离散数学第七章图的基本概念知识点总结.docx
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离散数学第七章图的基本概念知识点总结
图论部分
第七章、图的基本概念
7.1无向图及有向图
无向图与有向图
多重集合:
元素可以重复出现的集合
无序积:
{(x,y)|
定义无向图Q,其中
(1)顶点集$0,元素称为顶点
(2)边集F为k&f的多重子集,其元素称为无向边,简称边.
例如,如图所示,其中心⑷,…,心,&{(旳,匕),(匕,匕),
(迫,方),(乃,方),(迫,%),(s,%),(必,%)}定艾有向图E>,其中
(1)$同无向图的顶点集,元素也称为顶点
(2)边集F为的多重子集,其元素称为有向边,简称边.
用无向边代替0的所有有向边所得到的无向图称作Q的基图,右图是有向图,试写出它的!
/和F
注意:
图的数学定艾与图形表示,在同构(待叙)的意狡下是一一对应的
通常用G表示无向图,0表示有向图,也常用G泛指
无向图和有向图,用6表示无向边或有向边.
K6),E(G,EgG和D的顶点、集,边集.
77阶图:
”个顶点的图
有限图:
KF都是有穷集合的图
零图:
吕0
平凡图:
1阶零图
空图:
^=0
顶点和边的关联与相邻:
定狡设e*,v)是无向图G^的一条边,称v„匕为e*的端点,©与v,(16)关联.若ViHV”则称故与Vi(v)的关联次数为1;若匕=匕,则称6为环,此时称◎与匕的关联次数为2;若匕不是鸟端点,则称鼓与匕的关联次数为0.无边关联的顶点称作孤立点.
定义设无向图=,vifKe“e《E,若©,匕)e£;则称乙匕相邻;若%&至少有一个公共端点,则称6,8/相邻.
对有向图有类似定义.设6二〈乙匕〉是有向图的一条边,又称匕是牧的始点,V」是6的终点,K邻接到Vj.匕邻接于Vi.
邻域和关联集
邻域和关联集
设无向图^veV(G)
”的邻域谑克匕(6a3"(G)a亦}
1的闪邻域2V(v)=Mv)U{v)
丫的关联集7(v)=fej族要(G>e与咲联}
设有向图空厲蚀)
1的后绅元集石(护{边煖玖刀人今炉訪⑹付妙
、的先驱元集纭(忙甸頰匕(D)人Y细>“(C)人T
1的邻域E(v)=“e)u巧(巧
'的丙邻域jvD(v)=1V23(v)U{v}
顶点的度数
设G=为无向图,keK
y的度数(度)〃3):
#作为边的端点次数之和
悬挂顶点:
度数为1的顶点
悬挂边:
与悬挂顶点关联的边
G的最大度zl(Q二max{〃(“)|i/eH
G的最小度&Q=min{d(访|keH
例如〃(%)二3,〃(乃)二4,6/(I/.)=4,zl(6)=4,J(6)=1,r4是悬挂顶点,g是悬挂边,
设^=为有向图,reK
i/的出度dW:
y作为边的始点次数之和1/的入度力3):
#作为边的终点次数之和
1/的度数(度)〃3):
#作为边的端点次数之和d(v)~/(#)+d(v)
。
的最大出度zf(0,最小出度$(勿最大入度zT(Q,最小入度夕(勿最大度4(0,最小度
例如/(a)二4,d(a)=1,〃(m)二5,
d(d)=0,d®二3,〃(6)二3,
二4,5(0二0,zT⑵二3,芳⑵二1,4(Q二5,测二3.
握手定理
定理任意无向图和有向图的所有顶点度数之和都等于边数的2倍,并且有向图的所有顶点入度之和等于出度之和等于边数.
证G中每条边(包括环)均有两个端点,所以在计算G中各顶点度数之和时,每条边均提供2度,刃条边共提供2刃度.有向图的每条边提供一个入度和一个出度,故所有顶点入度之和等于出度之和等于边数.
推论在任何无向图和有向图中,奇度顶点的个数必为偶数•
证设G=eQ为任意團,令
金何痣支MW)为讖fe
^IveFA^)为儀^
则v^yv^v^v^z,由握手走理可知
2加=£d(v)=£J(v)+工火)ytt
“中顶騒讎防奇数,所以质畝为
由于2加,送心)均为朗,所以送心)也为1黝,但因为
图的度数列
设无向图G的顶点集乃,…,山G的度数列:
d(s),dg…,div》如右图度数列:
4,4,2,1,3
设有向图。
的顶点集V^[v\,v2,…,%}。
的度数列:
d(Q,d(Q,…,dg0的出度列:
d(s),d(v),…,d(i/J。
的入度列:
/(“),d~lv}、…,d~{v^如右图度数列:
5,3,3,3
出度列:
4,0,2,1
入度列:
1,3,1,2
例1(3,3,3,4),(2,3,4,6,8)能成为图的度数列吗?
解不可能.它们都有奇数个奇数.
例2已知图G有10条边,4个3度顶点,其余顶点的度数均小于等于2,问G至少有多少个顶点?
解设G有”个顶点.由握手定理,
4x3+2x(rr4)>2x10
解得n>Q
例3证明不存在具有奇数个而且每个而都具有奇数条棱的多而体.
证用反证法.假设存在这样的多面体,
作无向图其中\^{v|iz为多而体的面},
v)|u,v已Vu与#有公共的棱人停诃.
根据假设,为奇数且d(“)为奇数.这与握手定理的推论矛盾.
多重图与简单图
定义
(1)在无向图中,如果有2条或2条以上的边关联同一对顶点,则称这些边为平行边,平行边的条数称为重数.
(2)在有向图中,如果有2条或2条以上的边具有相同的始点和终点,则称这些边为有向平行边,简称平行边,平行边的条数称为重数.
(3)含平行边的图称为多重图.
(4)既无平行边也无环的图称为简单图.
注意:
简单图是极其重要的概念
色和e6是平行边
重数为2不是简单图
e?
和e3是平行边蓮数为2
和巧不是平行边不是简单图
图的同构
定艾设GNK,E>,为两个无向图(有
向图),若存在双射函数f:
使得对于任意的
匕,匕已
(片,V》wE、(<匕,当且仅当
(f(V》,f(k/))e6(e6),并且,(为,v){)的重数相同,则称G与G是同构的,记作6三G.
几点说明:
图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.能找到多条同构的必要条件,但它们都不是充分条件:
1边数相同,顶点数相同
2度数列相同(不计度数的顺序)
3对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同,等等若破坏必要条件,则两图不同构
至今没有找到判断两个图同构的多项式时间算法例1试画岀4阶3条边的所有^同构的无向简单图
匚尺7
例2判断下述每一对图是否同构:
度数列不同
不同构
00
不同构
入(岀)度列不同
度数列相同但不同构为什么?
完全图:
”阶无向完全图每个顶点都与其余顶点相邻的〃阶无向简单图.简单性质:
边数/7FA7(n阶有向完全图:
每对顶点之间均有两条方向相反的有向边的n阶有向简单图.
简单性质:
边数/7Fn(n-1),4=决2(rH),
二zf二5二
(1)为5阶完全图鸟⑵为3阶有向完全图⑶称为彼得森图
(1)⑵子图:
定爻设Q,G'f是两个图
(1)若V^V且FU£则称"为G的子图,G为"的
母图,记作G0
(2)若G0且f匕乞则称为G的生成子图
(3)若V^V或FUF,称G%G的真子图
(4)设l/yi/且XH0,以*为顶点集,以两端点都在
V,中的所有边为边集的G的子图称作”的导出子图,记作G[V^
(5)设E7且F*0,以为边集,以F冲边关联的
所亓顶点为顶点集的G的子图称作E,的导出子图,记作G[EJ
补图:
定艾设*<%£>为”阶无向简单图,以1/为顶点集,所有使G成为完全图/C的添加边组成的集合为边集的图,称为G的补图,记作G若血G,则称g是自补图.
例对上一页人的所有非同构子图,指出互为补图的每一对子图,并指出哪些是自补图.
7.2通路、回路、图的连通性
简单通(回)路,初级通(回)路,复杂通(回)路
定义给定图(无向或有向的),G中顶点与边的交替序列心…刃/,
(1)若V/(1),匕「,《是6的端点(对于有向图,要求Sr是始点,匕是终点),则称厂为通路,比是通路的起点,力是通路的终点,/为通路的长度.又若%二匕,则称/为回路.
(2)若通路(回路)中所有顶点(对于回路,除比二“)各异,则称为初级通路(初级回路).初级通路又称作路径,初级回路又称作圈.
(3)若通路(回路)中所有边各异,则称为简单通路(简单回路),否则称为复杂通路(复杂回路).
说明:
表示方法
1用顶点和边的交替序列(定艾),如八:
比厲“心…©#/
2用边的序列,如Ue©…c
3简单图中,用顶点的序列,如
4非简单图中,可用混合表示法,如厂=%匕6的色旳必岭
环是长度为1的圈,两条平行边构成长度为2的圈.
在无向简单图中,所有圈的长度》3;在有向简单图中,所有圈的长度=2.在两种意义下计算的圈个数
1定义意义下
在无向图中,一个长度为/(/>3)的圈看作2/个不同的圏.如
V\V2VqV\,V2VqV\Vi,VqV2V\Vq,V\V^V2V\,乃16%迫看作6个不同的圈.
在有向图中,一个长度为/(/>3)的圈看作/个不同的圈.
2同构意艾下
所有长度相同的圈都是同构的,因而是1个圈.
定理在〃阶图G中,若从顶点匕到VjSv)存在通路,则从匕到匕存在长度小于等于的通路.
推论在”阶图G中,若从顶点匕到w(匕工匕)存在通路,则从匕到匕存在长度小于等于的初级通路.定理在一个〃阶图G中,若存在匕到自身的回路,则一定存在匕到自身长度小于等于”的回路.
推论在一个门阶图G中,若存在匕到自身的简单回路,则一定存在长度小于等于〃的初级回路.
无向图的连通性
设无向图Q,
〃与卜连通:
若"与#之间有通路.规定〃与自身总连通.
连通关系住u.v且"“}是f上的等价关系
连通图:
任意两点都连通的图.平凡图是连通图.连通分支:
$关于连通关系/?
的等价类的导出子图
设〃/?
={%,%,・•・,%},G[K|,G[%],…,GM是G的连通分支,其个数记作p(©二k.
G是连通图oq(Q二1
短程线与距离
"与1/之间的短程线:
"与y之间长度最短的通路
("与y连通)
"与#之间的距离dlu,S:
"与#之间短程线的长度
若"与y不连通,规定dlu,k)=°°.
性质:
d(u,u)>0,且dlu,k)=0ou=v
dlu,0=(vtu)
d(u,S+d(v,w)>d{u,w)
点割集与割点
记G-v:
从G中删除“及关联的边
G-V':
从G中删除X中所有的顶点及关联的边
G-e:
从G中删除e
G-E:
从G中删除F中所有边
定狡设无向图G=〈V,E>,VrcK若p{G-V9>p(6)且"ul/p{G-V“)二q(Q,则称V,幷G的点割集.若{诃为点割集,则称#为割点.
例仙如,{*}杲点割集,%是割点.
{%%}是点割集吗?
边割集与割边(桥)
定义设无向图XV,E>,E0,若p(G-EJ〉p©且VF〃uF,,q(GF〃)二q(Q,则称E,为G的边割集.若{e}为边割集,则称e为割边或桥.
在上一页的图中,4,勾,{①,6,6,①},{©}等是边割集,
6是桥,{%C,6,©}是边割集吗?
几点说明:
您无点割集
〃阶零图既无点割集,也无边割集.
若G连通,「为边割集,则p{G-E9=2
若G连通,X为点割集,则p{G-V')>2
有向图的连通性
设有向图[^
"可达x〃到y有通路.规定"到自身总是可达的.
可达具有自反性和传递性
0弱连通(连通):
基图为无向连通图
0单向连通:
Vu,i^eK"可达y或#可达"
0强连通:
Vuyi/eK"与#相互可达
强连通=■单向连通=>弱连通
定理(强连通判别法)。
强连通当且仅当。
中存在经过每个顶点至少一次的回路定理(单向连通判别法)。
单向连通当且仅当。
中存在经过每个顶点至少一次的通路
例下图
(1)强连通
(2)单连通,⑶弱连通
0口口
(1)
(2)⑶
有向图的短程线与距离
"到卜的短程线:
〃到y长度最短的通路("可达3
〃与1/之间的距离d."到1/的短程线的长度
若〃不可达V,规定d=oo・性质:
d>0,且du=vd>d注意:
没有对称性
7.3图的矩阵表示
无向图的关联矩阵
定义设无向图^=<1<£>,V^{v\,Vz,…,kJ,Q{c,g,…,ej,令刃,丿为匕
与①的关联次数,称(%)沁为G的关联矩阵,记为"(0.
性质
(1)每一列恰好有两个1或一个2
(2)环叫=也)(/=U,...,«)
⑶£%=2讥
(4)平行边的列相同
有向图的关联矩阵
定艾设无环有向图XV,E>,1^={匕,迤,…,山,日久6,…,令
1,耳为勺的始点
m严0,叫与弓不关联
[一1,叫为勺的终点则称(鸚淙訥D的关联矩阵,记为M(D).
性质
(1)每一列恰好有一个1和一个-1
(2)第,行1的个数等于dS,-1的个数等于”3,)
(3)1的总个数等于T的总个数,且都等于刃
(4)平行边对应的列相同有向图的邻接矩阵
定义设有向EZ)=,心何七,…,bJ,E={ei,勺,…,邛,令甥为顶点气邻幽顶点专或的条数,称(a叽朋D的邻接矩阵,记作坦巧,简记为4性质
⑴硝>=/(从
(2)乞甥灯(吩/=哦,..丿
(3)gf=机一一一。
中长度为1的通路数
(4)乞即一一一Q中长度为1的回路数
Z)中的通路及回路数
定理设/为"阶有向图Z)的邻接矩阵,则川(凶沖元素
硝为D中谬馬长度为/的通路数,皤为<倒自身长度触的回路数,
ZX40为皿长度为2的通路总数,
Z-lJ-1
£當)为Q中长度为z的回路总数•
Z-1
推电字吊"+/耳...七4@1),则〃冲元素『为Q中长度小于或等于Z的通蹄数,士曙为Q中长度小于或等于喲回臓•
i-l
例有向翻如銅示,求£42显彳
并回答诸喝乜卜一
4
(1)。
中长皮为1,2,3・4的通路苦有多\
少条2武中回路分别多少条2、
(2)Q中长劇吁或等于4的通路为多V_
少条?
武中有多少条回略?
1
100
00
01
10
01
1
rio
0
0
0
0
1
0_o'0
1
0
20
1000'
5001
4010
4001
1
S
1
2
11
3
3
14
1
4
17
3
合计
50
8
长度通路回路
有向图的可达矩阵
定义设D=<卩戶为有向图,山{叫,七,…,切,令
f0,片可达}为=仏否则称如如为Q的可达矩阵,记作卩(巧简记为p性质:
F(Q)主对角线上的元素全为1.
。
强连通当且仅当兀0)的元素全为L
例右图所示的有向图刀的可达矩阵为
nooon
0
1011
7.4最短路径及关键路径带权图G^,其中炉:
—R.
“(e)称作£的权.(k,v),记w{e)-wfJ・若为,匕不相邻,记Wij=oo.
设厶是G中的一条路径,Z.的所有边的权之和称作Z.的权,记作w{L).
〃和1/之间的最短路径:
〃和“之间权最小的通路.
£尸啊即5严(Z沪12,vV
£3二卩0\涉評5用03)=11・也1
*
标号法(E.W.Dijkstra,1959)
设带杈图(^勺遏炉,其中*亦H'(^0.
设心仙胳…心},求小到其余各顶点的髓路径
P标号(永久性标号仟第吵获得的耳到叮最短路径的权
标号(临时性标号)炉:
第涉获得的竹经遙标号顶点到达片的路径的最”收‘是*倒气的號路径的权的上界
第涉通过集PR,I,在第涉已获得永久性标号}第妙未通迥集炉并片
算法;
1.H获A标号:
少・=o,Po={H}97b=7{vi},H(/=23,…间获了标号:
罗=输.令厂<-1.
2.设必宀「劉鵜T},I;茯亀标号:
上汁=4小)•令Pr=Pr-l^{vA,7>7;-l-b'i}.
若7>0,如垮束.
3.样耳令罗=min矽-),『)•”?
}
令d,转2.
例1(续)求口到比的號跻g
V1
V2
v5
0
0
1
4
OD
□D
QD
1
1/Vo
3
8
6
0D
2
3/vi
8
4
3
7
4/V2
10
4
7他
9
5
9/伽
w
0
1
3
7
4
9
厂二5*'1巧*4屿吨,n(Z>=9
PERT图与关键路径
PERT图(计划评审技术图)
设有向图=3,E>,v^V
卜的后继元集厂(K)={x|xeK\e£)
卜的先3区元集厂「(“)二K>e£)
PERT图:
满足下述条件的"阶有向带权图卅>,
(1)。
是简单图,
(2)。
中无回路,
(3)有一个入度为0的顶点,称作始点;有一个出度为0
的顶点,称作终点.
通常边的权表示时间,始点记作厶终点记作仏
关键路径
关键路径:
PETR图中从始点到终点的最长路径
匕的最早完成时间TES:
从始点“沿最长路径到匕所需的时间
TE{切)=0
TEI匕)二max{TE{v)+巧,|匕已厂'(匕)},7=2,3,...»n匕的最晚完成时间TLS:
在保证终点仏的最早完成时间不增加的条件下,从始点匕最迟到达匕的吋间
TLS二TEW)
7Z(匕)二min{7Z.(K>)-w,j\v^T'(匕)},i-n~\,n~2,...»1
匕的缓冲时间TSS二TLW)-TES,/=1,2,..„/7
匕在关键路径上o75(匕)二0
例2求PERT图中各顶点的最早完成时间,最晩完成
时间,缓冲时间及关键路径.解最早完成时间
血(巧)=0
TE*(卩2)=ma£{0+l}=l
TE(v3)=max{0+2?
l+0}=2
TE*(U4)=max{0+32+2}=4
TE*(V5)=max{l+3?
4+4}=8
TE(v6)=max{2+4,8+l}=9
T£,(v7)=max{l+4?
2+4}=6
TE(v8)=max{9+l,6+6}=12
最晚完成时间
几仏)二12
7Z.(1/7)=min{12-6}=6
715)=min{12-1}=117Z.(^)=min{11-1}=10
TLM=min{10-4)=6
7Z(Q二min{6-2,11—4,6-4]=2TLM=min{2-0,10-3,6-4)=2
7Z(ki)=min{2-1,2-2,6-3j=0缓冲时间
TSM=0-0=0
r5(i/2)=2-1=1
TSli/3)=2-2=0
75(ui)=6-4=2
TSl^=10-8=2
7^(i4)=11-9=2
75(v7)=6-6=0
75(1^)=12-12=0
关键路径:
l/iKjV?