《成才之路》高一数学人教A版必修2能力强化提升233 直线与平面垂直的性质.docx
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《成才之路》高一数学人教A版必修2能力强化提升233直线与平面垂直的性质
一、选择题
1．如果直线l与平面α不垂直，那么在平面α内（ ）
A．不存在与l垂直的直线
B．存在一条与l垂直的直线
C．存在无数条与l垂直的直线
D．任意一条都与l垂直
[答案] C
[解析] 若l⊂α，显然在α内存在无数条直线与l垂直；若l∥α，过l作平面β∩α＝l′，则l∥l′，
∵在α内存在无数条直线与l′垂直，从而在α内存在无数条直线与l垂直；
若l与α斜交，设交点为A，在l上任取一点P，
过P作PQ⊥α，垂足为Q，在α内存在无数条直线与AQ垂直，从而存在无数条直线与直线PA（即l）垂直．
2．过一点和已知平面垂直的直线条数为（ ）
A．1条 B．2条
C．无数条D．不能确定
[答案] A
[解析] 已知：
平面α和一点P.
求证：
过点P与α垂直的直线只有一条．
证明：
不论点P在平面α外或平面α内，设PA⊥α，垂足为A（或P）．如果过点P还有一条直线PB⊥α，设PA、PB确定的平面为β，且α∩β＝a，于是在平面β内过点P有两条直线PA、PB垂直于交线a，这是不可能的．所以过点P与α垂直的直线只有一条．
3．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（ ）
A．有且只有一个
B．可能存在也可能不存在
C．有无数多个
D．一定不存在
[答案] B
[解析] 当a⊥b时，有且只有一个．
当a与b不垂直时，不存在．
4．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直
C．斜交D．不能确定
[答案] B
[解析] 设a，b为异面直线，a∥平面α，b∥α，直线l⊥a，l⊥b.
过a作平面β∩α＝a′，则a∥a′，∴l⊥a′.
同理过b作平面γ∩α＝b′，则l⊥b′，
∵a，b异面，∴a′与b′相交，∴l⊥α.
5．（2012－2013·杭州高二检测）如下图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的（ ）
A．AC⊥β
B．AC⊥EF
C．AC与BD在β内的射影在同一条直线上
D．AC与α、β所成的角相等
[答案] D
6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中真命题的是（ ）
①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；
②若a⊥α，a⊂β，则α⊥β；
③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n.
A．①和②B．②和③
C．③和④D．①和④
[答案] B
[解析] ①中，直线m垂直于平面α内的一条直线n，则直线m与平面α不一定垂直，所以①不是真命题；②是平面与平面垂直的判定定理，所以②是真命题．③是直线与平面垂直的性质定理，所以③是真命题；④中m与n可能是异面直线，所以④不正确．
7．如下图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于（ ）
A．ACB．BD
C．A1DD．A1D1
[答案] B
[解析] 易得BD⊥面ACC1A1，又CE⊂面ACC1A1，
∴CE⊥BD.
8．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是（ ）
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段
[答案] A
[解析] ∵DD1⊥平面ABCD，
∴D1D⊥AC，
又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1，
∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C.
又∵B1C∩AC＝C，
∴BD1⊥平面AB1C.
而AP⊥BD1，∴AP⊂平面AB1C.
又P∈平面BB1C1C，∴P点轨迹为平面AB1C与平面BB1C1C的交线B1C.故选A.
二、填空题
9．已知直线m⊂平面α，直线n⊂平面α，m∩n＝M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b⊥n，则直线a，b的位置关系是________．
[答案] 平行
[解析] 由于直线a垂直于平面α内的两条相交直线m，n，则a⊥α.同理，b⊥α，则a∥b.
10．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如右图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________.
[答案] 6
[解析] ∵AF⊥平面AC，DE⊥平面AC，∴AF∥DE.
又∵AF＝DE，∴四边形ADEF是平行四边形．
∴EF＝AD＝6.
11．如图，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，EF∥PA，则图中直角三角形的个数是________．
[答案] 6
[解析] 由PA⊥平面ABC，得PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，
又∵BC⊥AC，AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.
∵EF∥PA，PA⊥平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，
∴EF⊥BE，EF⊥EC.
∴△PAB，△PAC，△ABC，△PBC，△EFC，△BEF均为直角三角形．
12．△ABC的三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为2cm、3cm、4cm，且它们在α的同侧，则△ABC的重心到平面α的距离为________．
[答案] 3cm
[解析] 如图，设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′，
△ABC的重心为G，连接CG并延长交AB于中点E，
又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′，
则E′∈A′B′，G′∈C′E′，EE′＝
（A′A＋B′B）＝
，CC′＝4，CGGE＝21，在直角梯形EE′C′C中，可求得GG′＝3.
三、解答题
13．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．
求证：
平面BCE⊥平面CDE.
[分析] 由题意易知AF⊥平面CDE，只需在平面BCE中找一直线与AF平行即可．
[证明] 取CE的中点G，连接FG，BG，AF.
∵F为CD的中点，
∴GF∥DE，且GF＝
DE.
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE.则GF∥AB.
又∵AB＝
DE，∴GF＝AB.
则四边形GFAB为平行四边形．于是AF∥BG.
∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，
∴AF⊥CD.
∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.
又∵CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面CDE，
∴AF⊥平面CDE.
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.
∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.
规律总结：
此类问题是证明两个平面垂直比较难的问题．证明时要综合题目中的条件，利用条件和已知定理来证．或者从结论出发逆推分析．
14．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于E，l⊥平面PCD.求证：
l∥AE.
[分析] 转化为证明AE⊥平面PCD，进而转化为证明AE垂直于平面PCD内的两条相交直线PD和CD.
[证明] ∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
又AE⊂平面PAD，∴AE⊥DC.
又AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.
又l⊥平面PCD，∴l∥AE.
15．如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：
EF∥BD1.
[分析] 转化为证明EF⊥平面AB1C，BD1⊥平面AB1C.
[证明] 连接AB1，B1C，BD，B1D1，如图所示．
∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1.
∴AC⊥BD1，
同理BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，
∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，
∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.
规律总结：
当题中垂直条件很多，但又需证两直线的平行关系时，就要考虑直线与平面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．
16．如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点．
（1）求证：
MN⊥AB；
（2）若PA＝AD，求证：
MN⊥平面PCD.
[证明]
（1）取CD的中点E，连接EM、EN，
则CD⊥EM，且EN∥PD.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
又AD⊥DC，PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PD，从而CD⊥EN.
又EM∩EN＝E，∴CD⊥平面MNE.
因此，MN⊥CD，而CD∥AB，
故MN⊥AB.
（2）在Rt△PAD中有PA＝AD，
取PD的中点K，连接AK，KN，
则KN綊
DC綊AM，且AK⊥PD.
∴四边形AMNK为平行四边形，从而MN∥AK.
因此MN⊥PD.由
（1）知MN⊥DC，又PD∩DC＝D，
∴MN⊥平面PCD.
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