同角三角函数关系得的值，第二空先根据正弦定理得，再根据两角和正弦公式得,最后根据面积公式得结果.

【详解】

因为，所以，因此

因为，所以

因为（）=,所以的面积等于

【点睛】

本题考查两角和正切公式、两角和正弦公式与正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.

14．若，则_________，_________.

【答案】-27-940

【解析】利用赋值法求系数.

【详解】

令得，所以，

令得，

令得，

两式相加得

【点睛】

本题考查利用赋值法求二项展开式系数，考查基本分析求解能力，属基础题.

15．已知函数，则__________，若实数，且，则的取值范围是__________．

【答案】4

【解析】第一空直接代入对应解析式求解即可，第二空先根据函数图象确定关系及取值范围，再求的取值范围.

【详解】

）,

因为，且，所以,,

因此.

【点睛】

本题考查分段函数求值以及函数图像，考查综合分析与求解能力，属中档题.

16．现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_______种.（结果用数字表示）

【答案】336

【解析】根据相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法进行求解.

【详解】

先不考虑红球与黄球不相邻，则4个小球有种排法，再安排空盒，有种方法，

再考虑红球与黄球相邻，则4个小球有种排法，再安排空盒，有种方法，

因此所求放法为

【点睛】

本题考查排列组合应用，考查综合分析与求解能力，属中档题.

17．已知椭圆的两个顶点，，过，分别作的垂线交该椭圆于不同于的，两点，若，则椭圆的离心率是__________．

【答案】

【解析】先求出，两点坐标，再根据弦长公式化简，解得离心率.

【详解】

过作的垂线的方程为，与联立方程组解得，

过作的垂线的方程为，与联立方程组解得，

因为，所以

【点睛】

本题考查椭圆的离心率，考查综合分析与求解能力，属中档题.

三、解答题

18．已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调递减区间；

（Ⅱ）求方程在区间内的所有实根之和.

【答案】（Ⅰ），.（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）先根据二倍角公式、辅助角公式化基本三角函数，再根据正弦函数性质求减区间，（Ⅱ）根据正弦函数图像与性质求简单三角方程的根.

【详解】

（Ⅰ），

由单调递减可知，递增，

故，，即.

∴函数的单调递增区间是，.

（Ⅱ）由，得.

由在上递增，在上递减，且，

得，方程在上有两不等实根，，且满足.

∴.

【点睛】

本题考查二倍角公式、辅助角公式以及正弦函数图像与性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.

19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，平面平面，二面角为.

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）见解析

（2）

【解析】（Ⅰ）根据面面垂直性质定理得平面，即得即为二面角的平面角，利用余弦定理解得，根据勾股定理得.最后根据线面垂直判定定理得结论，（Ⅱ）先利用等体积法求点到平面的距离，再根据解三角形得结果.

【详解】

（Ⅰ）证明：

平面平面，交线为，且，

∴平面，从而，，

∴即为二面角的平面角，即.

又，，由余弦定理得，

∴，即.

又，

∴平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，从而，，

又，，故.

由已知，点到平面的距离等于点到平面的距离，

设点到平面的距离为，则点到平面的距离也为，

由得：

，.

∴与平面所成角的正弦值.

【点睛】

本题考查面面垂直性质定理、二面角、线面垂直判定定理、等体积法求点到平面的距离以及线面角，考查综合分析与求解能力，属中档题.

20．已知等差数列的前项和为，，公差，且，，成等比数列，数列满足，的前项和为.

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）记，试比较与的大小.

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）见解析

【解析】（Ⅰ）根据待定系数法求得公差，再利用和项与通项关系得的通项公式，（Ⅱ）先利用裂项相消法求，利用等比数列求和公式得，最后作差，利用二项展开式比较大小.

【详解】

（Ⅰ）由已知得，即，

又，∴，

∴，.

由得.

时，.

∴，显然也满足，

∴.

（Ⅱ），，

，

当时，，，

当时，，，

当时，，

∴.

综上，当时，；当时.

【点睛】

本题考查利用和项与通项关系求通项公式、裂项相消法求和以及二项展开式应用，考查综合分析与求解能力，属中档题.

21．已知抛物线：

的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，直线交抛物线于另一点，的最小值为4.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）记、的面积分别为，，求的最小值.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）根据抛物线性质可得，即得结果，（Ⅱ）设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求，再利用基本不等式求最值.

【详解】

（Ⅰ）由已知及抛物线的几何性质可得，

∴，

∴抛物线的方程为.

（Ⅱ）设直线：

，：

，

，，，

由，，

同理可得，从而，

点到的距离，

，

∴.

又，

∴.

当且仅当，即时有最小值.

【点睛】

本题考查抛物线定义与性质以及基本不等式求最值，考查综合分析与求解能力，属中档题.

22．已知函数，，曲线与有且仅有一个公共点.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若存在实数，，使得关于的不等式对任意正实数恒成立，求的最小值.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）4

【解析】（Ⅰ）根据导数研究函数图象，再根据图象确定有且仅有一个公共点的条件，解得结果，（Ⅱ）先根据特殊值缩小的取值范围，再根据二次函数性质确定成立的条件，利用导数确定成立的条件，结合两个条件消得关于满足的条件，最后利用导数分析取值范围，即得最小值.

【详解】

（Ⅰ）由题意知，即，令，

则.

∵在上递增，在上增减，

∴，

∴.

（Ⅱ）解法一：

由题意知必有，即，