学年北京市通州区高一上学期期末考试数学试题解析版.docx
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学年北京市通州区高一上学期期末考试数学试题解析版
北京市通州区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题
一、选择题
1.函数是（）
A.上的增函数B.上的减函数
C.R上的增函数D.R上的减函数
【答案】A
【解析】的定义域为,
又,故在上为增函数,
故选:
A
2.下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】选项A中不是周期函数,故排除A;
选项B,D中的函数均为奇函数,故排除B,D;
故选:
C.
3.函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】函数在其定义域上单调递增，
（2），
（1），
（2）
（1）．
根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是，
故选B．
4.在范围内，与角终边相同的角是（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】与角终边相同的角的集合是:
,
当时,,
在范围内,与角终边相同的角是,
故选:
D.
5.若角的终边经过点，则等于（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】】角的终边经过点,
故选:
C.
6.将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，
可得.
故选C．
7.“”是“”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由可得，
由，得到或，，不能得到，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选A.
8.已知函数若，，互不相等，且，则的取值范围是（）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】画出的图像如下图所示:
因为（a）（b）（c）,且,不妨设,
结合函数图象可知,,,
且即,
故选:
C.
二、填空题
9.函数的最小正周期为．
【答案】
【解析】的周期为
10.函数的最小值是_________.
【答案】
【解析】,
的最小值是,
故答案为:
.
11.三个数，，按由小到大的顺序排列是________.
【答案】
【解析】,,,
三个数,,按由小到大的顺序排列为:
故答案为:
.
12.已知函数在上的最大值与最小值的和是2，则的值为________.
【答案】
【解析】①当时,在上为增函数,
所以在,上最大值为,最小值为;
②当,时,在上为减函数,
所以在,上最大值为,最小值为.
故有,即,解得,
又,所以,
故答案为:
2.
13.能说明“若是奇函数，则的图象一定过原点”是假命题的函数是________.
【答案】
【解析】依题意,所求函数只需满足是奇函数,同时不过原点即可,
显然,函数满足条件.
故答案为:
.
14.已知函数，（其中，，为常数，且）有且仅有3个零点，则的值为_______，的取值范围是_______.
【答案】
（1）.
（2）.
【解析】函数在,上为偶函数,且函数有且仅有3个零点,
故必有一个零点为,
;
所以函数,,的零点个数,
等价于函数与直线的图象在,上交点的个数,
而函数相当于函数纵坐标不变,横坐标扩大（或缩小）为原来的倍,
当时,函数与直线在,上仅有一个交点,则;
当时,函数与直线在,上恰有3个零点,如下图所示,故;
当时,函数与直线在,上恰有5个零点,如下图所示,故;
综上所述,的取值范围是,.
故答案为:
;,.
三、解答题
15.已知函数.
（Ⅰ）设集合,,,分别指出2,3,4是,,中哪个集合的元素;
（Ⅱ）若,,当时,都有,求实数的取值范围.
解：
（Ⅰ）函数,
若,解得或,
则或,或,;
所以,,;
（Ⅱ）因为二次函数的图象是开口朝上的抛物线,且对称轴是,
所以在上单调递减,在上单调递增,
因为,,当时,都有,
所以函数在上单调递增,
所以,
所以,即的取值范围是.
16.已知函数，
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）若，求的值（精确到0.01）.
解：
（Ⅰ）函数,
则有,解得,
即函数的定义域是;
（Ⅱ）因为的定义域是,关于原点对称,
且,
所以是偶函数,
所以.
17.已知是第二象限角,且,
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求值.
解：
（Ⅰ）因为是第二象限角,且,
所以,
所以;
（Ⅱ）.
18.已知函数的部分图象如图所示.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在上的单调区间；
（Ⅲ）若对任意都有，求实数m的取值范围.
解：
（Ⅰ）设函数最小正周期为,
由图可知,,所以,
又,,所以;
又,所以,
因为,所以,
所以,即;
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,
因为当时,,
所以当,即时,单调递增;
当,即
时,单调递减;
当,即时,单调递增.
所以函数单调递增区间为和,单调递减区间为;
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知,函数在的最大值为,最小值为,
所以对任意,都有,
且当,时,取到最大值,
又因为对任意,都有成立,
所以,即的取值范围是.
19.下表为北京市居民用水阶梯水价表（单位：
元/立方米）.
阶梯
户年用水量
（立方米）
水价
其中
自来水费
水资源费
污水处理费
第一阶梯
0-180（含）
5.00
2.07
1.57
1.36
第二阶梯
181-260（含）
7.00
4.07
第三阶梯
260以上
9.00
6.07
（Ⅰ）试写出水费（元）与用水量（立方米）之间的函数关系式；
（Ⅱ）若某户居民年交水费1040元，求其中自来水费、水资源费及污水处理费各是多少？
解：
（Ⅰ）由北京市居民用水阶梯水价表（单位:
元立方米）得到水费（元与用水量（立方米）之间的函数关系式为:
;
（Ⅱ）由于函数在各区间段为单调递增函数,
所以当时,,
当时,,
所以,
令,解得,
即该用户当年用水量为200立方米,
自来水费为（元）,水资源费为（元）,污水处理费（元）.
20.如图，半圆的直径，为圆心，，为半圆上的点.
（Ⅰ）请你为点确定位置,使的周长最大，并说明理由；
（Ⅱ）已知，设，当为何值时，
（ⅰ）四边形的周长最大，最大值是多少?
（ⅱ）四边形的面积最大，最大值是多少?
解：
（Ⅰ）点在半圆中点位置时,周长最大.理由如下:
法一:
因为点在半圆上,且是圆的直径,
所以,即是直角三角形,
设,,,显然a,b,c均为正数,则,
因为,当且仅当时等号成立,
所以,
所以,
所以的周长为,当且仅当时等号成立,
即为等腰直角三角形时,周长取得最大值,此时点是半圆的中点.
法二:
因为点在半圆上,且是圆的直径,
所以,即是直角三角形,
设,,,,
则,,
因为,所以,
所以当,即时,
周长取得最大值,此时点是半圆的中点.
（Ⅱ）（ⅰ）因为,所以,
所以,,
设四边形的周长为,
则
显然,所以当时,取得最大值;
（ⅱ）过作于,
设四边形的面积为,四边形的面积为,的面积为,则
所以
;
当且仅当,即时,等号成立,
显然,所以,所以此时,
所以当时,,即四边形的最大面积是.
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