离散数学第七章图的基本概念知识点总结.docx
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离散数学第七章图的基本概念知识点总结
图论部分
第七章、图的基本概念
7.1无向图及有向图
无向图与有向图
多重集合：
元素可以重复出现的集合
无序积：
{（x,y）|
定义无向图Q,其中
（1）顶点集$0,元素称为顶点
（2）边集F为k&f的多重子集，其元素称为无向边，简称边.
例如，如图所示，其中心⑷，…，心，&{（旳，匕），（匕，匕）,
（迫，方），（乃，方），（迫，％）,（s,%）,（必，％）}定艾有向图E>,其中
（1）$同无向图的顶点集，元素也称为顶点
（2）边集F为的多重子集，其元素称为有向边，简称边.
用无向边代替0的所有有向边所得到的无向图称作Q的基图，右图是有向图,试写出它的！
/和F
注意：
图的数学定艾与图形表示，在同构（待叙）的意狡下是一一对应的
通常用G表示无向图，0表示有向图，也常用G泛指
无向图和有向图，用6表示无向边或有向边.
K6）,E（G,EgG和D的顶点、集,边集.
77阶图：
”个顶点的图
有限图：
KF都是有穷集合的图
零图：
吕0
平凡图：
1阶零图
空图：
^=0
顶点和边的关联与相邻：
定狡设e*,v）是无向图G^的一条边，称v„匕为e*的端点，©与v,（16）关联.若ViHV”则称故与Vi（v）的关联次数为1;若匕=匕，则称6为环，此时称◎与匕的关联次数为2;若匕不是鸟端点,则称鼓与匕的关联次数为0.无边关联的顶点称作孤立点.
定义设无向图=,vifKe“e《E,若©，匕）e£；则称乙匕相邻；若％&至少有一个公共端点，则称6,8/相邻.
对有向图有类似定义.设6二〈乙匕〉是有向图的一条边，又称匕是牧的始点，V」是6的终点，K邻接到Vj.匕邻接于Vi.
邻域和关联集
邻域和关联集
设无向图^veV（G）
”的邻域谑克匕（6a3"（G）a亦}
1的闪邻域2V（v）=Mv）U{v）
丫的关联集7（v）=fej族要（G>e与咲联}
设有向图空厲蚀）
1的后绅元集石（护{边煖玖刀人今炉訪⑹付妙
、的先驱元集纭（忙甸頰匕（D）人Y细>“（C）人T
1的邻域E（v）=“e）u巧（巧
'的丙邻域jvD（v）=1V23（v）U{v}
顶点的度数
设G=为无向图，keK
y的度数（度）〃3）:
#作为边的端点次数之和
悬挂顶点：
度数为1的顶点
悬挂边：
与悬挂顶点关联的边
G的最大度zl（Q二max{〃（“）|i/eH
G的最小度&Q=min{d（访|keH
例如〃（％）二3,〃（乃）二4,6/（I/.）=4,zl（6）=4,J（6）=1,r4是悬挂顶点，g是悬挂边,
设^=为有向图，reK
i/的出度dW:
y作为边的始点次数之和1/的入度力3）：
#作为边的终点次数之和
1/的度数（度）〃3）：
#作为边的端点次数之和d（v）~/（#）+d（v）
。
的最大出度zf（0,最小出度$（勿最大入度zT（Q,最小入度夕（勿最大度4（0,最小度
例如/（a）二4,d（a）=1,〃（m）二5,
d（d）=0,d®二3,〃（6）二3,
二4,5（0二0,zT⑵二3,芳⑵二1,4（Q二5,测二3.
握手定理
定理任意无向图和有向图的所有顶点度数之和都等于边数的2倍，并且有向图的所有顶点入度之和等于出度之和等于边数.
证G中每条边（包括环）均有两个端点，所以在计算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，刃条边共提供2刃度.有向图的每条边提供一个入度和一个出度，故所有顶点入度之和等于出度之和等于边数.
推论在任何无向图和有向图中，奇度顶点的个数必为偶数•
证设G=eQ为任意團，令
金何痣支MW）为讖fe
^IveFA^）为儀^
则v^yv^v^v^z,由握手走理可知
2加=£d（v）=£J（v）+工火）ytt
“中顶騒讎防奇数，所以质畝为
由于2加,送心）均为朗，所以送心）也为1黝,但因为
图的度数列
设无向图G的顶点集乃，…，山G的度数列：
d（s）,dg…，div》如右图度数列:
4,4,2,1,3
设有向图。
的顶点集V^[v\,v2,…，％｝。
的度数列：
d（Q,d（Q,…，dg0的出度列:
d（s）,d（v）,…，d（i/J。
的入度列：
/（“），d~lv｝、…，d~｛v^如右图度数列:
5,3,3,3
出度列:
4,0,2,1
入度列：
1,3,1,2
例1（3,3,3,4）,（2,3,4,6,8）能成为图的度数列吗？
解不可能.它们都有奇数个奇数.
例2已知图G有10条边，4个3度顶点，其余顶点的度数均小于等于2,问G至少有多少个顶点？
解设G有”个顶点.由握手定理，
4x3+2x（rr4）>2x10
解得n>Q
例3证明不存在具有奇数个而且每个而都具有奇数条棱的多而体.
证用反证法.假设存在这样的多面体，
作无向图其中\^{v|iz为多而体的面},
v）|u,v已Vu与#有公共的棱人停诃.
根据假设，为奇数且d（“）为奇数.这与握手定理的推论矛盾.
多重图与简单图
定义
（1）在无向图中，如果有2条或2条以上的边关联同一对顶点，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数.
（2）在有向图中，如果有2条或2条以上的边具有相同的始点和终点，则称这些边为有向平行边，简称平行边，平行边的条数称为重数.
（3）含平行边的图称为多重图.
（4）既无平行边也无环的图称为简单图.
注意：
简单图是极其重要的概念
色和e6是平行边
重数为2不是简单图
e?
和e3是平行边蓮数为2
和巧不是平行边不是简单图
图的同构
定艾设GNK,E>,为两个无向图（有
向图），若存在双射函数f：
使得对于任意的
匕，匕已
（片，V》wE、（<匕，当且仅当
（f（V》,f（k/））e6（e6）,并且，（为，v）{）的重数相同，则称G与G是同构的，记作6三G.
几点说明：
图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.能找到多条同构的必要条件，但它们都不是充分条件：
1边数相同，顶点数相同
2度数列相同（不计度数的顺序）
3对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同，等等若破坏必要条件，则两图不同构
至今没有找到判断两个图同构的多项式时间算法例1试画岀4阶3条边的所有^同构的无向简单图
匚尺7
例2判断下述每一对图是否同构:
度数列不同
不同构
00
不同构
入（岀）度列不同
度数列相同但不同构为什么？
完全图：
”阶无向完全图每个顶点都与其余顶点相邻的〃阶无向简单图.简单性质：
边数/7FA7（n阶有向完全图：
每对顶点之间均有两条方向相反的有向边的n阶有向简单图.
简单性质：
边数/7Fn（n-1）,4=决2（rH）,
二zf二5二
（1）为5阶完全图鸟⑵为3阶有向完全图⑶称为彼得森图
（1）⑵子图：
定爻设Q,G'f是两个图
（1）若V^V且FU£则称"为G的子图，G为"的
母图，记作G0
（2）若G0且f匕乞则称为G的生成子图
（3）若V^V或FUF,称G%G的真子图
（4）设l/yi/且XH0,以*为顶点集，以两端点都在
V，中的所有边为边集的G的子图称作”的导出子图，记作G[V^
（5）设E7且F*0,以为边集，以F冲边关联的
所亓顶点为顶点集的G的子图称作E，的导出子图,记作G[EJ
补图：
定艾设*<%£>为”阶无向简单图，以1/为顶点集，所有使G成为完全图/C的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作G若血G,则称g是自补图.
例对上一页人的所有非同构子图，指出互为补图的每一对子图，并指出哪些是自补图.
7.2通路、回路、图的连通性
简单通（回）路，初级通（回）路，复杂通（回）路
定义给定图（无向或有向的），G中顶点与边的交替序列心…刃/,
（1）若V/（1
（2）若通路（回路）中所有顶点（对于回路，除比二“）各异，则称为初级通路（初级回路）.初级通路又称作路径，初级回路又称作圈.
（3）若通路（回路）中所有边各异，则称为简单通路（简单回路），否则称为复杂通路（复杂回路）.
说明：
表示方法
1用顶点和边的交替序列（定艾），如八:
比厲“心…©#/
2用边的序列，如Ue©…c
3简单图中，用顶点的序列，如
4非简单图中，可用混合表示法，如厂=%匕6的色旳必岭
环是长度为1的圈，两条平行边构成长度为2的圈.
在无向简单图中，所有圈的长度》3；在有向简单图中，所有圈的长度=2.在两种意义下计算的圈个数
1定义意义下
在无向图中，一个长度为/（/>3）的圈看作2/个不同的圏.如
V\V2VqV\,V2VqV\Vi,VqV2V\Vq,V\V^V2V\,乃16%迫看作6个不同的圈.
在有向图中，一个长度为/（/>3）的圈看作/个不同的圈.
2同构意艾下
所有长度相同的圈都是同构的，因而是1个圈.
定理在〃阶图G中，若从顶点匕到VjSv）存在通路，则从匕到匕存在长度小于等于的通路.
推论在”阶图G中，若从顶点匕到w（匕工匕）存在通路，则从匕到匕存在长度小于等于的初级通路.定理在一个〃阶图G中，若存在匕到自身的回路，则一定存在匕到自身长度小于等于”的回路.
推论在一个门阶图G中，若存在匕到自身的简单回路，则一定存在长度小于等于〃的初级回路.
无向图的连通性
设无向图Q,
〃与卜连通：
若"与#之间有通路.规定〃与自身总连通.
连通关系住u.v且"“}是f上的等价关系
连通图：
任意两点都连通的图.平凡图是连通图.连通分支：
$关于连通关系/?
的等价类的导出子图
设〃/?
={%,%,・•・，％},G[K|,G[%],…,GM是G的连通分支，其个数记作p（©二k.
G是连通图oq（Q二1
短程线与距离
"与1/之间的短程线：
"与y之间长度最短的通路
（"与y连通）
"与#之间的距离dlu,S：
"与#之间短程线的长度
若"与y不连通，规定dlu,k）=°°.
性质：
d（u,u）>0,且dlu,k）=0ou=v
dlu,0=
d（u,S+d（v,w）>d{u,w）
点割集与割点
记G-v:
从G中删除“及关联的边
G-V':
从G中删除X中所有的顶点及关联的边
G-e:
从G中删除e
G-E:
从G中删除F中所有边
定狡设无向图G=〈V,E>,VrcK若p｛G-V9>p（6）且"ul/p｛G-V“）二q（Q,则称V，幷G的点割集.若｛诃为点割集，则称#为割点.
例仙如，｛*｝杲点割集,％是割点.
｛%%｝是点割集吗?
边割集与割边（桥）
定义设无向图XV,E>,E0,若p（G-EJ〉p©且VF〃uF，,q（GF〃）二q（Q,则称E，为G的边割集.若｛e｝为边割集，则称e为割边或桥.
在上一页的图中，4,勾，｛①，6,6,①｝,｛©｝等是边割集，
6是桥，｛%C,6,©｝是边割集吗？
几点说明：
您无点割集
〃阶零图既无点割集，也无边割集.
若G连通，「为边割集,则p｛G-E9=2
若G连通，X为点割集,则p｛G-V'）>2
有向图的连通性
设有向图［^
"可达x〃到y有通路.规定"到自身总是可达的.
可达具有自反性和传递性
0弱连通（连通）：
基图为无向连通图
0单向连通：
Vu,i^eK"可达y或#可达"
0强连通：
Vuyi/eK"与#相互可达
强连通=■单向连通=>弱连通
定理（强连通判别法）。
强连通当且仅当。
中存在经过每个顶点至少一次的回路定理（单向连通判别法）。
单向连通当且仅当。
中存在经过每个顶点至少一次的通路
例下图
（1）强连通
（2）单连通，⑶弱连通
0口口
（1）
（2）⑶
有向图的短程线与距离
"到卜的短程线：
〃到y长度最短的通路（"可达3
〃与1/之间的距离d."到1/的短程线的长度
若〃不可达V,规定d=oo・性质：
d>0,且du=vd>d注意：
没有对称性
7.3图的矩阵表示
无向图的关联矩阵
定义设无向图^=<1<£>,V^{v\,Vz,…，kJ,Q{c,g,…，ej,令刃，丿为匕
与①的关联次数，称（％）沁为G的关联矩阵，记为"（0.
性质
（1）每一列恰好有两个1或一个2
（2）环叫=也）（/=U,...,«）
⑶£%=2讥
（4）平行边的列相同
有向图的关联矩阵
定艾设无环有向图XV,E>,1^={匕，迤，…，山，日久6,…，令
1,耳为勺的始点
m严0,叫与弓不关联
［一1,叫为勺的终点则称（鸚淙訥D的关联矩阵，记为M（D）.
性质
（1）每一列恰好有一个1和一个-1
（2）第，行1的个数等于dS,-1的个数等于”3,）
（3）1的总个数等于T的总个数，且都等于刃
（4）平行边对应的列相同有向图的邻接矩阵
定义设有向EZ）=,心何七，…,bJ,E={ei，勺,…，邛，令甥为顶点气邻幽顶点专或的条数,称（a叽朋D的邻接矩阵，记作坦巧,简记为4性质
⑴硝>=/（从
（2）乞甥灯（吩/=哦,..丿
（3）gf=机一一一。
中长度为1的通路数
（4）乞即一一一Q中长度为1的回路数
Z）中的通路及回路数
定理设/为"阶有向图Z）的邻接矩阵,则川（凶沖元素
硝为D中谬馬长度为/的通路数，皤为＜倒自身长度触的回路数，
ZX40为皿长度为2的通路总数，
Z-lJ-1
£當）为Q中长度为z的回路总数•
Z-1
推电字吊"+/耳...七4@1）,则〃冲元素『为Q中长度小于或等于Z的通蹄数，士曙为Q中长度小于或等于喲回臓•
i-l
例有向翻如銅示，求£42显彳
并回答诸喝乜卜一
4
（1）。
中长皮为1,2,3・4的通路苦有多\
少条2武中回路分别多少条2、
（2）Q中长劇吁或等于4的通路为多V_
少条？
武中有多少条回略？
1
100
00
01
10
01
1
rio
0
0
0
0
1
0_o'0
1
0
20
1000'
5001
4010
4001
1
S
1
2
11
3
3
14
1
4
17
3
合计
50
8
长度通路回路
有向图的可达矩阵
定义设D=＜卩戶为有向图,山｛叫,七,…，切，令
f0,片可达｝为=仏否则称如如为Q的可达矩阵,记作卩（巧简记为p性质：
F（Q）主对角线上的元素全为1.
。
强连通当且仅当兀0）的元素全为L
例右图所示的有向图刀的可达矩阵为
nooon
0
1011
7.4最短路径及关键路径带权图G^,其中炉:
—R.
“（e）称作£的权.（k,v）,记w{e）-wfJ・若为，匕不相邻，记Wij=oo.
设厶是G中的一条路径，Z.的所有边的权之和称作Z.的权，记作w{L）.
〃和1/之间的最短路径：
〃和“之间权最小的通路.
£尸啊即5严（Z沪12,vV
£3二卩0\涉評5用03）=11・也1
*
标号法（E.W.Dijkstra,1959）
设带杈图（^勺遏炉,其中*亦H'（^0.
设心仙胳…心},求小到其余各顶点的髓路径
P标号（永久性标号仟第吵获得的耳到叮最短路径的权
标号（临时性标号）炉:
第涉获得的竹经遙标号顶点到达片的路径的最”收‘是*倒气的號路径的权的上界
第涉通过集PR,I，在第涉已获得永久性标号}第妙未通迥集炉并片
算法；
1.H获A标号：
少・=o,Po={H}97b=7{vi}，H（/=23,…间获了标号：
罗=输.令厂<-1.
2.设必宀「劉鵜T},I；茯亀标号:
上汁=4小）•令Pr=Pr-l^{vA，7>7；-l-b'i}.
若7>0,如垮束.
3.样耳令罗=min矽-）,『）•”?
}
令d,转2.
例1（续）求口到比的號跻g
V1
V2
v5
0
0
1
4
OD
□D
QD
1
1/Vo
3
8
6
0D
2
3/vi
8
4
3
7
4/V2
10
4
7他
9
5
9/伽
w
0
1
3
7
4
9
厂二5*'1巧*4屿吨，n（Z>=9
PERT图与关键路径
PERT图（计划评审技术图）
设有向图=3,E>,v^V
卜的后继元集厂（K）={x|xeK\e£）
卜的先3区元集厂「（“）二K>e£）
PERT图：
满足下述条件的"阶有向带权图卅>,
（1）。
是简单图，
（2）。
中无回路，
（3）有一个入度为0的顶点，称作始点；有一个出度为0
的顶点，称作终点.
通常边的权表示时间，始点记作厶终点记作仏
关键路径
关键路径：
PETR图中从始点到终点的最长路径
匕的最早完成时间TES:
从始点“沿最长路径到匕所需的时间
TE{切）=0
TEI匕）二max{TE{v）+巧,|匕已厂'（匕）},7=2,3,...»n匕的最晚完成时间TLS:
在保证终点仏的最早完成时间不增加的条件下，从始点匕最迟到达匕的吋间
TLS二TEW）
7Z（匕）二min{7Z.（K>）-w,j\v^T'（匕）},i-n~\,n~2,...»1
匕的缓冲时间TSS二TLW）-TES,/=1,2,..„/7
匕在关键路径上o75（匕）二0
例2求PERT图中各顶点的最早完成时间，最晩完成
时间，缓冲时间及关键路径.解最早完成时间
血（巧）=0
TE*（卩2）=ma£{0+l}=l
TE（v3）=max{0+2?
l+0}=2
TE*（U4）=max{0+32+2}=4
TE*（V5）=max{l+3?
4+4}=8
TE（v6）=max{2+4,8+l}=9
T£，（v7）=max{l+4?
2+4}=6
TE（v8）=max{9+l,6+6}=12
最晚完成时间
几仏）二12
7Z.（1/7）=min{12-6}=6
715）=min{12-1}=117Z.（^）=min{11-1}=10
TLM=min{10-4）=6
7Z（Q二min{6-2,11—4,6-4]=2TLM=min{2-0,10-3,6-4）=2
7Z（ki）=min{2-1,2-2,6-3j=0缓冲时间
TSM=0-0=0
r5（i/2）=2-1=1
TSli/3）=2-2=0
75（ui）=6-4=2
TSl^=10-8=2
7^（i4）=11-9=2
75（v7）=6-6=0
75（1^）=12-12=0
关键路径：
l/iKjV?
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