初二数学最新教案第二节定义与命题 精品.docx

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初二数学最新教案第二节定义与命题精品

第二节定义与命题

数学常识－6.2.1定义与命题

相约苹果园

——数学大师希尔伯特独到的学习方式

江西赣县田村中学刘延炳

1900年巴黎国际数学家大会上，38岁的德国数学家希尔伯特作了题为《数学问题》的演讲，提出了著名的23个数学问题，对20世纪的数学发展产生了深远的影响.

在国际数学家大会上作长篇报告，这是数学家的极高荣誉.事实上，希尔伯特已经是当时数学家的“领头羊”.希尔伯特的成功是与他独到而卓有成效的学习方式分不开的.

18岁时，希尔伯特考入哥尼斯堡大学攻读数学，大学时代他所得到的最大收获，不是听课、泡图书馆，也不是参加讨论班，而是同两位青年数学家闵科夫斯基和胡尔维茨在苹果树下的“数学散步”，这两位散步伙伴与他年龄相仿，但和希尔伯特不同的是，他们都是少年有成，希尔伯特与他们建立了密切友谊，每天下午5点整，三个人都准时相会在校园的苹果树下，进行无拘无束的数学散步，热烈讨论当代数学的重大问题，交流彼此对数学的理解和想法.日后希尔伯特深情而富有诗意地追忆这难忘的数学散步：

“我们的科学——我们对它的热爱超过了一切——它把我们结合在一起，在我们眼里，它就像一座鲜花盛开的园林，花园里有被人踏就的路，空闲时你可以循着它去观花赏景，悠然自得而不用费力，当一旁有个情趣相投的朋友作伴时就更是如此.但是，我们还喜欢去寻找那些深藏不露的小径，去发现更多出人意料的能大饱眼福的景色；当一个人向另一个人指点出这种奇景时，我们共同赞美它，真是其乐无穷.”

获得博士学位后不久，希尔伯特开始了他的长途“数学旅行”，从日本到法国，他拜访了几十位著名数学家，和克莱因、庞加莱等结下了深厚友谊，如饥似渴地学习他们的丰富知识和研究方法，站到了当代数学的最前沿.在这次旅行中，受老一辈数学家埃尔米特的启发，希尔伯特产生了攻克“果尔丹问题”的想法.后来，这成了他数学研究生涯中取得的第一个重大成果.

希尔伯特的这种“游学”方式卓有成效.我国唐代大诗人李白、杜甫不也是在“读万卷书，行万里路”中寻师访友，并在一路上创作出无数脍炙人口的诗篇吗？

第二课时

●课题

§6.2.1定义与命题

（一）

●教学目标

（一）教学知识点

1.定义的意义

2.命题的概念

（二）能力训练要求

1.从具体实例中，探索出定义，并了解定义在现实生活中的重要性.

2.从具体实例中，了解命题的概念，并会区分命题.

（三）情感与价值观要求

通过从具体例子中提炼数学概念，使学生体会数学与实践的联系.

●教学重点

命题的概念

●教学难点

命题的概念的理解

●教学方法

引导发现法

●教具准备

投影片一张

第一张：

做一做（记作投影片§6.2.1A）

电脑制作：

P177~178的实例.

●教学过程

Ⅰ.巧设现实情境，引入新课

［师］随着时代的发展，电脑逐渐走进我们的生活，上过网或懂电脑的同学都知道什么是“黑客”.下面我们来看一段对话（电脑演示P177）

小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.

小亮说：

……

小刚说：

“是的，现在因特网广泛运用于我们的生活中，给我们带来了方便，但……”

小亮说：

“……”

小刚说：

“……”

小亮说：

“哈！

，这个黑客终于被逮住了.”

……

坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄议论着：

一人说：

“这黑客是个小偷吧？

”

另一人说：

“可能是喜欢穿黑衣服的贼.”

……

一人说：

“那因特网肯定是一张很大的网.”

另一人说：

“估计可能是英国造的特殊的网.”

……

（学生听后，大笑）

［师］同学们为什么笑呢？

［生甲］旁边那两个人的概念不清.

［生乙］“黑客”“因特网”等都是电脑中的专用名词.

……

［师］同学们说得都很好.由此可知：

人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行.为此，我们需要给出它们的定义.

这节课我们就要研究：

定义与命题

Ⅱ.讲授新课

［师］在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定义（definition）.

如：

“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国的公民”是“中华人民共和国公民”的定义.

大家还能举出一些例子吗？

［生甲］“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义.

［生乙］“在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程”是“一元一次方程”的定义.

［生丙］“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是“平行四边形”的定义.

［生丁］“角是由两条具有公共端点的射线组成的图形”是“角”的定义.

……

［师］同学们举出了这么多例子.说明定义就是对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定.

接下来，我们来做一做（出示投影片§6.2.1A）

如图，某地区境内有一条大河，大河的水流入许多小河中，图中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K处均有一个化工厂，如果它们向河中排放污水，下游河流便会受到污染.

图6－6

如果B处工厂排放污水，那么__________处便会受到污染；

如果C处受到污染，那么__________处便受到污染；

如果E处受到污染，那么__________处便受到污染；

……

如果环保人员在h处测得水质受到污染，那么你认为哪个工厂排放了污水？

你是怎么想的？

与同伴交流.

［生甲］如果B处工厂排放污水，那么a、b、c、d处便会受到污染.

［生乙］如果B处工厂排放污水，那么e、f、g处也会受到污染的.

［生丙］如果C处受到污染，那么a、b、c处便受到污染.

［生丁］如果C处受到污染，那么d处也会受到污染的.

［生戊］如果E处受到污染，那么a、b处便会受到污染.

［生己］如果h处受到污染，我认为是A处的那个工厂或B处的那个工厂排放了污水.因为A处工厂的水向下游排放，B处工厂的污水也向下游排放.

……

［师］很好.同学们在假设的前提条件下，对某一处受到污染作出了判断.像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题.

即：

命题是判断一件事情的句子.如：

熊猫没有翅膀.

对顶角相等.

大家能举出这样的例子吗？

［生甲］两直线平行，内错角相等.

［生乙］无论n为任意的自然数，式子n2－n+11的值都是质数.

［生丙］内错角相等.

［生丁］任意一个三角形都有一个直角.

［生戊］如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

［生己］全等三角形的对应角相等.

……

［师］很好.大家举出许多例子，说明命题就是肯定一个事物是什么或者不是什么，不能同时既否定又肯定，如：

你喜欢数学吗？

作线段AB=a.

平行用符号“∥”表示.

这些句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它们就不是命题.

一般情况下：

疑问句不是命题.图形的作法不是命题.

接下来我们做练习来熟悉掌握命题的概念.

Ⅲ.课堂练习

（一）课本P180随堂练习1、2.

1.你能列举出一些命题吗？

答案：

能.举例略.

2.举出一些不是命题的语句.

答案：

如：

①画线段AB=3cm.

②两条直线相交，有几个交点？

③等于同一个角的两个角相等吗？

④在射线OA上，任取两点B、C.等等.

（二）看课本P177~180，然后小结.

Ⅳ.课时小结

本节课我们通过具体实例，说明了定义在生活中的重要性.在具体实例中，了解了命题的概念.

命题：

判断一件事情的句子.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P180习题6.21、2

（二）1.预习内容P181~185

2.预习提纲

（1）命题的组成是什么？

（2）命题的分类.

（3）公理、定理、证明的定义.

Ⅵ.活动与探究

1.现有正方形纸若干：

假设正方形纸面积为1，你会折满足下列条件的正方形吗？

（1）折面积为

的正方形

（2）折面积为

的正方形

（3）折面积为

的正方形

（4）折面积为

的正方形

（5）折面积为

的正方形

［过程］让学生在折纸过程中，体会数学的快乐、灵活，从而培养他们的动手、动脑能力.

［结果］解：

（1）折面积为

的正方形

方法：

如图①

①将正方形两次对折，得到各边中点E、F、G、H.

②连HE、EF、FG和GH.

则正方形EFGH即为所求.

图6－7

注：

图②、③的方法可折得面积为

、

的正方形.

（2）折面积为

的正方形.

方法：

如图④

①将正方形对折，得折痕EF.

②将BC折至BG，使G在EF上，得折痕BH，则以CH为边长的正方形即为所求.

证明：

易知△GBC为正三角形，∠HBC=30°.

CH=BCtan30°=

所以S正方形=CH2=

.

图6－8

（3）折面积为

的正方形.

方法：

如图⑤

①将正方形两次对折，得各边中点E、F、G、H.

②以AF、HC、ED和BG为折痕，交点为O、P、Q、R.

则正方形OPQR即为所求.

证明：

易证：

AF=

.

又△ABF∽△APB.

所以

即

则：

AP=

OP=

故：

S正方形=OP2=

（4）折面积为

的正方形

方法：

如图⑥

①先参照

（2）中折法，折出CE=

②取CE中点F，再折EG=EF.

③取BC中点M，折出MN⊥BG，N为折痕BG与MN的交点，则以BN为边长的正方形即为所求.

证明：

∵EG=EF=FC=

∴CG=

，BG=

由△BNM∽△BCG.得

.

即：

∴BN=

S正方形=BN2=

图6－9

（5）折面积为

的正方形

方法：

如图⑦.

①将正方形对折，得折痕EF.

②以AC、BE为折痕，交点为P.

③过点P折出平行于AD的折痕MN.

则以AM为边长的正方形即为所求.

证明：

由△PAE∽△PCB.得

所以AM=

S正方形=AM2=

●板书设计

§6.2.1定义与命题

一、定义

二、做一做

三、命题：

判断一件事情的句子

四、课堂练习

五、课时小结

六、课后作业

第三课时

●课题

§6.2.2定义与命题

（二）

●教学目标

（一）教学知识点

1.命题的组成：

条件和结论.

2.命题的真假.

3.了解数学史.

（二）能力训练要求

1.能够分清命题的题设和结论.会把命题改写成“如果……，那么……”的形式；能判断命题的真假.

2.通过举例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法.

3.通过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值.

（三）情感与价值观要求

1.通过举反例的方法来判断一个命题是假命题，说明任何事物都是正反两方面的对立统一体.

2.通过了解数学知识，拓展学生的视野，从而激发学生学习的兴趣.

●教学重点

找出命题的条件（题设）和结论.

●教学难点

找出命题的条件和结论.

●教学方法

讲练相结合法.

●教具准备

投影片四张

第一张：

想一想（记作投影片§6.2.2A）

第二张：

做一做（记作投影片§6.2.2B）

第三张：

想一想（记作投影片§6.2.2C）

第四张：

公理（记作投影片§6.2.2D）

●教学过程

Ⅰ.巧设现实情境，引入课题

［师］上节课我们研究了命题，那么什么叫命题呢？

［生］判断一件事情的句子，叫做命题.

［师］好.下面大家来想一想：

（出示投影片§6.2.2A）

观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？

（1）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等.

（2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形.

（3）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等.

（4）如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是矩形.

（5）如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形.

［师］大家观察后，分组讨论.

［生甲］这五个命题都是用“如果……，那么……”的形式叙述的.

［生乙］每个命题都是由已知得到结论.

［生丙］这五个命题的每个命题都有条件和结论.

［师］很好.这节课我们继续来研究命题.

Ⅱ.讲授新课

［师］大家刚才观察到上面的五个命题中，每个命题都有条件（condition）和结论（conclusion）两部分组成.

条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.

一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.

如：

上面的命题

（1）中，如果引出的部分“两个三角形的三条边对应相等”是条件，那么引出的部分“这两个三角形全等”是结论.

有些命题没有写成“如果……，那么……”的形式，题设和结论不明显.如：

“同角的余角相等”，对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……”的形式.

如：

“同角的余角相等”可以写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”.

注意：

命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述，命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述.

下面我们来做一做（出示投影片§6.2.2B）

1.下列各命题的条件是什么？

结论是什么？

（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；

（2）如果a>b,b>c,那么a=c;

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；

（4）菱形的四条边都相等；

（5）全等三角形的面积相等.

［生甲］第一个命题的条件是：

两个角相等，结论是：

它们是对顶角.

［生乙］第二个命题的条件是：

a>b,b>c,结论是：

a=c.

［生丙］第三个命题的条件是：

在两个三角形中，有两角和其中一角的对边对应相等.结论是：

这两个三角形全等.

［生丁］第四个命题的条件是：

菱形的四条边.结论是：

都相等.

［生戊］丁同学说得不对.这个命题可改写为：

如果一个四边形是菱形，那么这个四边形的四条边都相等.显然，这个命题的条件是：

一个四边形是菱形.结论是：

这个四边形的四条边都相等.

［生己］第五个命题可改写为：

如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等.则这个命题的题设是：

两个三角形全等.结论是：

这两个三角形的面积相等.

［师］同学们分析得很好.能够经过分析，准确地找出命题的条件和结论.接下来我们来思考（出示投影片§6.2.2B）

2.上述命题中哪些是正确的？

哪些是不正确的？

你怎么知道它们是不正确的？

［师］大家思考后，来分组讨论.

［生甲］第三个、第四个、第五个命题是正确的.第一个、第二个命题是不正确的.

图6－10

［生乙］我们讨论的结果是与甲同学的一样.如图6－10，∠1=∠2,从图形中可知∠1与∠2不是对顶角.所以第一个命题：

如果两个角相等，那么它们是对顶角是错误的.

［生丙］第二个命题中的a取6，b取3，c取2，这样可知：

a与c是不相等的.所以第二个命题是不正确的.

［师］很好.同学们不仅能辨别命题的正确与否，还能举例说明命题的错误.真棒！

我们把正确的命题称为真命题（truestatement），不正确的命题称为假命题（falsestatement）.

由大家刚才分析可以知道：

要说明一个命题是一个假命题，通常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论.这种例子称为反例（counterexample）.

注意：

对于假命题并不要求，在题设成立时，结论一定错误.事实上，只要你不能保证结论一定成立，这个命题就是假命题了.因此，要说明一个命题是假命题，只要举出一个“反例”就可以了.

那一个正确的命题如何证实呢？

大家来想一想：

（出示投影片§6.2.2C）

如何证实一个命题是真命题呢？

［生甲］用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法.

［生乙］这些方法往往并不可靠.

［生丙］能不能根据已经知道的真命题证实呢？

［生丁］那已经知道的真命题又是如何证实的？

［生戊］哦……那可怎么办呢？

……

［师］其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题，公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（Euclid,公元前300前后）编写了一本书，书名叫《原本》（Elements），为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：

挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据.其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理（axiom）.除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明（proof）.经过证明的真命题称为定理（theorem）,而证明所需的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面.

《原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍像《原本》这样编排.因此，《原本》是一部具有划时代意义的著作.

［生］老师，我知道了，除公理、定义外，其他的真命题必须通过证明才能证实.

［师］对，我们这套教材有如下命题作为公理：

（出示投影片§6.2.2D）

1.两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.

2.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.

3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.

4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.

5.三边对应相等的两个三角形全等.

6.全等三角形的对应边相等，对应角相等.

［师］同学们来朗读一次.

［师］好.除这些以外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理.

在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替.如：

如果a=b,b=c,那么，a=c,这一性质也看做公理，称为“等量代换”.

注意：

（1）公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题.

（2）公理可以作为判定其他命题真假的根据.

好，下面我们通过“读一读”来进一步了解《原本》这套书，进而了解数学史.

Ⅲ.课堂练习

1.课本P185读一读

2.看课本P181~185，然后小结.

Ⅳ.课时小结

本节课我们主要研究了命题的组成及真假.知道任何一个命题都是由条件和结论两部分组成.命题分为真命题和假命题.

在辨别真假命题时.注意：

假命题只需举一个反例即可.而真命题除公理和性质外，必须通过推理得证.

大家要会灵活运用本节课谈到的公理来证明一些题.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P187习题6.31、2

（二）1.预习内容P188~190

2.预习提纲

（1）平行线的判定方法的证明

（2）如何进行推理

Ⅵ.活动与探究

将一个命题的条件与结论交换得到一个新命题，我们称这个命题为原命题的逆命题，请写出下列命题的逆命题，并判断是真命题还是假命题.

1.凡直角都相等.

2.对顶角相等.

3.两直线平行，同位角相等.

4.如果两数中有一个是正数，那么这两个数之和是正数.

［过程］让学生充分考虑，使他们能分清命题的题设和结论.写出逆命题的关键是分清原命题的题设和结论，而判别真假则依赖于对知识的掌握.

［结果］解：

（1）凡相等的角都是直.假命题

（2）相等的角是对顶角.假命题

（3）同位角相等，两直线平行.真命题

（4）如果两个数之和是正数，那么这两个数中必须有一个正数.真命题

●板书设计

§6.2.2定义与命题

一、命题的组成

条件：

已知事项

结论：

由已知事项推出的事项

一般地：

命题常写成：

“如果……，那么……”

二、做一做

三、命题的真假

四、公理五、读一读

六、课时小结七、课后作业

●备课资料

一、参考例题

［例1］指出下列命题的条件和结论.

（1）若a>0,b>0,则ab>0.

（2）如果a∥b,b∥c,那么a∥c.

（3）同角的补角相等.

（4）内错角相等，两直线平行.

分析：

（1）题中的“若”就相当于“如果”“则”相当于“那么”.条件和结论即可指出.

（2）题较容易.

（3）题应改写为：

“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”.

（4）题也可改写为：

如果内错角相等，那么两直线平行.

解：

（1）条件：

a>0,b>0.

结论：

ab>0

（2）条件：

a∥b,b∥c

结论：

a∥c

（3）条件：

两个角是同一个角的补角

结论：

这两个角相等

（4）条件：

内错角相等

结论：

两直线平行

［例2］举出反例说明下列命题是假命题.

（1）大于90°的角是钝角；

（2）如果一个角的两条边分别平行于另一个角的两条边，那么这两个角相等.

分析：

要说明一个命题是假命题，只要举出反例就可以，而要说明一个命题是真命题，必须把所有的情况加以验证.

解：

（1）180°的角大于90°,但180°不是钝角，而是平角.

图6－10

（2）如图6－10所示，∠AOB与∠CO′D的两边OA∥O′D，OB∥O′C,但这两个角不相等.

二、参考练习

1.指出下列命题的条件和结论，并判断命题的真假.

（1）同垂直于一条直线的两条直线平行.

（2）同位角相等.

（3）若a2=b2,则a=b.

（4）两条直线相交只有一个交点.

答案：

（1）条件：

两条直线都和第三条直线垂直.

结论：

这两条直线平行.真命题

（2）条件：

两个角是同位角.

结论：

这两个角相等.假命题

（3）条件：

a2=b2

结论：

a=b假命题

（4）条件：

两条直线相交

结论：

这两条直线只有一个交点.真命题

第六章证明

（一）

1.你能肯定吗2.定义与命题

作业导航

了解定义、命题及真命题、假命题的意义，了解命题的组成，能确定命题的条件和结论；了解公理、定理及证明的意义.

一、选择题

1.下列语句中，是命题的是（）

A.两点确定一条直线吗？

B.在线段AB上任取一点

C.作∠A的平分线AMD.两个锐角的和大于直角

2.下列命题中，属于定义的是（）

A.两点确定一条直线

B.同角或等角的余角相等

C.两直线平行，内错角相等

D.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度

3.下列命题中，是真命题的是（）

A.内错角相等

B.同位角相等，两直线平行

C.互补的两角必有一条公共边

D.一个角的补角大于这个角

4.下列命题中，假命题是（）

A.垂直于同一条直线的两直线平行

B.已知直线a、b、c，若a⊥b，a∥c，则b⊥c

C.互补的角是邻补角

D.邻补角是互补的角

5.命题“对顶角相等”是（）

A.角的定义B.假命题

C.公理D.定理

二、填空题

6.________________________________叫做命题，每个命题都是由________和________两部分组成.

7.命题“两直线平行，内错角相等”中，“两直线平行”是命题的________，“内错角相等”是命题的________.

8.命题“直角都相等”的条件是____________________，结论是____________________.

9.“互补的两个角一定是一个锐角一个钝角”是________命题，可举出反例：

________________________________________.

10.________________________________称为公理，________________________称为定理，________________________________称为证明.

三、解答题

11.指出下列命题的题设和结论：

（1）若a∥b，b∥c，则a∥c.

（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.

（3）同一个角的补角相等.

12.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：

（1）平行于同一直线的两条直线平行.

（2）同角的余角相等.

（3）绝对值相等的两个数一定相等.

13.