第17讲图形巧数.docx

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第17讲图形巧数

学科：

奥数

教学内容：

第17讲图形巧数

知识网络

几何中的计数问题包括：

数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等。

在几何图形的计数问题中，各种图形的基本概念及其相关性质是计数过程中寻找规律的基础。

直线的性质：

没有端点，且过两点有且只有一条直线；射线：

直线上一点和它一旁的部分，它有一个端点；线段：

直线上两点和它们之间的部分，它有两个端点；三角形：

三条线段首尾顺次连接而得到的图形；平行四边形：

两组对边分别平行的四边形；长方形：

有一个角是直角的平行四边形；正方形：

长与宽相等的矩形；梯形：

一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。

重点·难点

以要数的图形的基本概念和基本性质为基础，找到计数规律，既不能同一图形数两次，也不能把有的图形漏掉不数。

学法指导

掌握图形的规律和方法多种多样，常用的有按顺序数和分类数两种。

分类方法如：

按点分类，按边分类，按块分类等等还要注意分类的合理性，只有当所分的类型包含所有情况并且相互不重叠，这样才有可能做到不重复、不遗漏。

经典例题

［例1］数一数图1中有多少条线段？

思路剖析

要想使数出的图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就要找到规律。

第一种可以按端点进行分类，如图1中，线段最左边的端点是A，即以A为左端点的线段有AB、AC、AD、AE、AF共五条；以B为左端点的线段有BC、BD、BE、BF共四条；以C为左端点的线段有CD、CE、CF，共三条；以D为左端点的线段有DE、DF共二条；以E为左端点的线段有EF，一条。

这些线段的和就是图形中线段的条数。

第二种可以按含基本线段多少的顺序去数。

在此题中最长的线段AF上有四个分点，将AF分成了5条小线段，这每条小线段就是基本线段。

首先有5条基本线段，其次是包含有两条基本线段的有4条，然后是包含有三条基本线段的有3条，包含有四条基本线段的有2条，包含有五条基本线段的有1条。

则线段AF上的线段条数可求。

解答

图1中共有线段：

5+4+3+2+1=15（条）

点津

若图形为一条线段上有n个分点，线段的总条数等于从1开始的连续n个自然数的和，这n个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加1，即n+l。

n+1也就是基本线段的条数。

［例2］数出图2中总共有多少个角？

思路剖析

数角的方法类似于数线段的方法。

第一种按角的边进行分类，以

为一边的角有

、

、

、

共4个；以

为一边的角有

、

、

共3个；以

为一边的角有

、

共2个；以

为一边的角有

，有1个。

这些角的和是图形中角的个数。

第二进种按含基本角多少的顺序去数。

在最大角

内有三条射线

，

，

。

被这三条角分线分成4个基本角。

首先有4个基本角；其次是包含有2个基本角组成的角有3个；包含有3个基本角组成的角有2个；包含有4个基本角组成的角有1个，则总共有多少个角可求。

解答

图2中总共有角：

4+3+2+l=10（个）

［例3］数一数在图3中总共有多少个三角形？

思路剖析

我们仍然可以按照数线段和数角的方法来数三角形。

第一种方法：

因为三角形有三条边，则可以按照含有边的不同进行分类。

以AB为边的三角形有△ABD、△ABE、△ABF、△ABG、△ABC共五个；以AD为一边的三角形有△ADE、△ADF、△ADG、△ADC共四个；以AE为一边的三角形有△AEF、△、AEG、△AEC共三个；以AF为一边的三角形有△AFG、△AFC共二个；最后以AG为一边的三角形只有△AGC一个。

则图3中三角形的个数求和可得。

第二种方法：

注意到图3中的三角形的一边必是BC上所在线段。

那么可知BC上有多少条线段则必有多少个三角形。

BC上的线段条数按照数线段的方法可得，第三种方法：

先数出图3中的基本三角形，其他的三角形由基本三角形组合构成。

图3中有△ABD、△ADE、△AEF、△AFG、△AGC五个基本三角形。

由两个基本三角形组合在一起的三角形有△ABE、△ADF、△AEG、△AFC四个三角形；由三个基本三角形组合在一起的三角形有△ABF、△ADG、△AEC三个三角形；由四个基本三角形组合在一起的三角形有△ABG、△ADC二个三角形；由五个基本三角形组合在一起的三角形只有△ABC一个。

图3中三角形个数总和可知。

解答

图3中三角形个数：

5+4+3+2+l=15（个）

答：

图3中三角形的个数共有15个。

［例4］数一数图4中长方形的个数。

思路剖析

由于长方形的构成要考虑到长和宽两个要素。

因此图4中长方形的个数与作为“长”的线段的条数和作为“宽”的线段条数有关。

每一个长配一个宽就组成一个长方形。

把AB上的每一条线段作为宽，AB上有三个分点，有线段：

4+3+2+l=10（条）。

把BC边上每一条线段作为长，BC上有四个分点，有线段：

5+4+3+2+l=15（条）。

那么图4中长方形的个数是长与宽个数的积。

解答

图4中AB边上有线段：

4+3+2+l=10（条）

BC边上有线段：

5+4+3+2+1=15（条）

所以共有长方形：

10×15=150（个）

答：

图4中长方形的个数为150个。

点津

虽然此题我们也可以将长方形按照基本长方形个数的组合进行分类，但对于复杂的图形这种方法就不适用了，很容易重复或漏数。

［例5］数一数图5中有多少个正方形（其中每一个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）？

思路剖析

由于正方形是长与宽相等的矩形，数正方形与数长方形相类似。

由于长=宽，那么只需考虑一边的长，按一边的长进行分类，由于图中BC边长大于AB边，因此从AB边开始分类，AB边长为8个单位长度，那么图5中有八类正方形。

①边长为1的正方形个数：

14×8=112（个）

②边长为2的正方形个数：

13×7=91（个）

③边长为3的正方形个数：

12×6=72（个）

④边长为4的正方形个数：

11×5=55（个）

⑤边长为5的正方形个数：

10×4=40（个）

⑥边长为6的正方形个数：

9×3=27（个）

⑦边长为7的正方形个数：

8×2=16（个）

⑧边长为8的正方形个数：

7×1=7（个）

那么图5中正方形个数和可求。

解答

正方形总数为：

14×8+13×7+12×6+11×5+10×4+9×3+8×2+7×1

=112+91+72+55+40+27+16+7

=420（个）

答：

图5中共有正方形420个。

［例6］数一数图6中三角形的个数（图中每一个小三角形是边长为1的正三角形）。

思路剖析

第一种方法：

从图6中易将三角形分为两类，一类是顶角朝上的，一类是顶角朝下的三角形。

先来考虑顶角朝上的三角形，再将它们分成5种，①在△

中有1个三角形；②在

中有2+l=3个三角形；③在

中有3+2+1=6（个）三角形；④在

中有4+3+2+l=10（个）三角形；⑤在△ABC中有5+4+3+2+l=15（个）三角形。

再来考虑顶角朝下的三角形。

①在

中有4个三角形；②在

中有3+2=5（个）三角形；③在

有2+l=3（个）；④在

中有1个三角形。

综合以上的各种情况，图中三角形的个数可求。

第二种方法：

类似于正方形的分类方法。

将三角形分成五类。

①边长为1的三角形有：

25个；②边长为2的三角形有10+3=13（个），其中10个顶角朝上，3个顶角朝下；③边长为3的三角形有6个，都是顶角朝上的；④边长为4的三角形有3个，都是顶角朝上的；⑤边长为5的三角形有1个，是△ABC。

那么图中三角形个数为此五类三角形的和。

解答

①按第一种方法划分三角形的总数为：

l+3+6+10+15+4+5+3+1=48（个）

②按第二种方法划分三角形的总数为：

25+13+6+3+l=48（个）

答：

图6中三角形的个数为48个。

点津

寻找到对的正确的图形分类方法是解题的关键。

第一种方法的分类较细，虽然看起来有些繁琐，但不易漏数。

第二种方法的分类较粗，在数每一类三角形时，容易出现漏数的情况。

发散思维训练

1．数一数图7中共有多少条线段？

共有多少个三角形？

2．数一数图8中有多少个三角形？

3．数一数图9中有多少个正方形包含阴影方格？

（图中每一个小格是边长为1的正方形。

）

4．数一数图10中有多少个三角形？

5．数一数图11中共有多少个长方形？

6．一筐苹果共有50个，现将50个苹果排成一行，问：

（1）这些排成一行的50个苹果可组成多少条线段？

（2）如果去掉两头儿的苹果，这样可以组成多少条线段？

7．数一数图12中正方形的个数。

图中每个小格都是边长为1的正方形。

8．数一数图13中有多少个三角形？

9．如图14所示，在圆周上有6个钉，在这6个钉中，任取3个钉用皮筋可套出一个三角，问：

（1）以钉A为顶点的三角形有几个？

（2）从6个钉中任取3个，用皮筋去套，可以套出多少个三角形？

参考答案

发散思维训练

1．解：

先找出图中线段的基本图形，即一条线段上有几个分点。

这样的线段有：

AB、AD、AE、AF、AC、GH、KL、MN、BC点共8条线段，而且每条线段上有三个分点，说明在这样的每条线段上有4+3+2+l＝10（条）线段，那么图形中总共有线段：

10×8=80（条）。

三角形求法，同上，先找出基本三角形4个，每个基本三角形中有三角形为4+3+2+1=10（个），故，图中共有三角形：

10×4=40（个）。

答：

在图形中共有80条线段，40个三角形。

2．解：

由于五边形ABCDE是一个正五边形，是对称的图形，在这个图形中有很多大小形状都相等的三角形，因此分类时按三角形大小进行分类。

①与

大小相等的三角形有5个；②与

大小相等的三角形有5个；③与

大小相等的三角形有10个；④与△ACD大小相等的三角形有5个；⑤与

大小相等的三角形有5个；⑥与△ACD大小相等的三角形有5个。

图中三角形的个数：

5×5+10=35（个）。

答：

图中总共有35个三角形。

3．解：

由于图中的阴影方格是长为2，宽为1的长方形。

那么包含它的正方形的边长至少是2。

那么包含阴影方格的：

①边长为2的正方形有2个；②边长为3的正方形有4个；③边长为4的正方形有1个。

总共有：

2+4+l＝7（个）。

答：

总共有7个正方形包含阴影方格。

4．解：

如图1，将此图形按大三角形进行分类△ADE、△ADC、△ABC、△EDC、△BDC在DE、DC、BC边上各有四个分点，则在△ADE、△ADC、△ABC中各有5+4+3+2+1=15（个）三角形。

在△EDC与△BDC中各有5个三角形。

因此共有：

15×3+5×2＝55（个）

答：

图中共有55个三角形。

5．解：

如图2，在大矩形ABCD和小矩形

中各有长方形：

（4+3+2+l）×（2+l）＝30（个），在图形的中间部分矩形EHJG中含有的未被数到的长方形：

①含有1个基本长方形的有4个，

②含有2个基本长方形的有2个，

③含有3个基本长方形的有4个，

④含有6个基本长方形的有2个，

总共有：

30×2+4+2+4+2＝72（个）。

答：

图2中共有72个长方形。

答图2

6．解：

（l）50个苹果排成一行，每个苹果相当于线段上的一个点，那么这条线段上总共有50－2=48（个）分点，有49条基本线段。

那么共有线段：

（条）。

（2）若去掉两头的苹果，那么苹果数变为48个，在这条线段上则有47条基本线段。

那么共有线段：

47+46+…+3+2+l＝（47+l）×47÷2＝1128（条）

答：

50个苹果排成一行可组成1225条线段。

去掉两头的苹果后可组成1128条线段。

7．解：

图形中①边长为1的正方形有6×6＝36（个）

②边长为2的正方形有5×5＝25（个）

③边长为3的正方形有4×4=16（个）

④边长为4的正方形有3×3=9（个）

⑤边长为5的正方形有2×2＝4（个）

⑥边长为6的正方形有l×l=1（个）

图形中正方形总数：

36+25+16+9+4+l=91（个）

答：

图中共有91个正方形。

8．解：

如图3，以BC为分界，在△ABC和△BCD中各有三角形：

5+4+3+2+l=15（个）；以AD为分界，AD的左侧有3个三角形，AD的右侧有2个三角形。

总共有：

15×2+3+2=35（个）。

答：

图3中总共有35个三角形。

9．解：

（1）以钉A做为三角形的一个顶点，只需找到另外两点即可构成三角形，此两点连线构成一条线段。

以B为端点的线段有BC、BD、BE、BF共四条；以C为端点的线段有CD、CE、CF共三条；以D为端点的线段有DE、DF共两条；以E为端点的线段有EF共一条。

则总共有：

4+3+2+l=10（个）。

（2）由第一问的结论得知以A为顶点的三角形共有10个；那么以B为顶点的三角形，有3+2+l=6（个）；以C为顶点的三角形有2+l＝3（个）；以D为顶点的三角形有1个，剩下两点构不成三角形。

则共可组成三角形：

10+6+3+l=20（个）

答：

以钉A为顶点的三角形有10个，6个钉中任取三个组成三角形共可组成20个。