中国石油大学大物219章习题解答03.docx
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中国石油大学大物219章习题解答03
习题9
9-1.选择题
1.一质点作简谐振动，振动方程为x=Acos（t+），当时间t=T2（T为周期）时，质点的速度为（）
2•两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同当第一个质点从相对平衡位置的正位移处回到平衡位置时
第一个质点的振动方程为Xi=Acos（t+）。
第二个质点正在最大位移处，则第二个质点的
振动方程为（）
（A）
x2=Acos（
t+
+/2）
（B）
x2=Acos（
t+
/2）
（C）
x2=Acos（
t+
3/2）
（D）
x2=Acos（
t+
+）
3•轻弹簧上端固定，下系一质量为mi的物体，稳定后在伸长了Ax，若将m2移去，并令其振动，则振动周期为（
mi的下边又系一质量为m2的物体，于是弹簧又
）
（A）
（B）
（C）
（D）
4.一个质点作简谐振动，振辐为
动的旋转矢量图为（）
A,在起始时刻质点的位移为A/2，且向x轴的正方向运动，此简谐振
（A）
Asin
（B）
A
sin
（C）
Acos
（D）
A
cos
（A）（B）（C）（D）
5.用余弦函数描述一简谐振动
，已知振幅为A，周期为T，初位相
/3，则振动曲线为下图中的（）
（B）
A
AO2
A/2
（D）
IL
x
6.—质点作谐振动，振动方程为x=Acos（t+
），在求质点振动动能时
，得岀下面5个表达式:
0.1-
fy（m）
t=0
/\x（m）
O
p\y
一WDi
（1）
（1/2）m2A2sin2（
t+）
⑵
222
（1/2）m2A2cos2（
t+）
（1/2）kA2sin（t+
）
⑷
（1/2）kA2cos2（t+
）
（5）
（22/T2）mA2sin2（
t+）
其中m是质点的质量，k是弹簧的倔强系数，T是振动的周期。
下面结论中正确的是（）
习题9-1（7）图
f
S
t
tz
N
（A）
（1），
（4）是对的
（B）
（2），
（4）是对的
（C）
（1），
（5）是对的
（D）
（3），
（5）是对的
（E）
（2），
（5）是对的
A（如
习题9-1（7）图所示）,则此振子作（
）
（A）等幅振动
ty（m）
（B）阻尼振动
A厂\-厂7=0、
（C）强迫振动
O2x（m）
（D）增幅振动
7.有一悬挂的弹簧振子，振子是一个条形磁铁，当振子上下振动时,
条形磁铁穿过一个闭合圆线圈
习题9-1（8）图
8.—圆频率为的简谐波沿x轴的正方向传播,t=0时刻的
波形如习题9-1（8）图所示，则t=0时刻，x轴上各质点的振动速度v与坐标x的关系图应为（）
ov（msj
（A）
x（m）
（C）
丄。
■v（ms-1）
:
八11
-A
x（m）
9.一平面简谐波沿
x轴负方向传播，
已知
波的波函数为（
）
（A）
y=Acos{
[t-（X0—X）/u]+
o}
（B）
y=Acos{
[t-（x—X0）/u]+
0}
（C）
y=Acos{
t-[（X0-x）/U]+
0}
（D）
y=Acos{
t+[（X0—x）/U]+
0}
10.习题
9-1（10）图所示为一平面简谐波在
动曲线为下图中的（）
t=0时刻的波形图，该波的波速u=200mS1，则P处质点的振
习题9-1（10）图
（A）
11.一列;
机械横'
波在
t时刻的波形曲线如习题
（）
（A）
o'，
b，
d，f
（B）
ac
，e,
g
（C）
o'，
d
（D）
b，f
9-1（11）图所示，则该时刻能量为最大值的媒质质元的位置是
媒质中某质元正处于平衡位置，此时它的能量是（）
b两点的相位差是（）
12.—平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时，
（A）动能为零，势能最大
（B）动能为零，势能为零
（C）动能最大，势能最大
（D）动能最大，势能为零
13.习题9-1（13图所示为一平面简谐机械波在t
时刻的波形曲线。
若此时A点处媒质质元的振动动能在增大，则（）
（A）A点处质元的弹性势能在减小
（B）波沿x轴负方向传播
（C）B点处质元的振动动能在减小
（D）各点的波的能量密度都不随时间变化
14.某时刻驻波波形曲线如习题9-1（14）图所示，则a
（A）
（B）/2
（C）5/4
（D）0
15.沿相反方向传播的两列相干波，其波动方程为
y1=Acos2（v-tx/）
yz=Acos2（v-+x/）
叠加后形成的驻波中，波节的位置坐标为（）
（A）
x=±k
（B）
x=±k/2
（C）
x=±（2k+1）
/2
（D）
x=±（2k+1）
/4
16.—机车汽笛频率为
750Hz,机车以时速90公里远离静止的观察者，设空
气中声速为340ms-1，则观察者听到声音的频率是（）
m
习题9-2（4）图
（A）810Hz
（B）699Hz
（C）805Hz
（D）695Hz
9-2.填空题
1•将单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度，然后由静止放手任其
振动，从放手时开始计时，若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初位相为。
2.用40N的力拉一轻弹簧，可使其伸长20cm，此弹簧下应挂kg的物体，才能使弹簧振子
作简谐振动的周期T=0.2s。
3.一质点沿x轴作简谐振动，振动范围的中心点为x轴的原点。
已知周期为T振幅为A
（1）若t=0时质点过x=0处且朝x轴正方向运动，则振动方程为x=
（2）若t=0时质点处于x=A/2处且朝x轴负方向运动贝U振动方程为x=
4.一劲度系数为k的轻弹簧截成三等份，取岀其中的两根，将它们并联在一起，下面挂一质量为m的物体，如习题9-2（4）图所示，贝U
振动系统的频率为。
5.频率为100Hz，传播速度为300ms-1的平面简谐波，波线上两点振动的相位差为/3,则此两点相距为。
6•如习题9-2（6）图所示，在竖直平面内半径为R的一段光滑圆弧
轨道上放一小物体，使其静止于轨道的最低点。
若触动小物体，使其沿圆弧形轨道来回作小幅度运动，问
此物体是否作谐振动，振动周期为
7.—弹簧振子，当位移是振幅的一半时，该振动系统的动能与总能量之比是;位移为
时，动能和势能各占总能的量一半。
&一弹簧振子，弹簧的劲度系数k=25Nm-1,当物体以初动能0.2J和初势能0.6J振动时，谐振动的振
时，势能与动能相等；位移是振幅之半时，势能
幅为;位移为
为。
9.一作简谐振动的振动系统，其质量为2kg，频率为
10.两个同方向的简谐振动曲线如习题9-2（10）图所
示,合振动的振幅为，合振动的振动方程
为。
11.一质点同时参与了两个同方向的简谐振动，它们的振动方程分别为
X1=0.05cos（t+/4）（m）
X2=0.05cos（t+19/12）（m）
其合成运动的运动方程为x=
12.两谐振动的振动方程分别为
x510$cos10t34（m）
2.
x2610cos10t4（m）
其合振动的振幅和初相位分别为
13.—列余弦横波以速度u沿x轴正方向传播，t时刻波形曲线如习题9-2（13）图所示，试分别指出图中A、B、C各质点在该时刻的运动方向：
A；B；
C。
14.已知一平面简谐波沿x轴正向传播，振动周期T=0.5s,波长=10m,振幅A=0.1m。
当t=0时波源振动的位移恰好为正的
最大值。
若波源处为原点，则沿波传播方向距离波源为/2处的振动方程为
-u
0
y（10m）
5ZX八
'x（m）
-2
7
1015\^0/25
习题9-2（15）图
当t=T/2，x=/4处质点的振动速度
7.
75%,x
——A
2
8.
（1）0.253m；
（2）x=0
i.179m；
9.
9.86102J
2
10.
A2A1；y
Acos
t
T
11.
x=0.05cos（
t-/12）
12.
-2
7.81102m；
1.48rad
13.
向下，向上，
向上
14.
y=0.1cos4
t_）
（m）；
15.
）
（m）
（3）0.2J
-1
-0.4（ms1）
_2
y=2x10cos（t+
16.
R2
17.
12
18.
y0.01cos
4t
（m）
19.
20.
1.58105W
（1）A=1.50102m
343.8m
-1-1
s1;
（2）0.625m；（3）46.2ms1
9-3.一轻弹簧在60N的拉力下伸长30cm。
现把质量为4kg物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止，再将物体向下拉10cm,然后释放并开始计时。
试求：
（1）物体的振动方程；
（2）物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力；
（3）物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到上方5cm处所需要的最短时间。
［解］
（1）取平衡位置为坐标原点，竖直向下为正方向，建立坐标系
200N/m
30102
A0.1m
2007.07rad/s
设振动方程为
0.1cos7.07t
故振动方程为
0.1
0.1
0.1cos
0.1cos7.07t
（m）
（2）设此时弹簧对物体作用力为
F，则
Fkxkx0x
mg40
其中xo0.196m
k200
因而有F2000.1960.0529.2N
（3）设第一次越过平衡位置时刻为t1，则
00.1cos7.07titi0.57.07
第一次运动到上方5cm处时刻为t2，则
0.050.1cos7.07t2t2237.07
故所需最短时间为：
tt2t10.074s
6cm处速
9-4.一质量为M的物体在光滑水平面上作谐振动，振幅12cm，在距平衡位置
度为24cms-1，试求：
周期T和速度为12cms-1时的位移。
解得:
所以
故
1212sint
sint
cost
x12cost12
16、3sint
3
4
13
4
4
10.8cm
［解］
（1）设振动方程为xAcostcm
以A12cm、x
6cm、v
24cms
1
1代入，得：
6
12cost
24
12sint
利用sin2t
2xcost
1则
2
6
24
2
A
12
12
1
4-3
2
3
解得
T
2.72s
3
2
⑵以v
12cms1代入，得：
9-5•—谐振动的振动曲线如习题9-5图所示，试求振
动方程。
［解］设振动方程为
xAcost
根据振动曲线可画出旋转矢量图
由图可得:
12
故振动方程为
x10cos52
12
（cm）
9-6•一质点沿x轴作简谐振动，其角频率=10rads-1，试分别写出以下两种初始状态
的振动方程：
（1）其初始位移xo=7.5cm,初始速度Vo=75.Ocms-1;
（2）其初始位移X0=7.5cm,初速度V0=75.0cms-1。
［解］设振动方程为
（1）由题意得：
xAcos10t
7.5Acos
7510Asin
解得：
.4A=10.6cm
故振动方程为：
x10.6cos10t4cm
⑵同法可得:
x10.6cos10t4cm
9-7•一轻弹簧在60N的拉力作用下可伸长30cm,现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4kg。
待其静止后再把物体向下拉10cm,然后释放。
试问:
（1）此小物体是停止在振动物体上面还是离开它？
（2）如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A需满足何条件？
两者在何
位置开始分离？
［解］
（1）小物体停止在振动物体上不分离。
（2）设在平衡位置弹簧伸长10,则kl0Mg
又
故
当小物体与振动物体分离时
-1
200Ns1
0.3
Mg49.8
HT200
0.196m
kAkl0Mg，即Al0,
故在平衡位置上方0.196m处开始分离。
9-8.—木板在水平面上作简谐振动，振幅是12cm,在距平衡位置6cm处，速度是24cms-1。
如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动（振动频率不
变），当木板运动到最大位移处时物块正好开始在木板上滑动，试问物块与木板之间的静摩擦系数是多大？
［解］设振动方程为
x12cost
则：
v12sin
t
以x=6cm
v=24cm/s
代入得：
612cos
t
2412sin
t
4..3
1
解得
rad
s
3
最大位移处:
aA
2
FmamA
2
由题意，知
mg
mA2
A2g
0.0653
9-9.两根劲度系数分别为k1和k2的轻弹簧串接后，上端固定，下端与质量为m的物体相连结，组成振动系统。
当物体被拉离平衡位置而释放时，物体是否作谐振动？
若作谐振动，
其周期是多少？
若将两弹簧并联，其周期是多少？
［解］
（1）串接：
物体处平衡位置时，两弹簧分别伸长X10、X20
mgk2X20
（1）
k1x10k2X20
取平衡位置为坐标原点，坐标向下为正，令物体位移为
X,两弹簧再次伸长X1、x2，则
Fmgk2X20
由⑴知
又
由（4）、（5）得
将（6）代入（3）得
看作一个弹簧
所以
F
k2X2
（3）
k1x1
k2
X2
⑷
X1
X2
X
X2
k1
k1
Xk2
⑹
X2
kik?
kik2
Fkx
kik?
ki
k2
因此物体做简谐振动，角频率
'■m\mk1k2
周期宀2「防
（2）并接：
物体处于平衡位置时,
mgk1x0k2x0
X1
Xo
X
X2XoX
所以
F
mg
k1Xo
xk2x0x
Fk1k2x
Fkx
kk1k2
取平衡位置为坐标原点，向下为正，令物体有位移x
则Fmgk1x1k2x2
式中X1、x2分别为两弹簧伸长
将（7）代入得
看作一个弹簧
所以因此该系统的运动是简谐振动。
其角频率
因此周期
O上，令其在自身平面内作微
JmR2md22mR2
2
2mR2
£
dt2
d2gdt22R
RmgsinRmg
0所作振动为简谐振动
所以
（2）等效单摆周期为T
的摆长为2R。
9-10.如习题9-10图所示，半径为R的圆环静止于刀口点小的摆动。
试求：
（1）求其振动的周期；
（2）求与其振动周期相等的单摆的长度。
［解］
（1）设圆环偏离角度为
MRmgsin
MJJd^
dt2
k=24Nm-1，重物的质
9-11•如习题9-11图所示，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数
量为m=6kg，重物静止在平衡位置上。
设以一水平恒力F10N向左作用于物体（无摩擦），
使之由平衡位置向左运动了0.05m,此时撤去力F。
当重物运动到左方最大位置时开始计时,
求物体的振动方程。
［解］以平衡位置为坐标原点，向右为正方向建立坐标系，设振幅为A，由功能原理可得
FSkA22
因此A2FSk122100.0524120.204m
k/m122rads-1
又因物体运动到左边最大位移处开始计时，故初相为
故得运动方程为x0.204cos2tm
A
9-12•两个同方向、同频率的谐振动，其合振动的振幅为
20cm,合振动与第一个谐振动的相位差为_。
若第一个谐振动
6
的振幅为103cm，试求第二个谐振动的振幅及第一、二两谐振
动的相位差。
［解］由题意可画出两简谐振动合成的矢量图，由图知
A2一AjA22AAcos—10cm
易证
V6
A2AA
故第一、二两振动的相位差为一
2
9-13.质量为0.4kg的质点同时参与两个互相垂直的振动
x8.0102cost.36/、
（m）
y6.0102cost；3.'3（m）
试求：
（1）质点的轨迹方程；
（2）质点在任一位置所受的作用力。
［解］
（1）y方向的振动可化为
y6.0102sin
t3
6
消去三角函数部分可得质点的轨迹方程为
2
2
x
y
-1
0.082
0.062
11
⑵由
x
8.010
2
cos
t3
6
可得
ax
0.08-
2
cos
t3
6
9
2
同理
ay
0.06-
cos
9
t3
3
因此
Fma
maxi
ayj
m[0.08cos$t—）i
93
0.06cos（；t-）j]
36
0.483xiyj
9-14.一简谐波的周期T0.5s，波长10m，振幅A0.1m。
当t0时刻，波源振动的位移恰好为正方向的最大值。
若坐标原点与波源重合，且波沿Ox轴正向传播；试求：
（1）此波的波函数；
⑵tT时刻x—处质点的位移;
4
4
（3）tT时刻，
L2
2
x处质点的振动速度。
14
［解］
（1）由已知条件12，可设波函数为:
x
yAcos[2（t）]0.1cos[2（2tx/10）]
由已知t=0，x=0时，y=0.1m
故0.10.1cos由此得
0
因而波函数为
y0.1cos[4（tx/20）]（m）
（2）山T4，人4处：
y0.1cos4（1/810/80）0.1（m）
⑶t2T2，X2
4处，振动速度为
A，频率为，波速为u。
设t=t时刻
v20.4sin4（tx/20）
0.4sin4（1/410/80）1.26ms-1
9-15.—平面简谐波沿Ox轴正向传播，其振幅为的波形曲线如习题9-15图所示。
试求：
（1）x=0处质点的振动方程；
（2）该波的波函数。
［解］
（1）设x=0处该质点的振动方程为：
yAcos（2t）
由tt时波形和波速方向知，v0,x=0；
tt'时
y
[解]由已知，得u0.08m
-1s,
0.4m
Tu0.40.08
5s
（1）设波函数为
y
0.04cos[2
（t/5x/0.4）
当t=0,x=0时，
由图知x
0,v0
因此
-
（或3
）
2
2
则波函数为
9-16.根据如习题9-16图所示的平面简谐波在t=0时刻的波形图，试求:
（1）该波的波函数；
（2）点P处的振动方程。
所以x=0处的振动方程为
yAcos[2（tt）/2]（m）
（2）该波的波函数为：
yAcos[2（ttx/u）/2]（m）
y0.04cos[2（t/5x/0.4）
（2）将P点坐标代入上式，得
yp0.04cos（0.4t3
9-17.
平面简谐波沿Ox轴正向传播，其振幅和角频率分别为
A和，波速为u,设t=0
（1）写出该波的波函数;
时的波形曲线如习题9-17图所示:
⑵求距点O分别为_和L两处质点的振动方程;
88
⑶求距点O分别为_和L的质点在t=0时的振动
88
速度。
[解]
（1）由图知
2，故波函数
yAcostx
u2
（2）x—时
8
yAcost
yAcos
Asin
Asin—
_2
~2
o
8
Asin
Asin—
4
2a
9-18.如习题9-18图所示为一平面简谐波在
2a
2
O
-A
y（m）
00m
x（m）
习题9-19图
t0时刻的波形图，试画出点P处质点与点Q
处质点的振动曲线，并写出相应的振动方程。
［解］u20ms-1，
P处振动曲线
振动方程
40m，
40
20
2s
yP0.20cost（m）
2
（2）Q处的振动曲线
振动方程yQ0.20cost（m）
9-19.如习题9-19图所示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图。
设简谐波的频率为250Hz,
且此时质点P的运动方向向下。
试求：
（1）该波的波函数；
（2）在距点O为100m处质点的振动方程与振动速度表达式。
［解］
（1）250Hz,200m，又因P点运动方向向下，则波向左传播，设波函数为
yAcos2
250t
x
200
t=0,
x=0时y
2a
A
Acos，贝U
2
4
因Vo
0,所以取
—
（或由旋转矢量图知
4
4
故波函数为yAcos2250t
x
200
（m）
⑵x=100m时,
Acos2
100
250t
200
Ac
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