函数模型及其应用 精讲附配套练习.docx

1、函数模型及其应用 精讲附配套练习第九节函数模型及其应用考纲传真1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用1常见的几种函数模型(1)一次函数模型：ykxb(k0)(2)反比例函数模型：yb(k，b为常数且k0)(3)二次函数模型：yax2bxc(a，b，c为常数，a0)(4)指数函数模型：yabxc(a，b，c为常数，b0，b1，a0)(5)对数函数模型：ymlogaxn(m，n，a为常数，a0，a1，m0)(6)幂函数模型

2、：yaxnb(a0)2三种函数模型之间增长速度的比较函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax3.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为

3、实际问题以上过程用框图表示如下：1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数y2x的函数值比yx2的函数值大()(2)幂函数增长比直线增长更快()(3)不存在x0，使ax0xlogax0.()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)f(x)g(x)()答案(1)(2)(3)(4)2已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为yalog3(x1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到()A100只 B.200只C300只 D.400只B由题意知100alog3(21)，a100，y100log3(x1)，当x8时

4、，y100log3 9200.3(教材改编)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61A.y2x B.ylog2xCy(x21) D.y2.61cos xB由表格知当x3时，y1.59，而A中y238，不合要求，B中ylog23(1,2)，C中y(321)4，不合要求，D中y2.61cos 30，不合要求，故选B.4一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表

5、示为() 【导学号：01772069】B由题意h205t,0t4.结合图象知应选B.5某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为_1设年平均增长率为x，则(1x)2(1p)(1q)， x1.用函数图象刻画变化过程(1)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()ABC D(2)已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动设点P运动的路程为x，ABP的面积为S，则函数Sf(x)的图象是()【导学号

6、：01772070】ABCD(1)A(2)D(1)前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故选A.(2)依题意知当0x4时，f(x)2x；当4x8时，f(x)8；当80)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()Dy为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.应用所给函数模型解决实际问题某企业生产A，B两种产品，根

7、据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图291；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图291.(注：利润和投资单位：万元)图291(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？解(1)f(x)0.25x(x0)，g(x)2(x0).3分(2)由(1)得f(9)2.25，g(9)26，所以总利润y8.25万元.5分设B产品投入x万元，A产品投入(18x)万元，该企

8、业可获总利润为y万元则y(18x)2，0x18.7分令t，t0,3，则y(t28t18)(t4)2.所以当t4时，ymax8.5，9分此时x16,18x2.所以当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元.12分规律方法求解所给函数模型解决实际问题的关注点：(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数(3)利用该模型求解实际问题易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取值范围变式训练2(2017西城区二模)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)已知某家庭2016年前三个月的煤气费

9、如下表：月份用气量煤气费一月份4 m34元二月份25 m314元三月份35 m319元若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为()A11.5元 B.11元C10.5元 D.10元A根据题意可知f(4)C4，f(25)CB(25A)14，f(35)CB(35A)19，解得A5，B，C4，所以f(x)所以f(20)4(205)11.5，故选A.构建函数模型解决实际问题(1)(2016四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考

10、数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A2018年 B.2019年C2020年 D.2021年(2)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(xN*)件当x20时，年销售总收入为(33xx2)万元；当x20时，年销售总收入为260万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为_，该工厂的年产量为_件时，所得年利润最大(年利润年销售总收入年总投资)(1)B(2)y(xN*)16(1)设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元由130(112%

11、)n200，得1.12n，两边取常用对数，得n，n4，从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元(2)当0x20时，y(33xx2)x100x232x100；当x20时，y260100x160x.故y(xN*)当0x20时，yx232x100(x16)2156，x16时，ymax156.而当x20时，160x140，故x16时取得最大年利润规律方法构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法(3)构建f(x)x(a0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解易错警示：求解

12、过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制变式训练3(2016宁波模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)40QQ2，则总利润L(Q)的最大值是_万元2 500L(Q)40QQ210Q2 000Q230Q2 000(Q300)22 500.当Q300时，L(Q)的最大值为2 500万元思想与方法1认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础2实际问题中往往解决一些最值问题，可以利用二次函数的配方法、函数的单调性、基本不等式等求得最值3解函数应用题的程序是：审题；建模；解模；还原易错与防范1函数模型应用不

13、当，是常见的解题错误所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型2要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域 3注意问题反馈在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性课时分层训练(七)二次函数与幂函数A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k() 【导学号：01772040】A. B.1C. D.2C由幂函数的定义知k1.又f，所以，解得，从而k.2函数f(x)2x2mx3，当x2，)时，f(x)是增函数，当x(，2时，f(x)是减函数，则f(1)的值为()A3 B.13C.7 D.5B函数f(x)2x2mx3图象的对称轴为直

14、线x，由函数f(x)的增减区间可知2，m8，即f(x)2x28x3，f(1)28313.3若幂函数y(m23m3)xm2m2的图象不过原点，则m的取值是()A1m2 B.m1或m2Cm2 D.m1B由幂函数性质可知m23m31，m2或m1.又幂函数图象不过原点，m2m20，即1m2，m2或m1.4已知函数yax2bxc，如果abc且abc0，则它的图象可能是() 【导学号：01772041】ABCDD由abc0，abc知a0，c0，则0，排除B，C.又f(0)c0，所以也排除A.5若函数f(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，则实数a等于()A1 B.1C.2 D.2B函数f(x)x2a

15、xa的图象为开口向上的抛物线，函数的最大值在区间的端点取得f(0)a，f(2)43a，或解得a1.二、填空题6(2017上海八校联合测试改编)已知函数f(x)ax22ax1b(a0)若f(x)在2,3上的最大值为4，最小值为1，则a_，b_.10因为函数f(x)的对称轴为x1，又a0，所以f(x)在2,3上单调递增，所以即解方程得a1，b0.7已知P2，Q3，R3，则P，Q，R的大小关系是_. 【导学号：01772042】PRQP23，根据函数yx3是R上的增函数且，得333，即PRQ.8已知函数f(x)x22ax5在(，2上是减函数，且对任意的x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|

16、4，则实数a的取值范围是_2,3f(x)(xa)25a2，根据f(x)在区间(，2上是减函数知，a2，则f(1)f(a1)，从而|f(x1)f(x2)|maxf(1)f(a)a22a1，由a22a14，解得1a3，又a2，所以2a3.三、解答题9已知幂函数f(x)x(m2m)1(mN*)经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2a)f(a1)的实数a的取值范围解幂函数f(x)经过点(2，)，2(m2m)1，即22(m2m)1，m2m2，解得m1或m2.4分又mN*，m1.f(x)x，则函数的定义域为0，)，并且在定义域上为增函数由f(2a)f(a1)，得10分解得1a.a的取值范围为.1

17、2分10已知函数f(x)x2(2a1)x3，(1)当a2，x2,3时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在1,3上的最大值为1，求实数a的值解(1)当a2时，f(x)x23x3，x2,3，对称轴x2,3，2分f(x)minf3，f(x)maxf(3)15，值域为.5分(2)对称轴为x.当1，即a时，f(x)maxf(3)6a3，6a31，即a满足题意；8分当1，即a时，f(x)maxf(1)2a1，2a11，即a1满足题意综上可知a或1. 12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017江西九江一中期中)函数f(x)(m2m1)x4m9m51是幂函数，对任意的x1，x2(0，)，且

18、x1x2，满足0，若a，bR，且ab0，ab0，则f(a)f(b)的值() 【导学号：01772043】A恒大于0 B.恒小于0C等于0 D.无法判断Af(x)(m2m1)x4m9m51是幂函数，m2m11，解得m2或m1.当m2时，指数4292512 0150，满足题意当m1时，指数4(1)9(1)5140，不满足题意，f(x)x2 015.幂函数f(x)x2 015是定义域R上的奇函数，且是增函数又a，bR，且ab0，ab，又ab0，不妨设b0，则ab0，f(a)f(b)0，又f(b)f(b)，f(a)f(b)，f(a)f(b)0.故选A.2设f(x)与g(x)是定义在同一区间a，b上的两

19、个函数，若函数yf(x)g(x)在xa，b上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在a，b上是“关联函数”，区间a，b称为“关联区间”若f(x)x23x4与g(x)2xm在0,3上是“关联函数”，则m的取值范围为_由题意知，yf(x)g(x)x25x4m在0,3上有两个不同的零点在同一直角坐标系下作出函数ym与yx25x4(x0,3)的图象如图所示，结合图象可知，当x2,3时，yx25x4，故当m时，函数ym与yx25x4(x0,3)的图象有两个交点3已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR)，xR.(1)若函数f(x)的最小值为f(1)0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1

20、)的条件下，f(x)xk在区间3，1上恒成立，试求k的范围解(1)由题意知解得2分所以f(x)x22x1，由f(x)(x1)2知，函数f(x)的单调递增区间为1，)，单调递减区间为(，1.6分(2)由题意知，x22x1xk在区间3，1上恒成立，即kx2x1在区间3，1上恒成立，8分令g(x)x2x1，x3，1，由g(x)2知g(x)在区间3，1上是减函数，则g(x)ming(1)1，所以k1，即k的取值范围是(，1).12分第三节基本不等式 考纲传真1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件

21、：当且仅当ab.2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)2(a，b同号且不为零)；(3)ab2(a，bR)；(4)2(a，bR)3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果xy是定值q，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)函数f(x)c

22、os x，x的最小值等于4.()(3)x0，y0是2的充要条件()(4)若a0，则a3的最小值为2.()答案(1)(2)(3)(4)2若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22ab Bab2C. D.2Da2b22ab(ab)20，A错误；对于B，C，当a0，b0，22.3(2016安徽合肥二模)若a，b都是正数，则的最小值为()A7 B.8C9 D.10Ca，b都是正数，5529，当且仅当b2a0时取等号，故选C.4若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a等于() 【导学号：01772209】A1 B.1C3 D.4C当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当

23、且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x3，即a3，选C.5(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2.25设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，则另一边为(202x)(10x)m，则yx(10x)225，当且仅当x10x，即x5时，ymax25.利用基本不等式求最值(1)(2015湖南高考)若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B.2C2 D.4(2)(2017郑州二次质量预测)已知正数x，y满足x22xy30，则2xy的最小值是_(1)C(2)3(1)由知a0，b0，所以2，即ab2，当且仅当即a，b2时取“”，所以

24、ab的最小值为2.(2)由x22xy30得yx，则2xy2xx23，当且仅当x1时，等号成立，所以2xy的最小值为3.规律方法1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”2在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式变式训练1(1)(2016湖北七市4月联考)已知a0，b0，且2ab1，若不等式m恒成立，则m的最大值等于()A10 B.9C8 D.7(2)(2016湖南雅礼中学一模)已知实数m，n满足mn0，mn1，则的最大值为_(1)B(2)4(1)41525229，当且仅当ab时取等号又m，m9，即m的最大值等于9，故选B.(2)mn0，mn1，m0，n0，b0，ab1，求证：(1)8；(2)9.证明(1)2，ab1，a0，b0，2224，3分8(当且仅当ab时等号成立).5分(2)法一：a0，b0，ab1，112，同理12，52549，10分9(当且仅当ab时等号成立).12分法二：1，由(1)知，8，10分故19.12分规律方法1.“1”的代换是解决问