广东省南澳县南澳中学届高三上学期第二次模拟考试数学理科试题.docx
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广东省南澳县南澳中学届高三上学期第二次模拟考试数学理科试题
南澳中学2014-2015学年第一学期第二次高考模拟考试
高三理科数学试题
考试时间：
120分钟。
满分：
150分
参考公式：
锥体体积公式；柱体体积公式
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
1．复数＝（）
A．B．C．D．
2．设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁UM=（ ）
A．UB．{1，3，5}C．{2，4，6}D．{3，5，6}
3.已知条件p：
，条件q：
<1，则q是p成立的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件
4．已知，，且，则（）
A．B．
C．或D．
5．一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）
A.B.
C.D.
6.已知直线与两个不同的平面，则下列每题正确的是（）
A.若，则B.若则
C.若则D.若则
7．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是（ ）
A．21B．39C．81D．102
8.对、，运算“”、“”定义为：
=，=，则下列各式其中不恒成立的是（）
⑴⑵
⑶⑷
A．⑴、⑶B．⑵、⑷C．⑴、⑵、⑶D．⑴、⑵、⑶、⑷
二、填空题：
本题共7小题，作答6小题，每题5分，满分30分.
9．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高一年级抽取_；
10.已知数列，，则．
11的展开式中的系数为.（用数字作答）
12．已知满足约束条件，则最小值为。
13．定义在上的函数满足，则的值为_____.
14．在平面直角坐标系中，已知圆（为参数）和直线（为参数），则直线被圆C所截得弦长为；
15．如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经
过圆心，若PA=3，AB=4，PO=5，则⊙O的半径为______________．
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.在中,角、、的对边分别为、、,且,.
（1）求的值；
（2）设函数,求的值.
17.根据空气质量指数（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:
（数值）
空气质量级别
一级
二级
三级
四级
五级
六级
空气质量类别
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
空气质量类别颜色
绿色
黄色
橙色
红色
紫色
褐红色
某市2013年10月1日—10月30日，对空气质量指数进行监测,获得数据后得到如图（4）的条形图:
（1）估计该城市本月（按30天计）空气质量类别为中度污染的概率；
（2）在上述30个监测数据中任取2个,设为空气质量类别颜色为紫色的天数,求的分布列.
18．（本题满分分）
已知数列的前项和是，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求适合方程的正整数的值．
19.如图，三棱柱中，侧面底面，，，
且，为中点．
⑴证明：
平面；
⑵求直线与平面所成角的正弦值；
⑶在上是否存在一点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置．
20.已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，过椭圆的右焦点的动直线与椭圆相交于、两点.
（1）求椭圆的方程;
（2）若线段中点的横坐标为,求直线的方程;
（3）若线段的垂直平分线与轴相交于点.设弦的中点为,试求的取值范围.
21.已知函数．
（1）若，试确定函数的单调区间；
（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）设函数，求证：
．
南澳中学2014-2015学年第一学期第二次高考模拟考试
高三理科数学答题卡
题号
一
二
16
17
18
19
20
21
总分
得分
二、填空题（每题5分，共30分）
9.10.11.12.
13.14.15.
三、解答题：
（共80分）
16．（本题12分）
17．（本题12分）
18．（本题14分）
19．（本题14分）
20．（本题14分）
21．（本题14分）
南澳中学高三级理科班数学期末考试
参考答案
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17.【解析】：
（1）由条形统计图可知,空气质量类别为中度污染的天数为6,-------------1分
所以该城市本月空气质量类别为中度污染的概率.---------------------4分
（2）随机变量的可能取值为,-----------------------------------------------5分
则,-----------------------------------------------------------7分
----------------------------------------------------------9分
-------------------------------------------------------11分
所以的分布列为:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------12分
19.⑴证明：
因为，且为的中点，所以．
又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，
所以平面．
⑶设，
即，得．
所以，得
令平面，得，即，得，
即存在这样的点，为的中点．
（3）由
（2）知,所以的中点为
所以
……10分
直线的方程为,由,得,
则,所以…12分
所以
又因为,所以.所以.
所以的取值范围是…14分
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