初中数学建模常见类型及举例.docx

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初中数学建模常见类型及举例

初中数学建模初探

随着经济的飞速发展和计算机的广泛应用,数学日益成为一种技术,其手段就是计算和数学建模.数学建模是解决实际问题的过程，在这一个过程中，建立数学模型是最关键、最重要的环节，也是学生的困难所在。

它需要运用数学的语言和工具，对部分现实世界的信息（现象、数据等）加以简化、抽象、翻译、归纳，然后利用合适的数学工具描述事物特征的一种数学方法。

一、在初中数学教学中，要使学生初步学会建立数学模型的方法，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，应着重注意以下几点：

 1、审题

       建立数学模型，首先要认真审题。

苏联著名数学家斯托利亚尔说过，数学教学也就是数学语言的教学。

实际问题的题目一般都比较长，涉及的名词、概念较多，因此要耐心细致地读题，深刻分解实际问题的背景，明确建模的目的；弄清问题中的主要已知事项，尽量掌握建模对象的各种信息；挖掘实际问题的内在规律，明确所求结论和对所求结论的限制条件。

2、简化

       根据实际问题的特征和建模的目的，对问题进行必要简化。

抓住主要因素，抛弃次要因素，根据数量关系，联系数学知识和方法，用精确的语言作出假设。

3、抽象

       将已知条件与所求问题联系起来，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子、图形或表格等形式表达出来，从而建立数学模型。

       按上述方法建立起来的数学模型，是不是符合实际，理论上、方法上是否达到了优化，在对模型求解、分析以后通常还要用实际现象、数据等检验模型的合理性。

二、初中数学建模的主要类型

  一切数学概念、公式、方程式和算法系统等都是数学模型，可以说，数学建模的思想渗透在中小学数学教材中。

因此，只要我们深入钻研教材，挖掘教材所蕴涵的应用数学的材料，并从中总结提炼，就能找到数学建模教学的素材。

例如：

最大最小问题，包括面（体）积最大（小）、用料最省、费用最低、效益最好等，可以建立函数或不等式模型。

行程、工程、浓度问题，可以建立方程（组）、不等式（组）模型。

1、函数模型

当涉及到总运费最少或利润最大等决策性问题时，可通过建立函数模型，将实际问题转化为数学问题，运用函数的相关知识来解决.

2、直角三角形模型

当涉及测量高度、测量距离、航海、拦水坝等应用型问题时，可考虑建立直角三角形的模型，利用直角三角形的知识使问题获得解决.

3、方程（组）模型

现实生活中广泛地存在等量关系，如利息和税率、百分比、工程施工、行程问题等，通常都需要建立方程（组）的模型来解决问题.

4、不等式（组）模型

生活中的不等关系主要体现在市场营销、生产决策、统筹安排等方面，对于此类实际问题可以考虑通过建立不等式（组）的模型来解决.

5、几何模型

生活中诸如边角余料加工、拱桥计算、修复残破轮片等问题，涉及应用一定几何图形的性质需建立几何模型，用几何知识加以解决.

三、强调数学应用现已成为当今各国课程内容改革的共同特点。

在美国，人们提出了“用数学服务于现实世界”的口号。

近年来，我国对数学应用给予了高度重视，中学数学教学中也开始进行建模教学的探索，但所作的努力还不够。

一般说来，运用较少的数学知识、与教材内容密切相关的、相对简单的建模活动可以在课堂教学中进行，而需要综合运用多种知识、与教材内容联系不紧密的、相对复杂的建模活动应在课外活动中进行。

有些建模问题比较复杂，可以将其分解、分步解决；或在教师带领下解决某些环节，其具体求解过程可留给学生课后解决，最后再组织学生宣讲、交流或写成小论文，这样既发挥了教师的主导作用，又体现了以学生为主体的原则，也培养了学生的探索精神和数学能力。

数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中,是培养和提高同学们应用所学知识分析问题,解决问题的能力的必备手段之一.数学建模教学应结合正常的教学内容进行切入,把培养应用数学的意识落实在平时的教学过程中,以教材为载体,以改革教学方法为突破口,通过对教学内容的处理和再创造达到在学中用,在用中学。

数学建模题型举例

1、建立二元一次方程组的模型解决实际问题。

例1、利用两块长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①的方式放置。

再交换木块的位置，按图②的方式放置。

测量数据。

如图。

求桌子的高度。

解析：

利用二元一次方程组模型，找到两个未知量和两个相等关系，特别是图形中隐含的等量关系。

设：

木块长为a、宽为b、桌子的高为x，依题意有：

解得：

X=75

例2、玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元。

玲玲的爸爸妈妈商量后决定，只选一个公司单独完成。

（1）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？

（2）如果从节约开支的角度考虑呢？

说明理由。

解析：

利用二元一次方程组数学模型，节约时间久应考虑效率、节约开支就得计算总费用，通过这两方面的计算得到决策。

2、建立分式方程模型解决实际问题。

例3、小明去离家2.4千米的体育馆看球赛，进场时，发现门票放在家中，此时离比赛开始还有45分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票，在家取票时用时2分钟，取到票后，他马上骑自行车（匀速）赶往体育馆。

已知小时骑自行车从价赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20分钟，骑自行车的速度是步行速度的3倍。

（1）小明步行的速度（单位：

米/分）是多少？

（2）小明能否在球赛开始前赶到体育馆？

解析：

（1）利用数学模型“路程=时间速度”列方程

（2）由上面的模型计算来去，共用的时间，再与45分钟尽心比较，如果小于45分钟就可以提前赶到。

3、建立一元二次方程模型解决实际问题。

例4、某市某楼盘准备以5000元/㎡的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平米4050元的均价开盘销售。

（1）求平均每次下调的百分率。

（2）某人准备以开盘均价购买一套100平米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择。

①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平米每月1.5元。

请问哪种方案更优惠？

解析：

模型“a（1x）n=b”其中a为原来量，x为平均增长率，n为增长决数，b为增长后的量。

“+”表示增长，“-”表示下降（减少）。

本题由模型a（1+x）n=b列方程，分别计算两种方程的总花费，比较大小得出结论。

4、建立一元一次不等式组模型解决实际问题。

例5、开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用了1元钱买了同样的钢笔2支和笔记本5本。

（1）求每支钢笔和每本笔记本的价格。

（2）校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本48件，作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？

解析：

（1）利用二元一次方程组模型，由小芳、小亮花费钱数等量关系列一元一次方程组。

（2）由花销不多于200元和笔记本数量不少于钢笔数量里饿不等式组，根据不等式组解得确定购买方案。

5、建立一次函数模型求解实际问题。

例6、20XX年我国西南地区遭受了百年一遇的旱灾，但在这次旱情中，某市因近年来“森林城市”的建设而受灾较轻。

据统计，该市20XX年全年植树5亿棵，涵养水源3亿立方米，若该市以后每年年均植树5亿棵，到20XX年“森林城市”的建设将全面完成。

那时，树木可以长期保持涵养水源11亿立方米。

（1）从20XX年到20XX年这七年间，该市一共植树多少亿棵？

（2）若把20XX年作为第一年，该树木涵养水源的能力y（亿立方米）与第x年成一次函数，求出该函数解析式，并求出到第3年（即20XX年）可以涵养多少水源？

解析：

利用一次函数模型，设树木涵养水源的能力y（亿立方米）与第x年所成的一次函数为y=kx+b。

再将第一年（1，3），第七年（7,11）代入解析式求解。

6、建立二次函数模型解决几何问题。

例7、小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球到达最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米，已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30°，O、A两点相距8分米。

（1）求出点A的坐标及支线OA的解析式。

（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式。

（3）判断小明这一杆能否吧高尔夫球从O点直接打入球洞A点。

解析：

（1）解直面三角形，求A点的坐标，再求解析式。

（2）将O点坐标直接代入顶点式，求a。

（3）当X=OC=12时，比较此时的y值与a的纵坐标得出结论。

例8、某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=-+c,且过顶点C（0,5）。

（长度单位：

m）

（1）直接写出C的值。

（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元/㎡。

求购买地毯需多少元？

（3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG，已知矩形EFGH的周长为27.5m。

求斜面EG的倾斜面GEF的度数（精确到0.1°）。

解析：

（1）利用二次函数模型，建立适当的直角坐标系，把拱桥与二次函数模型联系起来。

（2）红地毯的总长，就是台阶的高之和与台阶平台面长之和。

7、运用勾股定理模型解决实际问题。

例9、有一块直角三角形绿地，量得两直角边长分别为6m、8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长。

解析：

（1）分情况讨论。

（2）利用勾股定理模型把这块地转化为直角三角形。

①AB=AD=10时，可得CD=CB=6，周长为32.

②当AB=AD=10时，CD=4，AD=4，周长为（20+4）。

③当AD为底时，设AD=BD=X,则CD=X-6，X=的，周长为的。

例10、长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角，则梯子的顶端沿前面升高了多少米？

解析：

将梯子、墙面、地面三者建立直角三角形，利用直角三角形，变是勾股定理模型求解。

墙面上升了[2（-）]米。

以上为列举的数字边模的集中类型和各类型的题型。

南部县富利镇九年一贯制学校郑邦太

2011-5-10