高中数学《等差数列前n项和的公式》说课稿.docx
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高中数学《等差数列前n项和的公式》说课稿
新修订高中阶段原创精品配套教材
高中数学《等差数列前n项和的公式》说课稿
教材定制/提高课堂效率/内容可修改
Thehighschoolmathematics"theformulaofthesumofthefirstntermsofthearithmeticsequence"
教师:
风老师
风顺第二中学
高中数学《等差数列前n项和的公式》说课稿
教材说明:
本说课稿资料适用于高中数学科目,主要用途为训练学生的思维,帮助学生用数字去了解日常生活中的现象,分析和解决生产、生活中的实际问题,使得在能严谨地思考,并有更多良好的解决方法,进而促进全面发展和提高。
内容已根据教材主题进行配套式编写,可直接修改调整或者打印成为纸质版本进行教学使用。
以下是高中数学《等差数列前n项和的公式》说课稿,仅供参考。
教学目标
A、知识目标:
掌握等差数列前n项和公式的推导方法;掌握公式的运用。
B、能力目标:
(1)通过公式的探索、发现,在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。
(2)利用以退求进的思维策略,遵循从特殊到一般的认知规律,让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式,培养学生类比思维能力。
(3)通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析,培养学生思维的灵活性,提高学生分析问题和解决问题的能力。
C、情感目标:
(数学文化价值)
(1)公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中,从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。
(2)通过公式的运用,树立学生"大众教学"的思想意识。
(3)通过生动具体的现实问题,令人着迷的数学史,激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求真的勇气和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感。
教学重点:
等差数列前n项和的公式。
教学难点:
等差数列前n项和的公式的灵活运用。
教学方法:
启发、讨论、引导式。
教具:
现代教育多媒体技术。
教学过程
一、创设情景,导入新课。
师:
上几节,我们已经掌握了等差数列的概念、通项公式及其有关性质,今天要进一步研究等差数列的前n项和公式。
提起数列求和,我们自然会想到德国伟大的数学家高斯"神速求和"的故事,小高斯上小学四年级时,一次教师布置了一道数学习题:
"把从1到100的自然数加起来,和是多少?
"年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050,这使教师非常吃惊,那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢?
如果大家也懂得那样巧妙计算,那你们就是二十世纪末的新高斯。
(教师观察学生的表情反映,然后将此问题缩小十倍)。
我们来看这样一道一例题。
例1,计算:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.
这道题除了累加计算以外,还有没有其他有趣的解法呢?
小组讨论后,让学生自行发言解答。
生1:
因为1+10=2+9=3+8=4+7=5+6,所以可凑成5个11,得到55。
生2:
可设S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10,根据加法交换律,又可写成 S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。
上面两式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110
10个
所以我们得到S=55,
即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
师:
高斯神速计算出1到100所有自然数的各的方法,和上述两位同学的方法相类似。
理由是:
1+100=2+99=3+98=......=50+51=101,有50个101,所以1+2+3+......+100=50×101=5050。
请同学们想一下,上面的方法用到等差数列的哪一个性质呢?
生3:
数列{an}是等差数列,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.
二、教授新课(尝试推导)
师:
如果已知等差数列的首项a1,项数为n,第n项an,根据等差数列的性质,如何来导出它的前n项和Sn计算公式呢?
根据上面的例子同学们自己完成推导,并请一位学生板演。
生4:
Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成
Sn=an+an-1+......a2+a1
两式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)
n个
=n(a1+an)
所以Sn=
#FormatImgID_0
# (I)
师:
好!
如果已知等差数列的首项为a1,公差为d,项数为n,则an=a1+(n-1)d代入公式
(1)得
Sn=na1+
#FormatImgID_1
# d(II)上面(I)、(II)两个式子称为等差数列的前n项和公式。
公式(I)是基本的,我们可以发现,它可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2相类比,这里的上底是等差数列的首项a1,下底是第n项an,高是项数n。
引导学生总结:
这些公式中出现了几个量?
(a1,d,n,an,Sn),它们由哪几个关系联系?
[an=a1+(n-1)d,Sn=
#FormatImgID_2
# =na1+
#FormatImgID_3
# d];这些量中有几个可自由变化?
(三个)从而了解到:
只要知道其中任意三个就可以求另外两个了。
下面我们举例说明公式(I)和(II)的一些应用。
三、公式的应用(通过实例演练,形成技能)。
1、直接代公式(让学生迅速熟悉公式,即用基本量观点认识公式)例2、计算:
(1)1+2+3+......+n
(2)1+3+5+......+(2n-1)
(3)2+4+6+......+2n
(4)1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n
请同学们先完成
(1)-(3),并请一位同学回答。
生5:
直接利用等差数列求和公式(I),得
(1)1+2+3+......+n=
#FormatImgID_4
#
(2)1+3+5+......+(2n-1)=
#FormatImgID_5
# (3)2+4+6+......+2n=
#FormatImgID_6
# =n(n+1)
师:
第(4)小题数列共有几项?
是否为等差数列?
能否直接运用Sn公式求解?
若不能,那应如何解答?
小组讨论后,让学生发言解答。
生6:
(4)中的数列共有2n项,不是等差数列,但把正项和负项分开,可看成两个等差数列,所以
原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)
=n2-n(n+1)=-n
生7:
上题虽然不是等差数列,但有一个规律,两项结合都为-1,故可得另一解法:
原式=-1-1-......-1=-n
n个
师:
很好!
在解题时我们应仔细观察,寻找规律,往往会寻找到好的方法。
注意在运用Sn公式时,要看清等差数列的项数,否则会引起错解。
例3、
(1)数列{an}是公差d=-2的等差数列,如果a1+a2+a3=12,a8+a9+a10=75,求a1,d,S10。
生8:
(1)由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12,即a1+d=4
又∵d=-2,∴a1=6
∴S12=12a1+66×(-2)=-60
生9:
(2)由a1+a2+a3=12,a1+d=4
a8+a9+a10=75,a1+8d=25
解得a1=1,d=3∴S10=10a1+
#FormatImgID_7
# =145
师:
通过上面例题我们掌握了等差数列前n项和的公式。
在Sn公式有5个变量。
已知三个变量,可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二),请同学们根据例3自己编题,作为本节的课外练习题,以便下节课交流。
师:
(继续引导学生,将第
(2)小题改编)
①数列{an}等差数列,若a1+a2+a3=12,a8+a9+a10=75,且Sn=145,求a1,d,n
②若此题不求a1,d而只求S10时,是否一定非来求得a1,d不可呢?
引导学生运用等差数列性质,用整体思想考虑求a1+a10的值。
2、用整体观点认识Sn公式。
例4,在等差数列{an},
(1)已知a2+a5+a12+a15=36,求S16;
(2)已知a6=20,求S11。
(教师启发学生解)
师:
来看第
(1)小题,写出的计算公式S16=
#FormatImgID_8
# =8(a1+a6)与已知相比较,你发现了什么?
生10:
根据等差数列的性质,有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18,所以S16=8×18=144。
师:
对!
(简单小结)这个题目根据已知等式是不能直接求出a1,a16和d的,但由等差数列的性质可求a1与an的和,于是这个问题就得到解决。
这是整体思想在解数学问题的体现。
师:
由于时间关系,我们对等差数列前n项和公式Sn的运用一一剖析,引导学生观察当d≠0时,Sn是n的二次函数,那么从二次(或一次)的函数的观点如何来认识Sn公式后,这留给同学们课外继续思考。
最后请大家课外思考Sn公式
(1)的逆命题:
已知数列{an}的前n项和为Sn,若对于所有自然数n,都有Sn=
#FormatImgID_9
# 。
数列{an}是否为等差数列,并说明理由。
四、小结与作业。
师:
接下来请同学们一起来小结本节课所讲的内容。
生11:
1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式。
2、用所推导的两个公式解决有关例题,熟悉对Sn公式的运用。
生12:
1、运用Sn公式要注意此等差数列的项数n的值。
2、具体用Sn公式时,要根据已知灵活选择公式(I)或(II),掌握知三求二的解题通法。
3、当已知条件不足以求此项a1和公差d时,要认真观察,灵活应用等差数列的有关性质,看能否用整体思想的方法求a1+an的值。
师:
通过以上几例,说明在解题中灵活应用所学性质,要纠正那种不明理由盲目套用公式的学习方法。
同时希望大家在学习中做一个有心人,去发现更多的性质,主动积极地去学习。
本节所渗透的数学方法;观察、尝试、分析、归纳、类比、特定系数等。
数学思想:
类比思想、整体思想、方程思想、函数思想等。
FoonShion教育研究中心编制
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