完整版高等代数北大版第7章习题参考答案doc.docx
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第七章线性变换
1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1）在线性空间V中，A
其中
V是一固定的向量；
2）在线性空间V中，A
其中
V是一固定的向量；
3）在P3中，A（x1,x2,x3）
（x12,x2x3,x32）；
4）在P3中，A（x1,x2,x3）
（2x1
x2,x2
x3,x1）；
5）在P[x]中，Af（x）
f（x1）；
6）在P[x]中，Af（x）
f（x0）,其中x0
P是一固定的数；
7）把复数域上看作复数域上的线性空间，
A
。
8）在Pn
n中，AX=BXC
其中B,C
Pnn是两个固定的矩阵.
解1）当
0时,是;当
0时,不是。
2）当
0
时,是;当
0
时,不是。
3）不是.例如当
（1,0,0）
k
2时,kA（
）（2,0,0）,A（k）（4,0,0）,
A（k）
kA（）。
4）是.因取（x1,x2,x3）,
（y1,y2,y3）,有
A（
）=A（x1
y1,x2
y2,x3
y3）
=（2x1
2y1
x2
y2,x2
y2
x3
y3,x1y1）
=（2x1
x2,x2
x3,x1）（2y1
y2,y2y3,y1）
=A+A，
A（k）
A（kx1,kx2,kx3）
（2kx1kx2,kx2kx3,kx1）
（2kx1kx2,kx2kx3,kx1）
=kA（），
故A是P3上的线性变换。
5）是.因任取f（x）
P[x],g（x）
P[x],并令
u（x）f（x）g（x）则
A（f（x）
g（x））=Au（x）=u（x
1）=f（x1）
g（x
1）=Af（x）+A（g（x）），
再令v（x）
kf（x）则A（kf（x））
A（v（x））
v（x
1）
kf（x1）
kA（f（x）），
故A为P[x]上的线性变换。
6）是.因任取f（x）P[x],g（x）
P[x]则.
A（f（x）
g（x））=f（x0）g（x0
）A（f（x））
A（g（x）），
A（kf（x））
kf（x0）
kA（f（x））。
7）不是，例如取
a=1,k=I，则A（ka）=-i,k（Aa）=i,A（ka）kA（a）。
8）是，因任取二矩阵X,Y
Pnn，则A（XY）
B（X
Y）C
BXC
BYCAX+AY，
A（kX）=B（kX）k（BXC）kAX，故A是Pnn上的线性变换。
2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的
变换，证明：
A4=B4=C4=E,ABBA,A2B2=B2A2，并检验（AB）2=A2B2是否成立。
解任取一向量a=（x,y,z），则有
1）因为
Aa=（x,-z,y）,
A2a=（x,-y,-z），A3a=（x,z,-y）,
A4a=（x,y,z），
Ba=（z,y,-x）,
B
2
3
B
4
a=（-x,y,-z），B
a=（-z,y,x）,
a=（x,y,z），
Ca=（-y,x,z）,
C
2
3
C
4
a=（-x,-y,z），C
a=（y,-x,z）,
a=（x,y,z），
所以A4
=B
4
=C
4
=E。
2）因为AB（a）=A（z,y,-x）=（z,x,y），BA（a）=B（x,-z,y）=（y,-z,-x），所以ABBA。
3）因为A2B2（a）=A2（-x,y,-z）=（-x,-y,z），B2A2（a）=B2（x,-y,-z）=（-x,-y,z），
所以A2
B
2
=B
2
A
2。
2
2
2
3）因为（AB）
（a）=（AB）（AB（a））_=AB（z,x,y）=（y,z,x），A
B（a）=（-x,-y,z），
所以（AB）2
A
2
B
2。
3.在P[x]
中，Af（x）
f'（x）,Bf（x）xf（x），证明:
AB-BA=E。
证任取f（x）
P[x]，则有
（AB-BA）f（x）=ABf（x）-BAf（x）=A（xf（x））-B（f'（x））=f（x）
xf;（x）-xf'（x）=f（x）
所以
AB-BA=E。
4.设A,B是线性变换，如果AB-BA=E，证明：
AkB-BAk=kAk1
（k>1）。
证采用数学归纳法。
当
k=2时
A2B-BA2=（A2B-ABA）+（ABA-BA
2）=A（AB-BA）+（AB-BA）A=AE+EA=
2a，结论成立。
归纳假设k
m时结论成立，即
AmB-BAm=mAm1。
则当km1时，有
Am1B-BAm1=（Am1B-AmBA）+（AmBA-BAm1）=Am（AB-BA）+（A
mB-BAm）A=AmE+mA
m1A=（m
1）Am。
即k
m
1
时结论成立.故对一切k
1结论成立。
5.证明：
可逆变换是双射。
证设A是可逆变换，它的逆变换为
A1。
若ab
，则必有Aa
Ab，不然设Aa=Ab，两边左乘A1，有a=b，这与条件矛盾。
其次，对任一向量b，必有a使Aa=b，事实上,令A1b=a即可。
因此,A是一个双射。
6.设
1,
2,
n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。
证明：
A是可逆变换当且
仅当A
1,A
2,
A
n线性无关。
证因A（1,
2,
n）=（A1,A
2,
A
n）=（1,
2,
n）A，
故A可逆的充要条件是矩阵
A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A1,A2,
A
n线性无
关，故A可逆的充要条件是
A
1,A
2,
An线性无关.。
7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵
:
1）
第1
题4）中变换A在基1=（1,0,0）,
2=（0,1,0）,
3=（0,0,1）下的矩阵；
2）
[o;
1,
2]是平面上一直角坐标系
A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂
直投影,B是平面上的向量对
2的垂直投影，求
A,B,AB在基1,2下的矩阵；
3）
在空间P[x]n中，设变换A为f（x）
f（x
1）
f（x），
试求A在基
i=x（x
1）
（x
i
1）
1
（I=1,2,
n-1）下的矩阵A；
i!
4）
六个函数
1=eaxcosbx,
2=eaxsinbx，3=xeaxcosbx,4=xeaxsinbx，
1=
1x2eaxcosbx,
1=
1
eax
x2sinbx，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空
2
2
间，求微分变换
D在基
i
（i=1,2,
6）下的矩阵；
1
0
1
5）
已知P
3中线性变换A在基
1=（-1,1,1）,2=（1,0,-1）,
3=（0,1,1）下的矩阵是
1
1
0，
1
2
1
求A在基1=（1,0,0）,2=（0,1,0）,3=（0,0,1）下的矩阵；
6）在P3中，A定义如下：
A
1
A2
A3
其中
（
5,0,3）
（0,
1,6）
，
（
5,
1,9）
1
2
3
（1,0,2）
（0,1,1），
（3,1,0）
求在基1=（1,0,0）,2=（0,1,0）,3=（0,0,1）下的矩阵；
7）同上，求A在1,2,3下的矩阵。
解1）A1=（2,0,1）=21+3，A2=（-1,1,0）=-1+2，A3=（0,1,0）=2，
2
1
0
故在基
1,2，
3下的矩阵为0
1
1
。
1
0
0
2）取1=（1，0），2=（0，1），则A
1
1
1
1
1=
1+
2，A2=
1+2，
1
1
2
2
2
2
故A在基
1，2下的矩阵为A=
2
2
。
1
1
2
2
又因为B
1=0，B
2=
2，所以B在基
0
0
1，
2下的矩阵为B=
，另外，（AB）2=A
0
1
（B2）=A2
1
1+
1
2，
=
2
2
1
0
所以AB在基
1，
2下的矩阵为AB=
2
。
1
0
2
3）因为
1,1
x,
x（x1）
n
x（x1）[x（n2）]
0
2
2!
1
，
（n1）!
所以A
0
1
1
0，
A
1
（x
1）
x
0，
LLLL
A
n1
（x1）x[x（n3）]
x（x1）[x（n2）]
（n
1）!
（n1）!
x（x
1）
[x
（n
3）]
=
（n
1）!
{（x1）[x（n2）]}
=
n2，
0
1
0
1
所以A在基
0,
1,
n
1下的矩阵为A=
。
1
0
4）因为D1=a
1-b2,
D
2=b1-a
2,
6，
D
3=
1+a
3-b
4
D
4=
2+b
3+a
4
D
5=
3+a5-b
6,
D
6=
4+b
5+a
6
，
a
b
1
0
0
0
b
a
0
1
0
0
0
0
a
b
1
0
所以D在给定基下的矩阵为D=
0
b
a
0
0。
0
1
0
0
0
0
a
b
0
0
0
0
b
a
1
1
0
5）因为（1,2,3）=（1,
2，3）1
0
1
，所以
1
1
1
1
1
1
（1,2，3）=（1,2,3）0
1
1
=（1,2,3）X，
1
0
1
故A在基1,2，3下的矩阵为
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
2
B=X1AX=1
0
1
1
1
0
0
1
1
=
2
2
0
。
1
1
1
1
2
1
1
0
1
3
0
2
1
0
3
6）因为（
1,
2,
3）=（
1,
2，3）
0
1
1
，
2
1
0
1
0
3
所以A（
1,
2,
3）=A（
1,
2，3）
0
1
1
2
1
0
5
0
5
但已知A（
1,2,3）=（
1,2，3）
0
1
1
，
3
6
9
5
0
5
1
0
3
故A（1,
2，3）=（1,
2，3）0
1
1
0
1
1
1
3
6
9
2
1
0
1
3
3
5
0
5
7
7
7
=（
1,2，3）
0
1
1
2
6
1
7
7
7
3
6
9
2
1
1
7
7
7
5
20
20
7
7
7
=（
1,
2，3）
4
5
2
。
7
7
7
27
18
24
7
7
7
1
0
3
7）因为（
1,
2，3）=（
1,
2,
3）
0
1
1
1，
2
1
0
1
0
3
5
0
5
所以A（1,
2,
3）=（1,
2,
3）
0
1
1
1
0
1
1
2
1
0
3
6
9
2
3
5
=（1,2,3）
10
1。
1
1
0
8．在P
2
2中定义线性变换A
1
（X）=
a
b
X,A2（X）=X
a
b
A2（X）=
c
d
c
d
abab
X
cdcd
求A1,A2,A3在基E11,E12,E21,E22下的矩阵。
解因A1E11=aE11+cE12,A1E12=aE12+cE22,
A1E21=bE11+dE21,A1E22=bE21+dE22,
a
0
b
0
故A1在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为A1
0
a
0
b
=
0
d
。
c
0
0
c
0
d
又因A2E11=aE11+bE12,A2E12=cE11+dE12,
A2E21=aE21+bE22,A2E22=cE21+dE22,
a
c
0
0
故A2在基E11,E12
E21,E22
下的矩阵为A2
b
d
0
0
。
=
0
a
c
0
0
0
b
d
又因A3E11=a2E11+abE12+acE21+bcE22，
2
A3E12=acE11+adE12+cE21+cdE22，
A3E21=abE11+b
2
E12+adE21+bdE22，
A3E22=bcE11+bdE12+cdE21+d2E22，
a2
ac
ab
bc
故A3在基E11,E12,E21,E22
下的矩阵为A3
ab
ad
b2
bd
ac
c2
ad
。
cd
bc
cd
bd
d2
9.设三维线性空间V上的线性变换A在基1,2,3下的矩阵为
a11
a12
a13
A=a21
a22
a23
，
a31
a32
a33
1）求A在基3,2,1下的矩阵；
2）求A在基1,k2,3下的矩阵，其中且；
3）求A在基12,2,3下的矩阵。
解1）因A3=a333+a232
a13
1，
A2=a323
a222
a121，
A1=a313
a212
a111，
a33
a32
a31
故A在基
3,2,
1下的矩阵为B3
a23
a22
a21
。
a13
a12
a11
2）因A1=a111+a21（k2）a31
3，
k
A（k
2）=ka121+a22（k
2）+ka323，
A3=a131+a23（k
2）+a333，
k
a11
ka12
a13
故A在1,k
2,
3下的矩阵为
B2
a21
a22
a23
。
k
k
a31
ka32
a3
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