二次函数中平行四边形存在性.docx

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二次函数中平行四边形存在性

【2019·朝阳】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，

抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF＝

BF时，求sin∠EBA的值．

（3）点N是抛物线对称轴上一点，在

（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【2019·辽宁锦州】如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣

x+3的图象与x轴交

于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取

一点D，过点D作D⊥x轴于点C，交直线AB于点E．

（1）求抛物线的函数表达式

（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？

若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图2，F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点．连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标．

【2019·甘肃省考】

如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点

C．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；

（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．

【2019·山西】

如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．连接AC，BC，DB，DC．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）△BCD的面积等于△AOC的面积的

时，求m的值；

（3）在

（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【2019·江苏连云港】

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：

y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：

y＝﹣

x2﹣

x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上

的动点．

（1）求抛物线L1对应的函数表达式；

（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；

（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．

【2019·湖北荆州】

如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为（6，0），（4，3），

经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为（1，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若∠AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．

【2019·湖北·孝感】

如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a与x轴相交于A、B两点

（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．

（1）点A的坐标为　　，点B的坐标为　　，线段AC的长为　　，抛物线的解析式为　　．

（2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点．

①如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．求点Q的坐标．

②如图2，过点P作PE∥CA交线段BC于点E，过点P作直线x＝t交BC于点F，交x轴于点G，记PE＝f，求f关于t的函数解析式；当t取m和4﹣

m（0＜m＜2）时，试比较f的对应函数值f1和f2的大小．

【2019·四川·巴中】

如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经

过B、C两点的直线为y＝x+n．

①求抛物线的解析式．

②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．

③过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．

【2019·四川·广安】

如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A

点的直线l：

y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A

（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．

（1）求抛物线和直线l的解析式；

（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；

（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【2019·贵州·铜仁】

如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1与x轴的交点为A（﹣1，0），B（2，0），且与y轴交于C

点．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点C关于x轴的对称点为C1，M是线段BC1上的一个动点（不与B、C1重合），ME⊥x轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？

说明理由．

（3）已知点P是直线y＝

x+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标．

【2019·青海】

如图1（注：

与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点A（1，0）、B（5，0）、C

（0，4）三点．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；

（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？

若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）

【2019·内蒙古·巴彦淖尔】

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B

（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．

（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；

（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；

（3）已知F（1，1），若E（x，y）是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2），连接CE、CF、EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．

（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【2019·内蒙古·通辽】

已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点A（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C．

（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式．

（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点D，使得S△DAC＝2S△DCM？

若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．