高等数学第三版上册答案.docx
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高等数学第三版上册答案
高等数学第三版上册答案
【篇一:
中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第3章课后习题详解】
t>习题3-1
★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件?
如满足,请求出满足定理的数值
?
。
(1)
f(x)?
2x2?
x?
3,[?
1,1.5];
(2)
f(x)?
x?
x,[0,3]。
知识点:
罗尔中值定理。
2
解:
(1)∵f(x)?
2x?
x?
3在[?
1,1.5]上连续,在(?
1,1.5)内可导,且f(?
1)?
f(1.5)?
0,
∴
(2)∵∴
1
?
(?
1,1.5)即为所求。
4
f(x)?
x?
x在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)?
f(3)?
0,f(x)?
x?
x在[0,3]上满足罗尔定理的条件。
令
y?
4x3?
5x2?
x?
2在区间[0,1]上的正确性。
f
(1)?
f(0)
1?
0
3
2
知识点:
拉格朗日中值定理。
可验证定理的正确性。
1]连续,在(0,1)内可导,∴y?
4x?
5x?
x?
2在解:
∵y?
f(x)?
4x?
5x?
x?
2在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件。
又区间[0,
f?
(?
)?
32
f
(1)?
?
2,f(0)?
?
2,f?
(x)?
12x2?
10x?
1,
∴要使
f
(1)?
f(0)5?
0,只要:
?
?
(0,1),
1?
012
∴?
?
?
1?
012
★3.已知函数
。
解:
要使
的?
。
f
(2)?
f
(1)3
2?
1★★4.试证明对函数
总是位于区间的正中间。
证明:
不妨设所讨论的区间为[a,b],则函数y?
px2?
qx?
r在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,从
而有
f(b)?
f(a)(pb2?
qb?
r)?
(pa2?
qa?
r)
b?
ab?
a
b?
a
,结论成立。
2
★5.函数
f(x)?
x3与g(x)?
x2?
1在区间[1,2]上是否满足柯西定理的所有条件?
如满足,请求出满
知识点:
柯西中值定理。
思路:
根据柯西中值定理的条件和结论,求解方程
便为所求。
解:
∵f(x)?
x3及g(x)?
x2?
1在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且在(1,2)内的每一点处有
g?
(x)?
2x?
0,所以满足柯西中值定理的条件。
要使
?
14
即为满足定理的数值。
★★★6.设
f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f
(1)?
0。
求证:
/
结论出发,变形为
f/(x)x?
f(x),然后再利用罗尔中值定理,便得结论。
构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常
用的方法。
证明:
构造辅助函数f(x)?
xf(x),f?
(x)?
f(x)?
xf?
(x)
根据题意f(x)
?
xf(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f
(1)?
1?
f
(1)?
0,
f(x)
,只要x
注:
辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推,如:
要使f?
(x)?
?
f?
(x)1[xf(x)]?
?
?
?
[lnf(x)]?
?
?
[lnx]?
?
[lnxf(x)]?
?
0?
?
0?
[xf(x)]?
?
0f(x)xxf(x)
?
xf(x)
∴只要设辅助函数f(x)
★★7.若函数
f(x)在(a,b)内具有二阶导函数,且f(x1)?
f(x2)?
f(x3)
知识点:
罗尔中值定理的应用。
思路:
连续两次使用罗尔中值定理。
证明:
∵f(x)在(a,b)内具有二阶导函数,∴f(x)在[x1,x2]、[x2,x3]内连续,
在(x1,x2)、(x2,x3)内可导,又
f(x1)?
f(x2)?
f(x3),
?
(x2,x3),
★★8.若4次方程
a0x4?
a1x3?
a2x2?
a3x?
a4?
0有4个不同的实根,证明:
4a0x3?
3a1x2?
2a2x?
a3?
0
的所有根皆为实根。
知识点:
罗尔中值定理的应用。
思路:
讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理。
证明:
令f(x)?
a0x4?
a1x3?
a2x2?
a3x?
a4
则由题意,∵又
f(x)有4个不同的实数零点,分别设为x1,x2,x3,x4,
f(x)在[x1,x2]、[x2,x3]、[x3,x4]上连续,在(x1,x2)、(x2,x3)、(x3,x4)上可导,
f(x1)?
f(x2)?
f(x3)?
f(x4)?
0,
三次方程最多有3个实根,从而结论成立。
★★★9.证明:
方程
x5?
x?
1?
0只有一个正根。
知识点:
零点定理和罗尔定理的应用。
思路:
讨论某些方程根的唯一性,可利用反证法,结合零点定理和罗尔定理得出结论。
零点定理往往用来
讨论函数的零点情况;罗尔定理往往用来讨论导函数的零点情况。
解:
令f(x)?
x5?
x?
1,∵f(x)在[0,1]上连续,且f
(1)?
1?
0,f(0)?
?
1?
0,
5
5
?
x?
1?
0只有一个正根。
f(x)?
(x?
1)(x?
2)(x?
3)(x?
4)的导数,说明方程f?
(x)?
0有几个实根,
★★10.不用求出函数
并指出它们所在的区间。
知识点:
罗尔中值定理的应用。
思路:
讨论导函数的零点,可考虑利用罗尔中值定理。
解:
∵f(x)?
(x?
1)(x?
2)(x?
3)(x?
4)在[1,2]、[2,3]、[3,4]上连续,
f
(1)?
f
(2)?
f(3)?
f(4)?
0,
f?
(x)?
0为三次方程,至多有三个实根,
又方程∴
★★★11.证明下列不等式:
(1)
arctana?
arctanb?
a?
b;
(2)当x
?
1时,ex?
ex;
。
(3)设x
11
?
0,证明ln(1?
x)?
x;(4)当x?
0时,ln(1?
)?
x1?
x
知识点:
利用拉格朗日中值定理。
(或
f(b)?
f(a)b?
a
证明:
(1)令f(x)?
arctanx,∵f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,
【篇二:
同济大学第3版《高等数学》下册答案】
8-1
练习8-2
【篇三:
高等数学复旦大学出版第三版课后答案习题全1(陈策提供)】
数是否相等,为什么
?
(1)f(x)?
(3)f(x)?
g(x)?
x;
(2)y?
sin(3x?
1),u?
sin(3t?
1);x?
1x?
1
22
2
g(x)?
x?
1.
解:
(1)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集r;
由两函数相等.
(2)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集r,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.
(3)不相等.
因为函数f(x)的定义域是{xx?
r,x?
1},而函数g(x)的定义域是实数集r,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.2.求下列函数的定义域
(1)y?
(3)y?
arctanxx?
1
2
?
x知两函数的对应法则也相同;所以
1x
;
(2)y?
1lg(1?
x)
;
;(4)y?
arccos(2sinx).
解:
(1)要使函数有意义,必须
?
4?
x?
0?
x?
4
即?
?
x?
0x?
0?
?
所以函数的定义域是(?
?
0)?
(0,4].
(2)要使函数有意义,必须
?
x?
3?
0
?
?
lg(1?
x)?
0即?
1?
x?
0?
?
x?
?
3?
?
x?
0?
x?
1?
所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).
(3)要使函数有意义,必须
2
x?
1?
0即x?
?
1
所以函数的定义域是(?
?
?
1)?
(?
1,1)?
(1,?
?
).
(4)要使函数有意义,必须
?
1?
2sinx?
1即?
12
?
sinx?
12
即?
所以函数的定义域是[?
1?
sin,?
3.求函数y?
?
x
?
0,?
x?
0x?
0
的定义域与值域.
解:
由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当x?
0时,时,sin
1x
1x
可以是不为零的任意实数,此
可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1].
1?
x1?
x
4.没f(x)?
求f(0),f(?
x),f().
x
1
解:
f(0)?
1?
01?
0
?
1,f(?
x)?
1?
(?
x)1?
(?
x)
?
1?
x
1,f()?
x1?
x
?
x?
1.
1x?
11?
x
1?
1
5.设f(x)?
?
?
1,?
x?
1,
?
1?
x?
00?
x?
2
求f(x?
1).
?
1,
解:
f(x?
1)?
?
?
(x?
1)?
1,
x
?
1?
x?
1?
00?
x?
1?
2
1,0?
x?
1?
?
?
.
x,1?
x?
3?
6.设f(x)?
2,g(x)?
xlnx,求f(g(x)),g(f(x)),f(f(x))和g(g(x)).解:
f(g(x))?
2
g(x)
?
2
xlnx
x
x
x
g(f(x))?
f(x)lnf(x)?
2?
ln2?
(xln2)?
2,
f(f(x))?
2
f(x)
?
2,
2
x
g(g(x))?
g(x)lng(x)?
xlnxln(xlnx).
3
7.证明:
f(x)?
2x?
1和g(x)?
.
3
证:
由y?
2x?
1解得x?
故函数f(x)?
2x3?
1的反函数是y?
x?
r),
这与g(x)?
是同一个函
数,所以f(x)?
2x3?
1和g(x)?
.
8.求下列函数的反函数及其定义域:
(1)y?
1?
x1?
x
2x?
5
3
(3)y?
3
解:
(1)由y?
1?
x1?
x
解得x?
1?
y1?
y
1?
x1?
x
所以函数y?
1?
x1?
x
的反函数为y?
(x?
?
1).
(2)由y?
ln(x?
2)?
1得x?
ey?
1?
2,
所以,函数y?
ln(x?
2)?
1的反函数为y?
ex?
1?
2(x?
r).
(3)由y?
32x?
5解得x?
12
(log3y?
5)
12
(log3x?
5)(x?
0).
所以,函数y?
32x?
5的反函数为y?
(4)由y?
1?
cos3x得cosx?
故x?
arccos.
3
又由?
1?
cosx?
1得0?
1?
cosx?
2,
数为y?
arccos
3
(0?
x?
2).
9.判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:
(1)y?
x1?
x
2
;
(2)y?
x?
lnx
x1?
x
2
解:
(1)函数的定义域为(-∞,+∞),当x?
0时,有故?
x?
(?
?
?
?
),有y?
又因为函数y?
x1?
x
2
?
0,当x?
0时,有
x1?
x
2
?
x2x
?
12
12
.即函数y?
x1?
x
2
有上界.
为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函
x1?
x
2
数必有下界,因而函数y?
有界.
又由y1?
y2?
x11?
x
21
?
x21?
x
22
?
(x1?
x2)(1?
x1x2)(1?
x)(1?
x)
21
22
知,当x1?
x2且x1x2?
1时,y1?
y2,而
当x1?
x2且x1x2?
1时,y1?
y2.故函数y?
x1?
x
2
在定义域内不单调.
(2)函数的定义域为(0,+∞),
?
?
m?
0,?
x1?
0且x1?
m;?
x2?
e
m
?
0,使lnx2?
m.
取x0?
max{x1,x2},则有x0?
lnx0?
x1?
lnx2?
2m?
m,所以函数y?
x?
lnx在定义域内是无界的.又当0?
x1?
x2时,有x1?
x2?
0,lnx1?
lnx2?
0
故y1?
y2?
(x1?
lnx1)?
(x2?
lnx2)?
(x1?
x2)?
(lnx1?
lnx2)?
0.即当0?
x1?
x2时,恒有y1?
y2,所以函数y?
x?
lnx在(0,?
?
)内单调递增.10.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)?
(2)y?
e
2x
?
e
?
2x
?
sinx.
解
:
(1)?
f(?
x)?
?
f(x)?
?
?
?
2x
?
f(x)
.
2x
(2)?
f(?
x)?
e
?
函数y?
e
?
e?
sin(?
x)?
e
?
2x
?
e
2x
?
sinx?
?
(e
2x
?
e
?
2x
?
sinx)?
?
f(x)
2x
?
e
?
2x
?
sinx是奇函数.
11.设f(x)定义在(-∞,+∞)上,证明:
(1)f(x)?
f(?
x)为偶函数;
(2)f(x)?
f(?
x)为奇函数.证:
(1)设f(x)?
f(x)?
f(?
x),则?
x?
(?
?
?
?
),有f(?
x)?
f(?
x)?
f(x)?
f(x)故f(x)?
f(?
x)为偶函数.
(2)设g(x)?
f(x)?
f(?
x),则?
x?
(?
?
?
?
),
有g(?
x)?
f(?
x)?
f(?
x)?
?
[f(x)?
f(?
x)]?
?
g(x)
故f(x)?
f(?
x)为奇函数.
12.某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半).解:
设年销售批数为x,则准备费为10x;
又每批有产品
10x
6
3
件,库存数为
10
6
2x
件,库存费为
10
6
2x
?
0.05元.
设总费用为,则y?
10x?
3
10?
0.05
2x
6
.
13.邮局规定国内的平信,每20g付邮资0.80元,不足20g按20g计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y与重量x的关系.解:
当x能被20整除,即[
x20]?
x20x20
时,邮资y?
x20
x20
?
0.80?
x25
;
当x不能被20整除时,即[]?
时,由题意知邮资y?
?
x?
?
0.80.?
1?
?
?
20?
?
x
?
25,?
综上所述有y?
?
?
?
x?
1?
?
0.80,?
?
?
?
?
?
20
0?
x?
2000且0?
x?
2000且
x?
x?
?
;?
?
20?
20?
x?
x?
?
.?
?
20?
?
20
其中
xx?
x?
?
x?
?
1的最大整数.,分别表示不超过,?
1?
?
?
?
2020?
20?
?
20?
.
图1-1
解:
s0?
12
h(ad?
bc)?
12
h(2hcot?
?
bc?
bc)?
h(bc?
hcot?
)
从而bc?
s0h
?
hcot?
.
l?
ab?
bc?
cd(ab?
cd)?
2
hsin?
?
?
bc?
2
hsin?
s0h
?
s0h
?
hcot?
?
?
s0h
2?
cos?
sin?
h?
?
2?
cos40sin40
?
h