[规律方法] 判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法：
（1）构建函数模型法：
当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
（2）验证法：
当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
[变式训练1] 设甲、乙两地的距离为a（a>0），小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为（ ）
D [y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.]
应用所给函数模型解决实际问题
某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图2 9 1①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2 9 1②.（注：
利润和投资单位：
万元）
① ②
图2 9 1
（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2）已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．
①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？
②问：
如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？
其最大利润约为多少万元？
[解]
（1）f（x）＝0.25x（x≥0），g（x）＝2（x≥0）.3分
（2）①由
（1）得f（9）＝2.25，g（9）＝2＝6，
所以总利润y＝8.25万元.5分
②设B产品投入x万元，A产品投入（18－x）万元，该企业可获总利润为y万元．
则y＝（18－x）＋2，0≤x≤18.7分
令＝t，t∈[0,3]，
则y＝（－t2＋8t＋18）＝－（t－4）2＋.
所以当t＝4时，ymax＝＝8.5，9分
此时x＝16,18－x＝2.
所以当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元.12分
[规律方法] 求解所给函数模型解决实际问题的关注点：
（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
（3）利用该模型求解实际问题．
易错警示：
解决实际问题时要注意自变量的取值范围．
[变式训练2] （2017·西城区二模）某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元）满足关系f（x）＝已知某家庭2016年前三个月的煤气费如下表：
月份
用气量
煤气费
一月份
4m3
4元
二月份
25m3
14元
三月份
35m3
19元
若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为（ ）
A．11.5元 B.11元
C．10.5元D.10元
A [根据题意可知f（4）＝C＝4，f（25）＝C＋B（25－A）＝14，f（35）＝C＋B（35－A）＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f（x）＝所以f（20）＝4＋（20－5）＝11.5，故选A.]
构建函数模型解决实际问题
（1）（2016·四川高考）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：
lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）（ ）
A．2018年B.2019年
C．2020年D.2021年
（2）一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x（x∈N*）件．当x≤20时，年销售总收入为（33x－x2）万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y（万元）与x（件）的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．（年利润＝年销售总收入－年总投资）
（1）B
（2）y＝（x∈N*） 16 [
（1）设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130（1＋12%）n>200，得1.12n>，两边取常用对数，得n>≈＝，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．
（2）当0＜x≤20时，y＝（33x－x2）－x－100＝－x2＋32x－100；当x＞20时，y＝260－100－x＝160－x.
故y＝（x∈N*）．
当0＜x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－（x－16）2＋156，
x＝16时，ymax＝156.而当x＞20时，160－x＜140，
故x＝16时取得最大年利润．]
[规律方法] 构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：
（1）构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解．
（2）构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．
（3）构建f（x）＝x＋（a＞0）模型，常用基本不等式、导数等知识求解．
易错警示：
求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制．
[变式训练3] （2016·宁波模拟）某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K（Q）＝40Q－Q2，则总利润L（Q）的最大值是________万元．
2500 [L（Q）＝40Q－Q2－10Q－2000＝－Q2＋30Q－2000＝－（Q－300）2＋2500.
当Q＝300时，L（Q）的最大值为2500万元．]
[思想与方法]
1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础．
2．实际问题中往往解决一些最值问题，可以利用二次函数的配方法、函数的单调性、基本不等式等求得最值．
3．解函数应用题的程序是：
①审题；②建模；③解模；④还原．
[易错与防范]
1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型．
2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．
课时分层训练（七） 二次函数与幂函数
A组 基础达标
（建议用时：
30分钟）
一、选择题
1．已知幂函数f（x）＝k·xα的图象过点，则k＋α＝（ ）
【导学号：
01772040】
A. B.1
C. D.2
C [由幂函数的定义知k＝1.又f＝，所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.]
2．函数f（x）＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞）时，f（x）是增函数，当x∈（－∞，－2]时，f（x）是减函数，则f
（1）的值为（ ）
A．－3 B.13
C.7 D.5
B [函数f（x）＝2x2－mx＋3图象的对称轴为直线x＝，由函数f（x）的增减区间可知＝－2，∴m＝－8，即f（x）＝2x2＋8x＋3，∴f
（1）＝2＋8＋3＝13.]
3．若幂函数y＝（m2－3m＋3）·xm2－m－2的图象不过原点，则m的取值是（ ）
A．－1≤m≤2B.m＝1或m＝2
C．m＝2D.m＝1
B [由幂函数性质可知m2－3m＋3＝1，∴m＝2或m＝1.又幂函数图象不过原点，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2，∴m＝2或m＝1.]
4．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是（ ）
【导学号：
01772041】
A B C D
D [由a＋b＋c＝0，a＞b＞c知a＞0，c＜0，则＜0，排除B，C.又f（0）＝c＜0，所以也排除A.]
5．若函数f（x）＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于（ ）
A．－1 B.1
C.2 D.－2
B [∵函数f（x）＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线，
∴函数的最大值在区间的端点取得．
∵f（0）＝－a，f
（2）＝4－3a，
∴或解得a＝1.]
二、填空题
6．（2017·上海八校联合测试改编）已知函数f（x）＝ax2－2ax＋1＋b（a＞0）．若f（x）在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a＝________，b＝________.
1 0 [因为函数f（x）的对称轴为x＝1，又a＞0，
所以f（x）在[2,3]上单调递增，所以
即解方程得a＝1，b＝0.]
7．已知P＝2
，Q＝3，R＝3，则P，Q，R的大小关系是________.
【导学号：
01772042】
P＞R＞Q [P＝2
＝3，根据函数y＝x3是R上的增函数且＞＞，
得3＞3＞3，即P＞R＞Q.]
8．已知函数f（x）＝x2－2ax＋5在（－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f（x1）－f（x2）|≤4，则实数a的取值范围是________．
[2,3] [f（x）＝（x－a）2＋5－a2，根据f（x）在区间（－∞，2]上是减函数知，a≥2，则f
（1）≥f（a＋1），
从而|f（x1）－f（x2）|max＝f
（1）－f（a）＝a2－2a＋1，
由a2－2a＋1≤4，解得－1≤a≤3，
又a≥2，所以2≤a≤3.]
三、解答题
9．已知幂函数f（x）＝x（m2＋m）－1（m∈N*）经过点（2，），试确定m的值，并求满足条件f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围．
[解] 幂函数f（x）经过点（2，），
∴＝2（m2＋m）－1，即2
＝2（m2＋m）－1，
∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.4分
又∵m∈N*，∴m＝1.
∴f（x）＝x
，则函数的定义域为[0，＋∞），
并且在定义域上为增函数．
由f（2－a）＞f（a－1），得10分
解得1≤a＜.
∴a的取值范围为.12分
10．已知函数f（x）＝x2＋（2a－1）x－3，
（1）当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．
[解]
（1）当a＝2时，f（x）＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，
对称轴x＝－∈[－2,3]，2分
∴f（x）min＝f＝－－3＝－，
f（x）max＝f（3）＝15，
∴值域为.5分
（2）对称轴为x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，
f（x）max＝f（3）＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－满足题意；8分
②当－＞1，即a＜－时，
f（x）max＝f（－1）＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即a＝－1满足题意．
综上可知a＝－或－1.12分
B组 能力提升
（建议用时：
15分钟）
1．（2017·江西九江一中期中）函数f（x）＝（m2－m－1）x4m9－m5－1是幂函数，对任意的x1，x2∈（0，＋∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a＋b＞0，ab＜0，则f（a）＋f（b）的值（ ）
【导学号：
01772043】
A．恒大于0B.恒小于0
C．等于0D.无法判断
A [∵f（x）＝（m2－m－1）x4m9－m5－1是幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，指数4×29－25－1＝2015＞0，满足题意．
当m＝－1时，指数4×（－1）9－（－1）5－1＝－4＜0，不满足题意，
∴f（x）＝x2015.
∴幂函数f（x）＝x2015是定义域R上的奇函数，且是增函数．
又∵a，b∈R，且a＋b＞0，∴a＞－b，
又ab＜0，不妨设b＜0，
则a＞－b＞0，∴f（a）＞f（－b）＞0，
又f（－b）＝－f（b），
∴f（a）＞－f（b），∴f（a）＋f（b）＞0.故选A.]
2．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f（x）－g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）＝x2－3x＋4与g（x）＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．
[由题意知，y＝f（x）－g（x）＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4（x∈[0,3]）的图象如图所示，结合图象可知，
当x∈[2,3]时，
y＝x2－5x＋4∈，
故当m∈时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4（x∈[0,3]）的图象有两个交点．]
3．已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b∈R），x∈R.
（1）若函数f（x）的最小值为f（－1）＝0，求f（x）的解析式，并写出单调区间；
（2）在
（1）的条件下，f（x）＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．
[解]
（1）由题意知
解得2分
所以f（x）＝x2＋2x＋1，
由f（x）＝（x＋1）2知，函数f（x）的单调递增区间为[－1，＋∞），单调递减区间为（－∞，－1].6分
（2）由题意知，x2＋2x＋1＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k＜x2＋x＋1在区间[－3，－1]上恒成立，8分
令g（x）＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，
由g（x）＝2＋知g（x）在区间[－3，－1]上是减函数，则g（x）min＝g（－1）＝1，所以k＜1，
即k的取值范围是（－∞，1）.12分
第三节 基本不等式
[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．
1．基本不等式≤
（1）基本不等式成立的条件：
a>0，b>0.
（2）等号成立的条件：
当且仅当a＝b.
2．几个重要的不等式
（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）；
（2）＋≥2（a，b同号且不为零）；
（3）ab≤2（a，b∈R）；
（4）2≤（a，b∈R）．
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
（1）如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2（简记：
积定和最小）．
（2）如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是（简记：
和定积最大）．
1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）函数y＝x＋的最小值是2.（ ）
（2）函数f（x）＝cosx＋，x∈的最小值等于4.（ ）
（3）x>0，y>0是＋≥2的充要条件．（ ）
（4）若a>0，则a3＋的最小值为2.（ ）
[答案]
（1）×
（2）× （3）× （4）×
2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2
C.＋>D.＋≥2
D [∵a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0，∴A错误；对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．
对于D，∵ab>0，∴＋≥2＝2.]
3．（2016·安徽合肥二模）若a，b都是正数，则的最小值为（ ）
A．7 B.8
C．9D.10
C [∵a，b都是正数，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号，故选C.]
4．若函数f（x）＝x＋（x>2）在x＝a处取最小值，则a等于（ ）
【导学号：
01772209】
A．1＋B.1＋
C．3D.4
C [当x>2时，x－2>0，f（x）＝（x－2）＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝（x>2），即x＝3时取等号，即当f（x）取得最小值时，x＝3，即a＝3，选C.]
5．（教材改编）若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.
25 [设矩形的一边为xm，矩形场地的面积为y，
则另一边为×（20－2x）＝（10－x）m，
则y＝x（10－x）≤2＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]
利用基本不等式求最值
（1）（2015·湖南高考）若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为
（ ）
A. B.2
C．2D.4
（2）（2017·郑州二次质量预测）已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是__________．
（1）C
（2）3 [
（1）由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，
当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.
（2）由x2＋2xy－3＝0得y＝＝－x，则2x＋y＝2x＋－x＝＋≥2＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，所以2x＋y的最小值为3.]
[规律方法] 1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．
2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．
[变式训练1]
（1）（2016·湖北七市4月联考）已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，若不等式＋≥m恒成立，则m的最大值等于（ ）
A．10B.9
C．8D.7
（2）（2016·湖南雅礼中学一模）已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则＋的最大值为__________．
（1）B
（2）－4 [
（1）∵＋＝＋＝4＋＋＋1＝5＋2≥5＋2×2＝9，当且仅当a＝b＝时取等号．又＋≥m，∴m≤9，即m的最大值等于9，故选B.
（2）∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，
∴＋＝－（m＋n）
＝－≤－2－2＝－4，
当且仅当m＝n＝－时，＋取得最大值－4.]
利用基本不等式证明不等式
已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
（1）＋＋≥8；
（2）≥9.
[证明]
（1）＋＋＝2，
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，3分
∴＋＋≥8（当且仅当a＝b＝时等号成立）.5分
（2）法一：
∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，
∴＝
＝5＋2≥5＋4＝9，10分
∴≥9（当且仅当a＝b＝时等号成立）.12分
法二：
＝1＋＋＋，
由
（1）知，＋＋≥8，10分
故＝1＋＋＋≥9.12分
[规律方法] 1.“1”的代换是解决问
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