最新高中数学必修一知识点总结精编word版.docx
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最新高中数学必修一知识点总结精编word版
高中数学必修一知识点总结（精编版）
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性：
①元素的确定性如：
世界上最高的山②元素的互异性如：
由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}③元素的无序性:
如：
{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示：
{⋯}如：
{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}⑴用拉丁字母表示集合：
A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}⑵集合的表示方法：
列举法与描述法。
★注意：
常用数集及其记法：
常用数集：
非负整数集（即自然数集）：
N正整数集：
N*或N+整数集：
Z有理数集Q实数集：
R
常用数集的记法：
1列举法：
{a,b,c⋯⋯}
2描述法：
将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{xR|x-3>2},{x|x-3>2}
3语言描述法：
例：
{不是直角三角形的三角形}
4Venn图
4、集合的分类：
⑴有限集含有有限个元素的集合⑵无限集含有无限个元素的集合⑶空集不含任何元素的集合例：
{x|x2=－5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：
AB有两种可能
（1）A是B的一部分，；
（2）A与B是同一集合反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2．“相等”关系：
A=B（5≥5，且5≤5，则5=5）
实例：
设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”
即：
①任何一个集合是它本身的子集。
AA
2真子集:
如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）
3如果AB,BC,那么AC
4如果AB同时BA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
★有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算
运算
类型
交集
并集
补集
定
由所有属于A且属于B
由所有属于集合A或属
设S是一个集合，A是S
义
的元素所组成的集合,
于集合B的元素所组成
的一个子集，由S中所有
叫做A,B的交集．记作
的集合，叫做A,B的并
不属于A的元素组成的集
AB（读作‘A交B'），
集．记作：
AB（读作
合，叫做S中子集A的补
即AB={x|xA，
‘A并B'），即AB
集（或余集）
且xB｝．
={x|xA，或xB}）．
记作CSA，即
CSA={x|xS,且xA}
韦
AB
AB
恩
图1
图2
图
示
性
AA=A
AA=A
（CuA）（CuB）
AΦ=Φ
AΦ=A
=Cu（AB）
AB=BA
AB=BA
（CuA）（CuB）
ABA
ABＡ
=Cu（AB）
质
ABB
ABB
A（CuA）=U
A（CuA）=Φ．
典型例题：
1.下列四组对象，能构成集合的是（）
A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数
2.集合{a，b，c}的真子集共有个
3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}，则M与N的关系是.
4.设集合A=x1x2，B=xxa，若AB，则a的取值范围是
5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。
6.用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=.
7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值。
四、函数的有关概念
1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于
集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：
A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：
y=f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．
定义域：
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
（1）分式的分母不等于零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零；
（3）对数式的真数必须大于零；（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各
部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零，底不可以等于零，
（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
★相同函数的判断方法：
1表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；
2定义域一致（两点必须同时具备）（见课本21页相关例2）
2．常用求值域的方法:
（求值先考虑其定义域）
（1）观察法
（2）配方法（3）换元法
3.函数图象知识归纳
（1）定义：
在平面直角坐标系中，以函数y=f（x）,（x∈A）中的x为横坐标，函数值y
为纵坐标的点P（x，y）的集合C，叫做函数y=f（x）,（x∈A）的图象．C上每一点的坐标（x，y）均满足函数关系y=f（x），反过来，以满足y=f（x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点（x，y），均在C上.
（2）画法：
A、描点法：
B、图象变换法
常用变换方法有三种：
1平移变换②伸缩变换③对称变换
4．区间的概念
（1）区间的分类：
开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示．
5．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集
合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：
AB为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f（对应关系）：
A（原象）
B（象）”
对于映射f：
A→B来说，则应满足：
（1）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
（2）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
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（3）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
（2）各部分的自变量的取值情况．
（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．补充：
复合函数
如果y=f（u）（u∈M）,u=g（x）（x∈A）,则y=f[g（x）]=F（x）（x∈A）称为f、g的复合函数。
五、函数的性质
1.函数的单调性（局部性质）
（1）增函数
设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数.区间D称为y=f（x）的单调减区间.
注意：
函数的单调性是函数的局部性质；
（2）图象的特点
如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
（3）.函数单调区间与单调性的判定方法
（A）定义法：
①任取x1，x2∈D，且x12作差f（x1）－f（x2）；
3变形（通常是因式分解和配方）；
4定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；
5下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）．
（B）图象法（从图象上看升降）
（C）复合函数的单调性：
复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性密切相关，其规律是“同增异减”。
★注意：
函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在
一起写成其并集.
2．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数．
（2）奇函数
一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=—f（x），那么f（x）就叫做奇函数．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的步骤：
1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
2确定f（－x）与f（x）的关系；
3作出相应结论：
若f（－x）=f（x）或f（－x）－f（x）=0，则f（x）是偶函数；若f（－x）=－f（x）或f（－x）＋f（x）=0，则f（x）是奇函数．
★注意：
函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，
（1）再根据定义
判定;
（2）由f（-x）±f（x）=0或f（x）／f（-x）=±1来判定;（3）利用定理，或借助函数的图象判定.
3.函数的解析表达式
（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
1配方法②待定系数法③换元法④消元法
4．函数最大（小）值（定义见课本p36页）
①利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
2利用图象求函数的最大（小）值
3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f（x
在x=b处有最大值f（b）；
如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）；
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典型例题：
1.求下列函数的定义域：
x12
1（）2
x1
2.设函数f（x）的定义域为[0，
1]，则函数f（x2）的定义域为
3.若函数f（x1）的定义域为[2，3]，则函数f（2x1）的定义域是
若f（x）3，则x=
x2（x1）
4.函数f（x）x2（1x2）
2x（x2）
5.求下列函数的值域：
⑴yx22x3（xR）
⑵yx22x3x[1,2]
（3）yx12x
（4）yx24x5
6.已知函数f（x1）x24x，求函数f（x），f（2x1）的解析式。
7.已知函数f（x）满足2f（x）f（x）3x4，则f（x）=。
8.设f（x）是R上的奇函数，且当x[0,）时,f（x）x（13x）,则当x（,0）时f（x）=
f（x）在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间：
⑴yx2x3⑵yx22x3⑶yx26x1
3
10.判断函数yx31的单调性并证明你的结论．
1
f
（1）f（x）
x
f（x）11xx2
11.设函数1x2判断它的奇偶性并且求证：
第三章基本初等函数
、指数函数
一）指数与指数幂的运算
n>1，
1．根式的概念：
一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其且n∈N*．
★负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n00精品文档
当n是奇数时
nana，当n是偶数时，nan|a|a（a0）
a（a0）
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
m
annam（a0,m,nN*,n1）
mn11*
anm（a0,m,nN*,n1）
mnm
annam
★0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
rrrs
（1）a·aa（a0,r,sR）；
rsrs
（2）（a）a（a0,r,sR）；
rrs
（3）（ab）aa（a0,r,sR）．
（2）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：
一般地，函数yax（a0,且a1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意：
指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
2、指数函数的图象和性质
注意：
利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，f（x）ax（a0且a1）值域是[f（a）,f（b）]或[f（b）,f（a）]；
（2）若x0，则f（x）1；f（x）取遍所有正数当且仅当xR；（3）对于指数函数f（x）ax（a0且a1），总有f
（1）a；二、对数函数
（一）对数
1．对数的概念：
一般地，如果axN（a0,a1），那么数x叫做以．a为．底．N的对数，记作：
xlogaN（a—底数，N—真数，logaN—对数式）说明：
①注意底数的限制a0，且a1；
②axNlogaNx；
3注意对数的书写格式．
两个重要对数：
①常用对数：
以10为底的对数lgN；
②自然对数：
以无理数e2.71828为底的对数的对数lnN．
★指数式与对数式的互化
幂值真数
ab＝NlogaN＝b
底数
指数对数
（二）对数的运算性质
如果a0，且a1，M0，N0，那么：
①loga（M·N）logaM＋logaN；
②logaMlogaM－logaN；
aNaa
③logaMnnlogaM（nR）．
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注意：
换底公式
利用换底公式推导下面的结论：
logambnnlogab；
（2）logabm
二）对数函数
1、对数函数的概念：
函数ylogax（a0，且a1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意：
①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
如：
②对数函数对底数的限制：
（a0，且a1）．
2、对数函数的性质：
11
0
1
定义域x>0
定义域x>0
值域为R
值域为R
在R上递增
在R上递减
函数图象都过定
点（1，0）
函数图象都过定点（1，
0）
（三）幂函数
1、幂函数定义：
一般地，形如yx（aR）的函数称为幂函数，其中为常数．
2、幂函数性质归纳．
1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；
（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,）上是增函数．特别
地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；
（3）0时，幂函数的图象在区间（0,）上是减函数．在第一象限内，当x
从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．
1.已知a>0，a0，函数y=ax与y=loga（-x）的图象只能是
典型例题：
（）
2.计算：
①log32
log2764
②2
4log23
1
；253
log5272log52
1741
③0.0643（8）0[
（2）3]3160.750.012
3.函数y=log1（2x2-3x+1）的递减区间为
2
4.若函数f（x）logax（0a1）在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a=
5.已知f（x）log1x（a0且a1），
（1）求f（x）的定义域
（2）求使f（x）0的x的取值范围a1x
（四）
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：
对于函数yf（x）（xD），把使f（x）0成立的实数x叫做函数yf（x）（xD）的零点。
2、函数零点的意义：
函数yf（x）的零点就是方程f（x）0实数根，亦即函数yf（x）的图象与x轴交点的横坐标。
即：
方程f（x）0有实数根函数yf（x）的图象与x轴有交点函数yf（x）有零点．
3、函数零点的求法：
①（代数法）求方程f（x）0的实数根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数yax2bxc（a0）．
（1）△＞０，方程ax2bxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程ax2bxc0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
2
（3）△＜０，方程ax2bxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．
5.函数的模型
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