真题山东省泰安市中考数学试题.docx
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真题山东省泰安市中考数学试题
2019年山东省泰安市中考数学试卷
一、选择题（本大题共
12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正
确的选项选出来，每小题选对得
4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（4分）在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣
，π中，最小的数是（
）
A．﹣
B．﹣3
C．|﹣3.14|
D．π
2．（4分）下列运算正确的是（
）
6
3
3
4
2
8
2
3
6
2
2
4
A．a
÷a＝a
B．a
?
a＝a
C．（2a
）＝6a
D．a+a＝a
3．（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，
“嫦
娥四号”进入近地点约
200公里、远地点约
42万公里的地月转移轨道，将数据
42万公
里用科学记数法表示为（
）
9
米
8
米
7
米
D．4.2×10
7
米
A．4.2×10
B．4.2×10
C．42×10
4．（4分）下列图形：
是轴对称图形且有两条对称轴的是（
）
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
5．（4分）如图，直线
11∥12，∠1＝30°，则∠
2+∠3＝（
）
A．150°
B．180°
C．210°
D．240°
6．（4分）某射击运动员在训练中射击了
10次，成绩如图所示：
下列结论不正确的是（
A．众数是8
C．平均数是8.2
）
B．中位数是8
D．方差是1.2
7．（4分）不等式组的解集是（）
A．x≤2
B．x≥﹣2
C．﹣2＜x≤2
D．﹣2≤x＜2
8．（4分）如图，一艘船由
40°方向航行至C港，C
A港沿北偏东65°方向航行30港在A港北偏东20°方向，则
km至B港，然后再沿北偏西A，C两港之间的距离为（
）
km．
A．30+30
9．（4分）如图，△
ABC
B．30+10
是⊙O的内接三角形，∠
C．10+30
A＝119°，过点
D．30
C的圆的切线交
BO于点
P，则∠P的度数为（
）
A．32°
B．31°
C．29°
D．61°
10．（4
分）一个盒子中装有标号为
1，2，3，4，5
的五个小球，这些球除标号外都相同，
从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）
A．B．C．D．
11．（4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的
长为（）
A．
π
B．π
C．2π
D．3π
12．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为
为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）
AB
的中点，
F为
EC上一动点，
P
A．2
B．4
C．
D．
二、填空题（本大题共
6小题，满分
24分，只要求填写最后结果，每小题填对得
4分）
13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，
则实数k的取值范围是．
14．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：
“今有黄金九枚，
白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？
”意思
是：
甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量
相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不
计），问黄金、白银每枚各重多少两？
设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可
列方程组为．
15．（4分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点
A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为．
16．（4
分）若二次函数
2
2
y＝x+bx﹣5
的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x+bx﹣5＝2x
﹣13
的解为
．
17．（4
分）在平面直角坐标系中，直线
l：
y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正
方形
OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，⋯⋯，点A1，
A2，A3，A4，⋯⋯在直线l上，点C1，C2，C3，C4，⋯⋯在x轴正半轴上，则前n个正
方形对角线长的和
是．
18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，
将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是．
三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演
步骤）
19．（8分）先化简，再求值：
（a﹣9+
）÷（a﹣1﹣
），其中a＝．
20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生
的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于
50分），绘制了如下的统计图表（不完整）
：
组别
分数
人数
第1组
90＜x≤100
8
第2组
80＜x≤90
a
第3组
70＜x≤80
10
第4组
60＜x≤70
b
第5组
50＜x≤60
3
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出a，b的值；
（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；
（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？
21．（11分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数
y＝
的图象交于点
A，与x轴交于
点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点
P的坐标．
22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际
用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已
知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．
（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共
2600
个，已知
A、B
两
种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？
23．（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．
（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；
（2）若PE⊥EC，如图②，求证：
AE?
AB＝DE?
AP；
（3）在
（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．
24．（13
分）若二次函数
2
y＝ax+bx+c的图象与
x轴、y轴分别交于点
A（3，0）、B（0，﹣
2），且过点
C（2，﹣2）．
（1）求二次函数表达式；
（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且
S△PBA＝4，求点
P的坐标；
（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点
M，使∠ABO＝∠ABM？
若存在，求出点
M到
y轴的距离；若不存在，请说明理由．
25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且
∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．
（1）试判断AG与FG是否相等？
并给出证明；
（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？
若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．
2019年山东省泰安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正
确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（4分）在实数
|﹣3.14|，﹣3，﹣
，π中，最小的数是（
）
A．﹣
B．﹣3
C．|﹣3.14|
D．π
【分析】根据绝对值的大小进行比较即可，两负数比较大小，绝对值大的反尔小．
【解答】解：
∵||＝＜|﹣3|＝3
∴﹣＜（﹣3）
C、D项为正数，A、B项为负数，
正数大于负数，
故选：
B．
【点评】此题主要考查利用绝对值来比较实数的大小，此题要掌握性质”两负数比较大
小，绝对值大的反尔小，正数大于负数，负数的绝对值为正数“．
2．（4分）下列运算正确的是（
）
6
3
3
4
2
8
2
3
6
2
2
＝a
4
A．a
÷a＝a
B．a
?
a＝a
C．（2a
）＝6a
D．a+a
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分
别计算得出答案．
【解答】解：
A、a6÷a3＝a3，故此选项正确；
4
2
6
B、a
?
a
＝a，故此选项错误；
2
3
6
C、（2a
）＝8a，故此选项错误；
2
2
2
D、a+a＝
2a，故此选项错误；
故选：
A．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌
握相关运算法则是解题关键．
3．（4分）2018年
12月
8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，
“嫦
娥四号”进入近地点约
200公里、远地点约
42万公里的地月转移轨道，将数据
42万公
里用科学记数法表示为（
）
9
8
米
7
7
米
A．4.2×10米
B．4.2×10
C．42×10米
D．4.2×10
【分析】科学记数法的表示形式为
a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n
为整数．确定n
的值时，要看把原数变成
a时，小数点移动了多少位，
n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值＞
1时，n是正数；当原数的绝对值＜
1时，n是负数．
【解答】解：
42万公里＝420000000m用科学记数法表示为：
4.2×108米，
故选：
B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为
a×10n的形式，
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定
a的值以及n的值．
4．（4分）下列图形：
是轴对称图形且有两条对称轴的是（）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出对称轴的条数，从而得解．
【解答】解：
①是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；
②是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；
③是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项错误；
④不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：
A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．（4分）如图，直线11∥12，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（）
A．150°B．180°C．210°D．240°
【分析】过点E作EF∥11，利用平行线的性质解答即可．
【解答】解：
过点E作EF∥11，
∵11∥12，EF∥11，
∴EF∥11∥12，
∴∠1＝∠AEF＝30°，∠FEC+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝30°+180°＝210°，故选：
C．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．
6．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：
下列结论不正确的是（
）
A．众数是8
B．中位数是8
C．平均数是8.2
D．方差是1.2
【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．
【解答】解：
由图可得，数据
8出现3次，次数最多，所以众数为
8，故A选项正确；
10次成绩排序后为：
6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是
（8+8）＝8，
故B选项正确；
平均数为
（6+7×2+8×3+9×2+10×2）＝8.2，故C选项正确；
方差为
2
2
2
2
2
[（6﹣8.2）+（7﹣8.2）+（7﹣8.2）+（8﹣8.2）+（8﹣8.2）+（8﹣8.2）
2
2
2
2
2
+（9﹣8.2）+（9﹣8.2）+（10﹣8.2）+（10﹣8.2）]＝1.56，故D选项错误；故选：
D．
【点评】本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，用“先平均，再求差，然后
平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．
7．（4分）不等式组的解集是（）
A．x≤2
【分析】
B．x≥﹣2C．﹣2＜x≤2先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
D．﹣2≤x＜2
【解答】解：
，
由①得，x≥﹣2，
由②得，x＜2，
所以不等式组的解集是﹣2≤x＜2．
故选：
D．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求
不等式组解集的口诀：
同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
8．（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西
40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）
km．
A．30+30B．30+10C．10+30D．30
【分析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30
，
过B作
BE⊥AC
于
E，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：
根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，
过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，
∴AE＝BE＝AB＝30km，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，
∴CE＝BE＝10km，
∴AC＝AE+CE＝30+10，
∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故选：
B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识
比较简单．
9．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交
BO于点
P，则∠P的度数为（
）
A．32°B．31°C．29°D．61°
【分析】连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由圆内接四边形的性质得出
∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝61°，求出∠
DOC＝58°，由直角三角形的性质即可得出结果．
【解答】解：
如图所示：
连接OC、CD，
∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵∠A＝119°，
∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝61°，
∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，
∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；
故选：
A．
【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．
10．（4分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，
从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于5的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：
画树状图如图所示：
∵共有25种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有15种结果，
∴两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为＝；
故选：
C．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：
概率＝所求情况数与总情况数之比．
11．（4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的
长为（）
A．
π
B．π
C．2π
D．3π
【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC＝
等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．
【解答】解：
连接OA、OB，作OC⊥AB于C，
由题意得，OC＝OA，
∴∠OAC＝30°，
∵OA＝OB，
OA，根据
∴∠OBA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴的长＝＝2π，
故选：
C．
【点评】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．
12．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P
为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）
A．2
B．4
C．
D．
【分析】根据中位线定理可得出点点
P的运动轨迹是线段
P1P2，再根据垂线段最短可得
当BP⊥P1P2时，PB
取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知
BP1⊥P1P2，故
BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．
【解答】解：
如图：
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP
由中位线定理可知：
P1P∥CE且P1P＝CF
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°
∴∠DP2P1＝90°
∴∠DP1P2＝45°
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2
∴BP1＝2
∴PB的最小值是2
故选：
D．
【点评】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．
二、填空题（本大题共
6小题，满分
24分，只要求填写最后结果，每小题填对得
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