基于层次分析法的模糊综合评价模型.docx

资源描述

基于层次分析法的模糊综合评价模型.docx

《基于层次分析法的模糊综合评价模型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《基于层次分析法的模糊综合评价模型.docx（43页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

基于层次分析法的模糊综合评价模型.docx

基于层次分析法的模糊综合评价模型

2016 江西财经大学数学建模竞赛

A 题

城市交通模型分析

参赛队员:

黄汉秦、乐晨阳、金霞

参赛队编号：

2016018

2016 年 5 月 20 日~5 月 25 日

2016 江西财经大学数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了江西财经大学数学建模竞赛的竞赛章程。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网

上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的

资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参

考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规

则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从 A/B/C 中选择一项填写）：

我们的参赛队编号为2016018

参赛队员（打印并签名）：

队员 1. 姓名专业班级计算机 141

队员 2. 姓名专业班级计算机 141

队员 3. 姓名专业班级计算机 141

日期：

2016年5 月25日

参

赛

队

员

填

写

参赛队

员姓名

所有数学类与计算机类课程成绩

（意愿参加全国竞赛者填写）

是否

选修

建模

课程

是否愿

参加全

国竞赛

在校获

奖项目

黄汉秦

是

否

金霞

是

否

乐晨阳

是

否

阅

卷

填

写，

参

赛

者

不

得

填

写

评分（百分制）

评阅人

最终得分

小组评价负责人

阅卷

专家

评语

备注

1、是否选修数学建模：

指本学期是否选修了数学建模课程

2、是否有意愿参加全国竞赛：

指参加今年的全国大学生数学建模竞赛，一经选定，

不得退赛，否则将建议学生所在学院给予处分。

培训时间：

2016 年 8 月 5 日开始。

2016 江西财经大学数学建模竞赛

编号和阅卷专用页

参赛队编号：

2016018

江西财经大学数学建模竞赛组委会

2016 年 5 月 15 日制定

城市交通模型分析

摘要

随着国民经济的高速发展和城市化进程的加快，我国机动车保有量及道路交通流

量急剧增加，交通出行结构发生了根本变化，城市道路交通拥挤堵塞问题已成为制约

经济发展、降低人民生活质量、削弱经济活力的瓶颈之一。

本篇论文针对道路拥挤的

问题采用层次分析法进行数学建模分析，讨论拥堵的深层次问题及解决方案。

首先建立绩效评价指标的层次结构模型，确定了目标层，准则层（一级指标），子

准则层（二级指标）。

其次，建立评价集V=（优，良，中，差）。

对于目标层下每个一级评价指标下相对

于第m个评价等级的隶属程度由专家的百分数u评判给出，即U＝[0,100]应用模糊统计

建立它们的隶属函数A（u），B（u），C（u），D（u），最后得出目标层的评价矩阵

Ri，（i=1,2,3,4,5）。

利用A,B两城相互比较法，根据实际数据建立二级指标对于相应

一级指标的模糊判断矩阵 P i（i=1,2,3,4,5）

然后，我们经过 N 次试验调查，明确了各层元素相对于上层指标的重要性排序，

构造模糊判断矩阵 P ，利用公式

uij =

uij

k=1

j=1

wi =

j=1

O = W

R = W W 1 R1,W 2 R2 ,W 3 R3,W 4 R4 ,W 5 R5]计算出权重值，经过一致性检验公式

检验后，均有 CR < 0.1 ，由此得出各层次的权向量W = （W1,W2 ,K Wn ）。

然后后，

CR =

给出建立绩效评价模型（其中 O 是评价结果向量），应用模糊数学中最大隶属度原则，

对被评价城市交通的绩效进行分级评价。

接着在改进方案中，我们具体以交叉口为中心建立模型，其中包括道路长度、宽

度、车辆平均长度、车速等等考虑因素。

通过车辆排队长度可以间接判断交通拥堵情

况，不需要测量车速、时间等因素而浪费的人力物力和财力，有效的提高了工作成本

和效率。

为管理城市交通要道提供了良好的模型和依据。

【关键字】交通拥堵层次分析法模糊综合评判绩效评价隶属度

一、问题重述

随着我国经济社会持续快速发展，群众购车刚性需求旺盛，汽车保有量继续呈快

速增长趋势，2015 年新注册登记的汽车达 2385 万辆，保有量净增 1781 万辆，均为历

史最高水平。

汽车占机动车的比率迅速提高，近五年汽车占机动车比率从 47.06%提高

到 61.82%，群众机动化出行方式经历了从摩托车到汽车的转变，交通出行结构发生了

根本性变化。

2015 年，小型载客汽车达 1.36 亿辆，其中，以个人名义登记的小型载客汽车（私

家车）达到 1.24 亿辆，占小型载客汽车的 91.53%。

与 2014 年相比，私家车增加 1877

万辆，增长 17.77%。

全国有 40 个城市的汽车保有量超过百万辆，北京、成都、深圳、

上海、重庆、天津、苏州、郑州、杭州、广州、西安 11 个城市汽车保有量超过 200 万

辆。

全国平均每百户家庭拥有 31 辆私家车，北京、成都、深圳等大城市每百户家庭拥

有私家车超过 60 辆。

随着城市人口以及城市交通流的增加，城市特别是大城市的交通问题普通成为焦

点问题。

路网不畅、设施不足、交通拥堵等问题越来越突出；行车难、停车难、交通

秩序混乱等问题日益突显，对城市交通管理造成的冲击和压力越来越大。

城市道路交

通拥挤堵塞问题已成为制约经济发展、降低人民生活质量、削弱经济活力的瓶颈之一。

据美国得克萨斯州运输研究所 2006 年底公布的数据显示，被称为“汽车王国”的美国

每年因交通堵塞造成的经济损失高达 1000 亿美元。

2007 年中国社科院数量经济与技术

经济研究所测算，北京市每天因为堵车造成的社会成本达到 4000 万元，每年损失 146

亿元。

对于交通堵塞这个世界性难题，各国政府和民间都在为解决这个问题进行广泛

的研究。

交通拥堵的因素很多，其中一个就是交通管理技术低下。

请你建立模型分析在现

有交通路网架构的条件下，如何提高交通管理技术，改善城市交通。

二、问题分析

在本文中，我们采用层次分析法从车辆因素、道路因素、人为因素、社会因素四

个个方面对城市交通进行综合评估，最终得出一个综合评分。

车辆因素主要从车辆自

身对交通问题影响，包括车流量，车辆运载效率等；道路因素指标目的在于衡量道路

的交通运输能力，以及道路交通标线的设计；人为因素体现人为主观行动对交通的影

响；社会因素从社会现象上分析对交通的影响。

利用 A,B 两城市比较法，通过实际数

据对比计算相似度，构建模糊矩阵得出二级指标权重向量，再利用专家打分法一级指

标权重向量，综合得出应用上述评价体系和评价指标体系，可以对城市交通进行评价，

以判断城市交通的现状，诊断其发展进程中的问题，为城市交通的优化提供决策参考。

考虑到用层次分析法计算各因素权重的过程中专家评分具有主观性，各指标具有

离散性，因而会有误差，所以我们最后用模糊数学的知识对模型进行了优化处理，对

有些变量进行连续化处理，并建立其关于上级指标的隶属函数，进而计算出隶属度，

由此隶属度构成的矩阵，综合各因素的权重列向量，经过矩阵运算，得出技术效益的

综合结果。

由这些因素集的综合结果构成上一层的因素集，再根据上一层的权重分配

方案，采取同样的计算方法，得到最终的综合分数。

三、模型假设

假设一：

我们的模型只列出了 16 项影响城市交通绩效的指标，因为宏观因素及微

观因素，影响因素远远不止这些，我们假设除本文所列项目，其他因素的影响甚微，

可以忽略不计。

假设二：

文中层次分析模型建构过程中涉及到了专家打分，但由于评分专家对所

评方案的评分受个人因素影响，我们假设 5 个专家的打分是客观、公正的,且对指标

无明显偏好。

假设三：

假设受评规划方案均满足城市交通规划方案的优化选择模型的基本要求。

四、符号说明

R1 .................................................................................... 人为因素的评价矩阵

P .................................................................................... 人为因素的模糊判断矩阵

W1 .................................................................................... 人为因素的权向量

R2 .................................................................................. 道路因素的评价矩阵

P ..................................................................................... 道路因素的模糊判断矩阵

W2 ..................................................................................... 道路因素的权向量

..................................................................................... 车辆因素的评价矩阵

P ....................................................................................... 车辆因素的模糊判断矩阵

W3 ...................................................................................... 车辆因素的权向量

R4 ...................................................................................... 社会因素的评价矩阵

....................................................................................... 社会因素的模糊判断矩阵

W4 ....................................................................................... 社会因素的权向量

....................................................................................... 功能特征的评价矩阵

........................................................................................ 功能特征的模糊判断矩阵

....................................................................................... 功能特征的权向量

P ......................................................................................... 总目标的模糊判断矩阵

W ........................................................................................ 总目标的权向量

O ......................................................................................... 评价结果向量

λi ....................................................................................... 权系数

Z ......................................................................................... 综合评价

五、模型建立

5.1数学知识回顾

5.1.1 层次分析法

AHP（Analytic Hierarchy Process）方法[1]，是由 20 世纪 70 年代由美国著名运筹

学学家 T.L.Satty 提出的。

它是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等

层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法。

这一方法的特点，是在

对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次

结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多准则

或无结构特性的复杂决策问题提供了一种简便的决策方法。

定理 1（Perron 定理）：

设 n 阶方阵 A > 0 ，

λmax 为 A 的最大特征根，则：

λmax > 0 ,而且它所对应的特征向量为正向量；

λmax 为 A 的单特征根，且 λmax ≥ 0 ;

λmax 对应的特征向量除差一个常数因子外是唯一的。

定理 2:

n 阶正互反矩阵 A

= （aij ） ⨯n

是一致阵的充要条件是

λmax = n

5.1.2 隶属函数

隶属函数是指:

给定论域 U 上的一个模糊子集 A,对于任意 u∈U,都确定了一个数 A（u）,

0≤μA（u）≤1,那么 A（u）叫做 u 对 A 的隶属程度,A 叫做 A 的隶属函数。

5.1.3 模糊综合评价

模糊综合评价是应用模糊变换原理，考虑与评价对象相关的各种因素，对其所作的

综合评价。

其基本原理是：

（1）根据评价的标准构造多个隶属函数。

（2）通过评测指标在各个隶属函数中对应的程度不同（即隶属度不同），可以形成

一个模糊关系矩阵。

总目标

一级指标

二级指标

人为因素 A1

单线高峰客流量（万人次/小时）A11

居民品均出行耗时（小时）A12

人均城市道路占有量（平方米）A13

道路因素 A2

道路利用率% A21

红绿灯效率% A22

公交站点密度 A23

车辆因素 A3

万人车辆标台数（标台/万人）A31

公交出行数量（辆）A32

主干道平均车速（千米/小时）A33

汽车燃油消耗（元/公里）A34

社会因素 A4

路段空气质量超标率% A41

干道的昼间噪声（百分贝）A42

油耗比 A43

功能特征 B1

降雨量（毫米/年）B11

交通基础设施 B12

日增车辆（辆）B13

（3）构造权重系数矩阵。

（4）将权重系数模糊矩阵和模糊关系矩阵通过模糊运算，最终就可以得到综合指

标对各个评价等级的隶属度矩阵。

通常根据最大隶属度原则，在最后的隶属度矩阵中，

综合指标对哪个评价等级的隶属度更高，那么我们就将其所要评价的目标定为该评价

等级。

5.2 建立层次分析结构模型[2]

利用层次分析法解决问题可分如下三步进行：

第一层：

目标层。

这一层只有一个元素，即交通状况综合评分。

第二层：

准则层。

包括所有为实现目标所涉及的所有中间环节，它们属于一级指

标。

第三层：

子准则层：

由准则层的各个因素构成，受准则层的支配。

子准则层的因

素构成二级指标。

（如下表）

城市交通绩效评价指标

5.3 确定各指标的相对隶属度，建立评价矩阵。

根据一级指标对评价集合V的隶属关系,建立评价矩阵Rn：

⎛ r11

ç M

r12

r22

r32

r p2

M ⎪

⎪

⎭

其中，rpm为第n个一级评价指标下第p个二级评价指标相对于第m个评价等级的隶

属度，通过德尔菲法由专家打分给出。

各专家的评判用百分数表示，并作为论域，即

U＝[0,100]，各项指标的测评分为（优,良,中,差），都是U 上的模糊子集，分别用

（A,B,C,D）表示，应用模糊统计建立它们的隶属函数如下：

0，0≤u＜85

A（u）＝1/2+1/2sinπ/10（u-90），85≤u＜95

1，95≤u＜100

0，0≤u＜75

1/2+1/2sinπ/5（u-77.5），75≤u＜80

B（u）＝1，80≤u＜85

1/2-1/2sinπ/10（u-90），85≤u＜95

0，95≤u≤100

0，0≤u＜60

1/2+1/2sinπ/10（u-65），60≤u＜70

C（u）＝1，70≤u＜75

1/2-1/2 sinπ/5（u-77.5），75≤u＜80

0，80≤u＜100

1， 0≤u＜60

D（u）＝1/2-1/2 sinπ/10（u-65），60≤u＜70

0，70≤u＜100

上述隶属度函数确定的合理性在于，假定 1 个专家对某项指标测评为 87 分，则在

A（U）所属函数中的值为 0.0955，在 B（U）所属函数中的值为 0.9045，在 C（U）所属函数

中的值为 0，在 D（U）所属函数中的值为 0。

与实际中以百分制为计的 87 分为良吻合。

同时，也注意到 87 分也有可能向优的趋势发展。

但不可能是中和差，从所属函数中的

值为 0 可完全得到验证。

上述隶属度函数如图 1。

各专家对每项指标测评。

例如，有5个专家对A11项进行测评分别为

62、73、84、92、53，则：

A（U）＝1/5[A（62）+A（73）+A（84）+A（92）+A（53）]＝0.1588

B（U）＝1/5[B（62）+B（73）+B（84）+B（92）+B（53）]＝0.2412

C（U）＝1/5[C（62）+C（73）+C（84）+C（92）+C（53）]＝0.2191

D（U）＝1/5[D（62）+D（73）+D（84）+D（92）+D（53）]＝0.3809

5.4构造模糊判断矩阵

先构造一级评价指标间两两比较判断矩阵 P；由 n 次调查，就某因素对其相关的

同一层的全部因素的重要性（本文中由于条件所限，我们根据讨论的结果给各个因素的

重要性做了排序）进行两两比较，结果以模糊数定量表示，得模糊判断矩阵 P 。

P = （uij ） ⨯n ，其中 uij 是三角模糊数。

二级指标的模糊判断矩阵分别记为 P1 ，P2 ，P3

，P4，P5 构造方法与 P 的一致。

根据上述各符号的意义得矩阵 P

标度

含义

表示因素 ui 与 u j 比较，具有同等重要性

表示因素 ui 与 u j 比较， ui 比 u j 稍微重要

表示因素 ui 与 u j 比较， ui 比 u j 明显重要

表示因素 ui 与 u j 比较， ui 比 u j 强烈重要

表示因素 ui 与 u j 比较， ui 比 u j 极端重要

2，4，6，8

2，4，6，8 分别表示相邻判断 1 和 3，3 和

5，5 和 7，7 和 9 的中值

倒数

表示因素 ui 与 u j 比较得判断 uij ，则 u j 与 ui 比

较得判断 u ji = 1/ uij

⎛ u11u12Lu1n ⎫

uu22L

ç MMOM⎪

un2L

5.5 确定各评价指标的权重。

5.5.1 一、二级评价指标的权重确定

1. 和积法计算各因素的权重值：

∑ u

（1）将判断矩阵每一列归一化：

uij =

uij

k=1

（i, j = 1, 2,L

n）

j=1

uuvT

（3）对向量W = w1, w2 ,L , wnin

∑ w

j=1

（i, j = 1, 2,L

n）依次所

得到的W = （w1, w2 ,L , wn ）即为所求的特征向量，亦为权重。

2．检验权重的分配是否合理，需要对判断矩阵进行一致性检验，如果一致性不满足

要求，则需要调整判断矩阵直到其达到一致性的要求。

∑wi ；

（1）计算判断矩阵的最大特征根 λmax =

（PW ）

0.00

0.58

0.90

1.12

1.24

1.32

1.41

1.45

（2）检验

CR =

其中 CI =

n -1

（λmax - n），RI 为判断矩阵的平均随机一致性指标。

对于 1～9 阶判断矩阵，RI 取值如下表：

当 CR＜0.10 时，判断矩阵满足一致性，说明权重分配是合理的；

同理，求得各二级评价指标的权重，记为：

W1 ,W2 ,W3 ,W4，W5。

5.6 建立绩效评价模型

依据城市交通绩效影响因素的特点，本文采用二级综合评价模型。

二级综合评价

模型的思想是：

将评价因子集分成若干子集（即城市交通绩效评价指标体系中的两级

结构），对每个二级指标的子集进行评价后，再以各二级指标的评价结果为因子，对

一级指标进行评价。

[

O = W R = W W 1 R1,W 2 R2 ,W 3 R3,W 4 R4 ,W 5 R5]其中，O是评价结果向量。

最后，应用模糊数学中最大隶属度原则，对被评价城市交通的绩效进行分级评价。

六、模型求解

6.1 权重计算法

由于本模型涉及多项数据指标，所以我们采用 A，B 类城市相比较的方式由模糊矩

阵方法得出二级指标的权重。

其中 A 类是交通绩效相对比较高的城市，B 类是交通绩

效有待改进的城市。

最终我们在考虑到功能特征后以接近 A 类城市为最优解。

相似程度 S=A 类指标/（B 类指标—A 类指标）

见附表 6—1

（一）人为因素的模糊判断矩阵 P

P =

⎛ ⎫

ç 1 2 4 ⎪

ç ⎪

1 1

⎝ ⎭

1.将判断矩阵每一列归一化得到归一化后的判断矩阵：

⎛⎫

ç⎪

1/ 212

ç 1 + 1/ 2 +

展开阅读全文