届江苏省常州市武进区高三上学期期中考试数学文试题.docx

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届江苏省常州市武进区高三上学期期中考试数学文试题

2019届江苏省常州市武进区高三上学期期中考试

2018．11

高三文科数学试题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）

1．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是▲．

2．已知集合，，若，则▲．

3．函数的定义域为▲．

4．函数的最小正周期是▲．

5．已知函数，则的值为▲．

6．已知，，若向量与共线，则实数的值为▲．

7．底面半径都是且高都是的圆锥和圆柱的全面积之比为▲．

8．设不等式组表示的平面区域为，是区域上任意一点，

则的最大值与最小值之和是▲．

9．定义在R上的偶函数（其中、为常数）的最小值为，

则▲．

10．在等腰梯形中，∥，，，，若，，且，则实数的值为▲．

11．将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，

若对满足的、，有，则▲．

12．在等比数列中，已知，若，则的最小值是▲．

13．在中，，，当角A最大时，则的面积为▲．

14．已知函数，若关于的函数有个不同的零点，则实数的取值范围是▲．

二、解答题：

（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分14分）

已知向量，，其中，且⊥.

⑴求的值；

⑵若，且，求角.

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱柱中，底面为等腰梯形，∥，

，为边的中点，⊥底面.

⑴求证：

∥平面；

⑵平面⊥平面.

17．（本小题满分14分）

如图，在海岸线一侧处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便登岛游客，在上设立了，两个报名接待点，，，三点满足任意两点间的距离为．公司拟按以下思路运作：

先将，两处游客分别乘车集中到之间的中转点处（点异于，两点），然后乘同一艘游轮由处前往岛．据统计，每批游客报名接待点处需发车辆，处需发车辆，每辆汽车的运费为元/，游轮的运费为元/．设∠，每批游客从各自报名点到岛所需的运输总成本为元．

⑴写出关于的函数表达式，并指出的取值范围；

⑵问：

中转点距离处多远时，最小？

18．（本小题满分16分）

已知函数．

⑴若函数在内有且只有一个零点，求此时函数的单调区间；

⑵当时，若函数在上的最大值和最小值的和为，求实数的值．

19．（本小题满分16分）

在数列，中，已知，，且，，成等差数列，，，也成等差数列，数列的前项和为．

⑴求证：

是等比数列；

⑵求及；

⑶设是不超过的正整数，求使成立的所有数对．

20．（本小题满分16分）

已知函数，．

⑴若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；

⑵若函数在区间上为单调递减函数，求实数的取值范围；

⑶设为正实数，且，求证：

．

2019届第一学期期中考试

2018．11

高三文科数学试题参考答案及评分标准

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）

1．,2．,3．,4．,

5．,6．,7．，8．，

9．，10．，11．，

12．，13．，14．，

二、解答题：

（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15、（本题满分14分）

解：

（1）∵，，且⊥.

∴，即，…………………………………2分

又∵，∴，即，…………………3分

又∵，∴，，……………………………4分

则，…………………………………6分

（2）∵，，

∴，即……………………………………8分

又∵，

∴，……………………10分

则

，………………………………………………13分

又∵，∴，……………………………………………………14分

16、（本题满分14分）

证明：

（1）∵几何体为四棱柱，

∴四边形为平行四边形，

即∥，且，……………2分

又∵底面为等腰梯形，∴∥，

即∥，………………………3分

又∵，且为边的中点，

∴，即，……………4分

则四边形为平行四边形，即∥，………………………………5分

又∵平面，平面，

∴∥平面，……………………………………………………7分

（2）∵∥，且，

∴四边形为平行四边形，

又∵，∴四边形为茭形，则⊥，……………9分

又∵⊥底面，且底面，∴⊥，……………11分

又∵，且平面，平面，

∴⊥平面，……………………………………………………13分

又∵底面，∴平面⊥平面……………………………14分

17、（本题满分14分）

解：

（1）由题知在△中，∠，

∠，，∠，

由正弦定理知，…………………………………2分

即，，

则，……………………………………4分

由题意可得

，

，其中，…………………………………7分

（2）由，其中得，

，令解得，…………………………9分

∵，∴存在唯一的，使得，

当时，，即函数在区间上为单调递减，

当时，，即函数在区间上为单调递增，

故当（即）时，最小，…………………………………11分

则，…13分

答：

当中转点距离处时，最小，…………………………14分

18、（本题满分16分）

解：

（1）∵，

∴由，得到，，……………1分

1当时，在区间上恒成立，

即函数在区间上单调递增，

又因为函数的图象过点，即，

所以函数在内没有零点，不合题意，……………………3分

2当时，由得，即函数在区间上单调递增，

由得，即函数在区间在上单调递减，…………4分

且过点，则由函数的图象（略）可知，

要使函数在内有且只有一个零点，则须，

即，解得，

综上可得函数在内有且只有一个零点时，………………6分

此时函数的单调递增区间为，，单调递减区间为……7分

（2）当时，函数在，上单调递增，在上单调递减，

此时函数有两个极值点，极大值为，极小值为，且，，………………………………………………8分

1、当时，即时，

①若，即，也即时，此时，

又∵，∴

由可得，即，符合题意…10分

②若，即，也即时，此时，

，

由可得，即，不符合题意舍去…12分

2、当时，即时，，

又∵

，…………………………13分

①若，即，也即时，此时，

由可得，即，不符合题意舍去…15分

②若，即，也即时，此时，

由可得，即，不符合题意舍去，

综上所述可知所求实数的值为。

……………………………………………16分

19、（本题满分16分）

解：

（1）由，，成等差数列可得，，①

由，，成等差数列可得，，②

①②得，，……………………………………………2分

即，（其中），

又因为

所以是以6为首项、为公比的等比数列，……………………………4分

（2）由

（1）知，，③

①②得，，（其中），

即，④

③④得，，（），…………………………6分

即，（），

则

，……………………………………………8分

（3）把代入，

得，

所以，

整理得，，即，…………………………10分

由是不超过100的正整数，可得，

即，且，

所以或，……………………………………………12分

1当时，即，

此时，则，符合题意；……………………………………………14分

当时，，

此时，则，符合题意．

综上可知使得成立的所有数对为，……16分

20、（本题满分16分）

解：

（1）∵．

∴………1分

∵是函数的极值点，∴，解得，…………………2分

经检验，当时，是函数的极小值点，符合题意。

……………3分

此时切线的斜率为，切点为，

则所求切线的方程为…………………………………5分

（2）由

（1）知

因为函数在区间上为单调递减函数，

所以不等式在区间上恒成立.………………………………………6分

即在区间上恒成立，

当时，由可得，

设，，，

当且仅当时，即时，，

又因为函数在区间上为单调递减，在区间上为单调递增，

且，，

所以当时，恒成立，

即，也即

则所求实数的取值范围是……………………………………………10分

（3）为正实数，且，

要证，只需证，

即证只需证…………………………12分

设，，

则在上恒成立，

即函数在上是单调递增，………………………14分

又∵，∴，即成立，

也即成立，……………………………………………16分