几何概念.docx

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几何概念

几何基本概念、定理

一、三角形

1、三角形：

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的的线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形的角平分线：

三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线

3、三角形的中线：

在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线

4、三角形的高：

从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。

5、三角形的稳定性：

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

二、三角形三条边的关系

1、不等边三角形：

三条边都不相等的三角形。

2、等边三角形：

三条边都相等的三角形。

3、等腰三角形：

相等的两边叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫做底角，腰和底边的夹角叫做底角。

4、锐角三角形：

三个角都是锐角的三角形。

5、直角三角形：

有一个角是直角的三角形。

6、钝角三角形：

有一个角是钝角的三角形。

7、斜三角形：

锐角三角形和钝角三角形的合称

8、等要直角三角形：

两条直角边相等的三角形。

推论：

直角三角形的两个锐角互余。

9、三角形的外角：

三角形的一个边与另一边的延长线组成的角。

10、推论1：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。

11、推论2：

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

三、定理：

1、三角形两边的和大于第三边。

2、三角形两边的差小于第三边

3、三角形三个内角和等于180度。

四、全等三角形

能够完全重合的两个图形叫做全等。

两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

全等三角形的对应角相等。

全等三角形的对应边相等。

全等三角想的判定：

1、角边角公理：

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（边角边）

2、角边角公理：

有两角和它们的夹边对应相等的三角形全等。

（角边角）

3、边边边公理：

有三边对应相等的两个三角形全等（边边边）

4、直角三角形全等的判定：

斜边、直角边公理：

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

五、角的平分线

定理1：

在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

定理2：

到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

定理3：

角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么，这两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么，另一个叫做它的逆命题。

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。

线段的垂直平分线：

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线或中垂线。

等腰三角形的性质：

1、等腰三角形的性质定理：

等腰三角形的两个底角相等。

（简写成“等边对等角“）

2、推论：

等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直底边。

由此推出（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

3、等边三角行的各角都相等，并且每一个角都是60度。

等腰三角形的判定：

如果一个三角形有两个边相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）

推论1：

三个角都相等的三角形是等边三角形

推论2：

有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形

推论3：

在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半

线段的垂直平分线定理：

线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等

逆定理：

和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的解集

轴对称和轴对称图形：

把一个图形沿着某一直线折叠，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴，两个图形关于直线对称也叫做轴对称。

定理1：

关于某条直线对称的两个图形是全等形

定理2：

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

定理3：

两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么，交点在对称轴上

逆定理：

如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么，这两个图形关于这条直线对称

六、勾股定理

1、勾股定理：

直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边C的平方，即a2+b2=c2

2、勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a、b、c有关系：

a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形

七、四边形

1、四边形：

由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做四边形，组成四边形的各条线段叫做四边形的边，每相邻两边的公共端点叫做四边形的顶点。

2、凸四边形：

如果把四边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长线所得直线的同一旁，这样的四边形叫凸四边形

3、四边形对角线：

在四边形中，连接两个不相邻顶点的线段叫做四边形的对角线

4、四边形内角：

四边形相邻两边所组成的角叫做四边形内角

定理1：

四边形内角和等于3600，四边形外角和等于3600

5、四边形外角：

四边形角的一边与另一边的延长线所组成的的角叫做四边形外角

多边形内角和定理：

n边形的内角的和等于（n-2）*180

推论：

任意多边形外角和等于3600

八、平行四边形

1、平行四边形：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

2、平行四边形性质定理1：

平行四边形的对角相等

平行四边形性质定理2：

平行四边形的对边相等

推论：

夹在两条平行线间的平行线段相等

平行四边形性质定理3：

平行四边形的对角线互相平分

3、两条平行线的距离：

两条平行线中，一条直线上任意一点到另一直线的距离叫做两条平行线的距离

4、平行四边形的判定定理1：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

平行四边形的判定定理2：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

平行四边形的判定定理3：

对角线互相平分的四边形是平行四边形

平行四边形的判定定理4：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

九：

矩形

1、矩形：

有一个角是直角的平行四边形叫矩形

2、矩形性质定理1：

矩形四个角都是直角

矩形性质定理2：

矩形的对角线相等

推论：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

3、矩形判定定理1：

有三个角是直角的四边形是矩形

矩形判定定理2：

对角线相等的平行四边形是矩形

十、菱形

1、菱形：

有一组邻边相等的平行四边形叫菱形

2、菱形性质定理1：

菱形的四条边都相等

菱形性质定理2：

菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

3、菱形判定定理1：

四边都相等的四边形是菱形

菱形判定定理2：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形

十一、正方形

1、正方形：

有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫正方形

2、正方形性质定理1：

正方形的四个角都是直角，四条边都相等

正方形性质定理2：

正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

十二、中心对称和中心对称图形

1、把一个图形绕着某一个点旋转1800，如果它能与另一个图形重合，那么说这两个图形关于这个点对称，这个点叫做对称中心，两个图形关于点对称也称中心对称，这两个图形中的对应点叫做关于中心点的对称点

2、定理1：

关于中心对称的两个图形是全等形

定理2：

关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中

心，并且被对称中心平分

逆定理：

如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这

一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

3、中心对称图形：

把一个图形绕着某一个点旋转1800，如果旋转后的图形能够和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形

十三、梯形

1、梯形：

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，平行的两边叫做梯形的底，（通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底），不平行的两边叫做梯形的腰，两底的距离叫做梯形的高。

2、直角梯形：

一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

3、等腰梯形：

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

4、等腰梯形的性质：

等腰梯形在同一底上的两个角相等。

等腰梯形的两条对角线相等。

5、等腰梯形判定定理：

在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

十四、平行线等份线段定理

1、平行线等分线段定理：

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

2、推论1：

经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。

推论2、经过三角行的中点与另一边平行的直线，必平分第三

边。

十五、三角形、梯形的中位线

1、三角形中位线：

连接三角形两边中点的线段

2、三角形中位线定理：

三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半

3、梯形中位线：

连接梯形两腰中点的线段

4、梯形中位线定理：

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半

十六、比例线段

如果选用同一长度单位量得两条线段a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：

b=m：

n，或写成a/b=m/n，和数的比一样，两条线段的比a：

b中，a叫比的前项，b叫做比的后项

1、成比例线段：

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段

2、比例外项、内项：

已知四条线段a、b、c、d，如果a/b=c/d或a：

b=c：

d，那么a、b、c、d叫做组成比例的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、c叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项，如果作为比例内项的是两条相同的线段，a/b=b/c，那么线段b叫做线段a和c的比例中项

3、黄金分割：

把线段AB分成两条线段AC和BC，（AC>BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点

十七、平行线分线段成比例定理

1、平行线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

2、推论：

平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

3、定理：

如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

4、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例

十八、相似三角形

1、相似三角形：

对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形

2、相似比：

相似三角形对应边的比叫做相似比

3、定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

4、相似三角形的判定

判定定理1：

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似

直角三角形斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

判定定理2：

如果一个三角形的两条边和另一个三角形两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形。

可简单说成：

两边对应成比例且夹角相等，那么

判定定理3：

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例那么这两个三角形相似，可简单说成三边对应成比例，两三角形相似

定理：

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么，这两个直角三角形相似

5、相似三角形的性质

定理：

相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

定理：

相似三角形周长的比等于相似比