数学建模GDP和国债关系分析.docx

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数学建模GDP和国债关系分析

兰州交通大学

2014年大学生数学建摸竞赛论文

题目：

A题

参赛组号：

参赛人1：

姓名李红洲

学院数理与软件工程学院

班级应物1201班

参赛人2：

姓名崔晓勇

学院数理与软件工程学院

班级应物1201班

参赛人3：

姓名张红利

学院数理与软件工程学院

班级应物1101班

论文编号：

我国GDP与国债的关系分析

摘要

随着科技的发展，经济也愈加快速发展，但是经济过快的增长未必有益于国家的发展，所以调控国债发行额对国家经济建设有重要意义。

而GDP与国债息息相关，是现代国民经济核算体系，是衡量一个国家综合国力的重要指标。

本文就中国1992年到2012年的GDP和国债关系进行细节研究分析。

首先，在数据库内采集到近20年GDP与国债的数据，运用计算机软件Eviews3.1建立了GDP散点图形、国债的散点图、国债随GDP的变化曲线图，观察图形的变化趋推广新思想势（不考虑特殊因素），提出GDP满足

M（t）=M0（1+0.07）t，

国债满足

N（t）=N0e0.1774（t-t0）

的数学模型，求出相应的参数。

根据国债和GDP数据，在Excel中采用回归分析方法寻找与其最接近的方程，在幂函数中，R2=0.904，则选择幂函数作为国债和GDP函数关系，具体方程表述为：

y=0.0009x1.3125

其次，通过求国债与GDP比值的极限是否大于1，进而判断国债是否最终会超过GDP，并且预计中国国债和GDP将继续保持增长，不过增长率缓慢下降。

关键字GDP国债发行额回归分析幂函数

1、问题提出

国内生产总值（GDP）是现代国民经济核算体系的核心指标，是衡量一个国家综合国力的重要指标，不仅可以反映一个国家的经济表现，还可以反映一国的国力与财富。

国债是中央政府为弥补财政赤字和筹集财政资金而发行的一种政府债券，是对GDP的再分配。

过度国债规模超出公民心理承受能力，影响国债的顺利推行，超过未来的清偿能力，有损国债的信誉，不能有效地使用社会资金，不利于国家的经济发展；国债发行额不足，起不到弥补国家财政赤字功能反而会造成国债负担同样达不到拉动国家经济发展的目的。

由此可知，能否掌握国债发行额与GDP的关系，为政府防止经济危机和拉动国家经济发展至关重要。

如果GDP以每年7%速度增长，国债随着GDP成比例增长，在第0年时的GDP为M0，国债为N0，建立一个的数学模型来描述GDP和国债关系，并求解数学模型，从国债与GDP的比值考虑，国债能否超过GDP，利用找到的数学模型就某一国家GDP与国债的关系加以分析。

2、问题分析

如果GDP以每年7%速度净增长，不考虑细节因素的影响，则GDP的增长问题近似看做Malthus人口增长模型，国债是GDP的再分配，随GDP成比例增长可以根据近十几年的国债随GDP变化采用回归分析法确定出国债与GDP的关系系数，进而由找出的关系先确定未来某年的GDP，再用GDP和系数计算出国债发行额，以便政府部门有预备性的采取性相应的措施对国家经济惊醒宏观调控。

3、假设

3.1由1992年到2012年GDP和国债数据，采用Eviews3.1软件作图如下：

我国近年GDP和国债数据统计表

年份

GDP（亿元）

国债发行额（亿元）

1992

26923.48

460.78

1993

35333.92

381.31

1994

48197.86

1137.55

1995

60793.78

1510.86

1996

71176.59

1847.77

1997

78973.03

2411.79

1998

84402.28

3808.77

1999

89677.15

4015.00

2000

99214.55

4657.00

2001

109655.17

4884.00

2002

120332.69

5934.30

2003

135822.76

6280.10

2004

159878.34

6923.90

2005

183217.37

7042.00

2006

216314.43

8883.30

2007

265810.31

23139.10

2008

314045.43

8558.20

2009

340402.81

17927.24

2010

401512.80

19778.30

2011

473104.05

17100.00

2012

519470.10

16154.20

表3-1

图3.2.1近年GDP增长图

图3.2.2近年国债增长图

3.2根据计算机作图提出下面两个假设：

如图3.2.1假设GDP增长符合指数增长模型

N（t）=N0er（t-t0）

如图3.2.2假设国债增长符合Malthus人口增长模型

Mn=M0（1+0.07）n

3.3符号说明：

符号

符号的意义

单位

M0

第0年的GDP值

亿元

M（t）

第t年的GDP值

亿元

N0

第0年的国债值

亿元

N（t）

第t年的国债值

亿元

t

描述国债的年份

年

r

国债的增长率

百分比

R2

可靠性，越接近1与实际越接近

B

国债与GDP的比值

4、模型建立

4.1对于GDP的计算

记M（t）为第t年的GDP值，将M（t）看作以（1+0.07）为底的指数函数，用数学归纳方法计算出第n年的GDP值M（t）

第0年GDP为M0

第1年GDP为M

（1）==M0（1+0.07）

第2年GDP为M

（2）=M0（1+0.07）2

第3年GDP为M（3）=M0（1+0.07）3

…`……`…

………`…

第t-1年GDP为M（t-1）=M0（1+0.07）t-1

第t年GDP为M（t）=M0（1+0.07）t

4.2对于国债的计算（Malthus人口增长模型）

记N（t）为第t年的国债值，视N（t）为连续、可微函数处理,引入r表示增长率.根据Malthus假设，在t到（t+Δt）时间国债的增长量为

N（t+Δt）-N（t）≈rN（t）Δt.

当t=t0，也就是再第0年时国债为N0，于是可以建立

N（t0）=N0.

该初值问题的解为

N（t）=N0er（t-t0）

4.3在上一步计算中，r是不确定的，从1992年到2012年国债变化关系由线性在Excel中采用非线性回归方法确定其函数图及其方程如下：

图4.3.1

利用Excel得出非线性回归方程：

y=671.73e0.1774x

其中：

y表示国债发行额，x表示时间t.

5、计算方法设计和计算机实现

在本题中我们分别用用EViews3.1软件和Excel软件来做出模拟散点分布图，此环节是模拟回归方程的前提，也是回归方程是否正确建立的保证。

因此合理使用这项软件在本题中起着举足轻重的作用。

以下是具体的国债和GDP的模拟散点分布图的建立。

5.1在Excel环境下模拟国债和GDP的散点分布图的步骤

（1）收集1992-2012年每一年的DEBT和GDP数据并录入Excel表格中，具体数据如图5.1.1

图5.1.1

（2）在Excel上述工作表中选中B3C3到B24C24单元格，然后在工具栏中执行插入—散点分布图命令，绘制出模拟国债和GDP的散点分布图，然后选中图中某点，单击鼠标右键，在弹出对话框中执行添加趋势线—幂命令，作出GDP和国债的幂函数趋势图。

如图5.1.2

图5.1.2

5.2在Eviews3.1环境下模拟国债和GDP的散点分布图的步骤

（1）在Eviews3.1软件菜单栏中，依次执行File—New—Workfile命令以建立一个新的工作表（如图5.2.1）。

注：

工作表类型选annual，区间是1992-2012年。

图5.2.1

（2）在编辑栏依次输入DATADEBTGDP后按Enter键弹出新的工作表。

如图5.2.2，并粘贴如图5.1.1所示Excel中的数据到新工作表中。

图5.2.2

（3）在这个新的工作表菜单栏中执行View—Graph—Scatter—ScatterwithRefression命令，如此便绘制出了国债和GDP的模拟散点分布图并兼有直线趋势图。

见图5.2.3

图5.2.3

6、结果分析与检验

经比较，图5.1.2比图5.2.3在一定区间内更能精确地描述国债和GDP的关系，因此本文采用图5.1.2所描述的函数方程

y=0.0009x1.3125

其中，y表示国债发行额，x表示GDP值。

并由计算机获得其可靠性R2=0.904，与实际情况比较接近，可以作为国债与GDP的数学模型。

国债发行额要视情况而定，虽然我国国债逐年上升，但2007年国家为举办奥运会而投入了大量建设以致改年的国债值增长几乎是2006年国债发行额的3倍，对于特殊情况可以另类记之。

国债能否超过GDP呢？

下面就此问题作出回答。

令N（t）=N0e0.1774（t-t0）与M（t）=M0（1+0.07）t比值为B

B=N0e0.1774（t-t0）/M0（1+0.07）t=0.017

当t取足够大的值，上式可以大于1，所以国债理论上是可以大于GDP的。

7、模型的优缺点

7.1优点：

第一，提供了一种求解GDP和国债问题的思路，此方法新颖可靠易行。

第二，采用Eviews3.1和Excel算法求解问题数学模型的具体函数关系，运用计算机直接而简单的得出函数中相关系数，减小计算误差，确保了结果的可行性与准确性，使该算法更易于应用实际。

7.2缺点：

第一，采用幂函数对国债和GDP曲线参数进行拟合过程中，拟合误差仍然存在。

第二，有一部分数据不再拟合曲线图上，而且偏离较远，降低了模型与实际的接近度。

7.3改进方向及推广：

在对国债和GDP关系曲线参数进行拟合过程中，采用幂函数拟合误差比较大，可以采取平滑曲线进行拟合。

当GDP和国债值比较大的时候，可以不进行曲线拟合，直接采取分段函数，编程求解，这样求解的问题精度会更高。

8、参考文献

[1]国家数据.中华人民共和国国家统计局.2012年.

[2]赵天鹏.略谈适度国债对经济发展的影响.经济师.2000年第2期：

56-57.

[3]陈共.财政学.北京：

中国人民大学出版社.出版时间1998，9：

301-306.

[4]戴朝寿，孙世良.数学建模简明教程.北京.高等教育出版社.2007,1:

76-79