学习实践解一元二次方程公式法导学案 新版新人教版.docx

学习实践解一元二次方程公式法导学案 新版新人教版.docx

《学习实践解一元二次方程公式法导学案 新版新人教版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学习实践解一元二次方程公式法导学案 新版新人教版.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

学习实践解一元二次方程公式法导学案新版新人教版

解一元二次方程——公式法导学案（新版新人教版）

本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址　　第4课时解一元二次方程-公式法

　　一、学习目标

　　了解掌握一元二次方程根的判别式，不解方程能判定一元二次方程根的情况；

　　理解一元二次方程求根公式的推导过程；

　　掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况；

　　学会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程．

　　二、知识回顾

　　．什么是配方法?

配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？

　　配方法：

通过配方，先把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，然后运用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．

　　配方法解一元二次方程的一般步骤：

（1）移常数项到方程右边；

（2）化二次项系数为1；

　　（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

　　（4）化方程左边为完全平方式；

　　（5）若方程右边为非负数，则利用直接开平方法解得方程的根．

　　2．怎样用配方法解形如一般形式ax2+bx+c=0的一元二次方程？

　　解：

移项，得

　　二次项系数化为1，得

　　配方，得

　　即：

，

　　因为所以

　　当

　　；

　　当

　　三、新知讲解

　　一元二次方程根的判别式

　　叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母表示它，即．

　　一元二次方程根的情况与判别式的关系

（1）方程有两个不相等的实数根；

（2）方程有两个相等的实数根；

　　（3）方程没有实数根．

　　公式法解一元二次方程

　　一般地，对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0，当时，它的两个根分别是

　　，，

　　这里，叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．

　　公式法解一元二次方程的一般步骤

　　把方程化成一般形式：

ax2+bx+c=0；

　　确定a，b，c的值；

　　求出的值，并判断方程根的情况：

　　当时，方程有两个不相等的实数根；

　　当时，方程有两个相等的实数根；

　　当时，方程没有实数根．

　　当时，将a，b，c和的值代入公式（注意符号）．

　　四、典例探究

　　．根据根的判别式判断一元二次方程根的情况

　　【例1】（XX•重庆）已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（　　）

　　A．有两个不相等的实数根

　　B．有两个相等的实数根

　　两个根都是自然数

　　D．无实数根

　　总结：

　　求根的判别式时，应该先将方程化为一般形式，正确找出a，b，c的值.

　　根的判别式与一元二次方程根的情况的关系如下：

当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．

　　练1．（XX•铜仁市）已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法不正确的是（　　）

　　A．方程有两个相等的实数根

　　B．方程有两个不相等的实数根

　　c．没有实数根

　　D．无法确定

　　练2．（XX•泰州）已知：

关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0

（1）不解方程，判别方程根的情况；

（2）若方程有一个根为3，求m的值．

　　2．根据一元二次方程根的情况求参数的值或取值范围

　　【例2】（XX•温州）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（　　）

　　A．﹣1

　　B．1

　　c．﹣4

　　D．4

　　总结：

已知方程根的情况求字母的值或取值范围时：

　　先计算根的判别式；

　　再根据方程根的情况列出关于根的判别式的等式或不等式求解；

　　若二次项系数出现了字母，应注意“二次项系数不为0”．

　　练3．（XX•凉山州）关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（　　）

　　A．m≤3

　　B．m＜3

　　c．m＜3且m≠2

　　D．m≤3且m≠2

　　3．用公式法解一元二次方程

　　【例3】用公式法解下列方程：

（1）x2+2x﹣2=0；

（2）y2﹣3y+1=0；

　　（3）x2+3=2x．

　　总结：

　　公式法的实质是配方法，只不过省去了配方的过程，而直接利用了配方的结论；

　　运用公式法求解一元二次方程要注意两个前提：

（1）先将一元二次方程化为一般形式，即确定a，b，c的值；

（2）必须保证b2-4ac≥0．

　　练4．（XX•锦江区模拟）解方程：

x（x﹣2）=3x+1．

　　练5．当x是何值时，3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等？

　　五、课后小测

　　一、选择题

　　．（XX•云南）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）

　　A．4x2﹣5x+2=0

　　B．x2﹣6x+9=0

　　c．5x2﹣4x﹣1=0

　　D．3x2﹣4x+1=0

　　2．（XX•贵港）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（　　）

　　A．﹣1

　　B．0

　　c．1

　　D．2

　　3．（XX•烟台）等腰直角三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（　　）

　　A．9

　　B．10

　　c．9或10

　　D．8或10

　　4．（XX•株洲）有两个一元二次方程m：

ax2+bx+c=0；N：

cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（　　）

　　A．如果方程m有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根

　　B．如果方程m的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同

　　c．如果5是方程m的一个根，那么是方程N的一个根

　　D．如果方程m和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1

　　5．（XX•日照）已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（　　）

　　A．﹣2＜x1＜﹣1

　　B．﹣3＜x1＜﹣2

　　c．2＜x1＜3

　　D．﹣1＜x1＜0

　　二、填空题

　　6．（XX秋•册亨县校级月考）用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=　　，x1=　　，x2=　　．

　　三、解答题

　　7．（XX秋•通山县期中）用公式法解方程：

2x2﹣4x=5．

　　8．（XX秋•金溪县校级月考）解方程：

2x2﹣2x﹣5=0．

　　9．（XX春•石景山区期末）用公式法解方程：

x（x）=4．

　　0．（XX•梅州）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．

（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；

（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．

　　11．（XX•咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．

（1）证明：

不论m为何值时，方程总有实数根；

（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

　　12．（XX•昆山市一模）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．

（1）求证：

无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2，求m的值．

　　13．（XX•南充一模）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）

（1）小明考查后说，它总有两个不相等的实数根．

（2）小华补充说，其中一个根与k无关．

　　请你说说其中的道理．

　　典例探究答案：

　　【例1】（XX•重庆）已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（　　）

　　A．有两个不相等的实数根

　　B．有两个相等的实数根

　　c．两个根都是自然数

　　D．无实数根

　　分析：

判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．

　　解答：

解：

∵a=2，b=﹣5，c=3，

　　∴△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，

　　∴方程有两个不相等的实数根．

　　故选：

A．

　　点评：

此题主要考查了一元二次方程根的判别式，要熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

　　练1．（XX•铜仁市）已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法不正确的是（　　）

　　A．方程有两个相等的实数根

　　B．方程有两个不相等的实数根

　　c．没有实数根

　　D．无法确定

　　分析：

先求出△的值，再判断出其符号即可．

　　解答：

解：

∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，

　　∴方程有两个不相等的实数根．

　　故选B．

　　点评：

本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．

　　练2．（XX•泰州）已知：

关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0

（1）不解方程，判别方程根的情况；

（2）若方程有一个根为3，求m的值．

　　分析：

（1）找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；

（2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．

　　解答：

解：

（1）∵a=1，b=2m，c=m2﹣1，

　　∵△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）=4＞0，

　　∴方程x2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根；

（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，

　　∴32+2m×3+m2﹣1=0，

　　解得，m=﹣4或m=﹣2．

　　点评：

此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的定义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

　　【例2】（XX•温州）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（　　）

　　A．﹣1

　　B．1

　　c．﹣4

　　D．4

　　分析：

根据方程根的情况与判别式的关系知△=42﹣4×4c=0，然后解一次方程即可．

　　解答：

解：

∵一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，

　　∴△=42﹣4×4c=0，

　　∴c=1，

　　故选B．

　　点评：

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

　　练3．（XX•凉山州）关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（　　）

　　A．m≤3

　　B．m＜3

　　c．m＜3且m≠2

　　D．m≤3且m≠2

　　分析：

根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac的意义得到m-2≠0且△≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．

　　解答：

解：

∵关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，

　　∴m-2≠0且△≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，解得m≤3，

　　∴m的取值范围是m≤3且m≠2．

　　故选：

D．

　　点评：

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

　　【例3】用公式法解下列方程：

（1）x2+2x﹣2=0；

（2）y2﹣3y+1=0；

　　（3）x2+3=2x．

　　分析：

（1）求出b2﹣4ac的值，代入公式x=求出即可；

（2）求出b2﹣4ac的值，代入公式y=求出即可；

　　（3）求出b2﹣4ac的值是负数，即可得出原方程无解．

　　解答：

解：

（1）这里a=1，b=2，c=﹣2，

　　∵b2﹣4ac=22﹣4×1×（﹣2）=12＞0，

　　∴x==﹣1，

　　∴x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；

（2）这里a=1，b=﹣3，c=1．

　　∵b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×1=5＞0，

　　∴y=，

　　∴y1=，y2=；

　　（3）移项，得x2﹣2x+3=0，

　　这里a=1，b=﹣2，c=3．

　　∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣4＜0．

　　∴原方程没有实数根．

　　点评：

本题主要考查学生运用公式法正确解方程的能力，前提是先判断判别式的符号，再根据情况代入求根公式求解．

　　练4．（XX•锦江区模拟）解方程：

x（x﹣2）=3x+1．

　　分析：

整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．

　　解答：

解：

x（x﹣2）=3x+1，

　　整理得：

x2﹣5x﹣1=0，

　　b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）=29，

　　x=，

　　x1=，x2=．

　　点评：

本题考查了解一元二次方程的应用，能正确运用公式法解一元二次方程是解此题的关键，难度适中．

　　练5．当x是何值时，3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等？

　　分析：

根据3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等，即可列出方程，然后利用公式法即可求解．

　　解答：

解：

根据题意得：

3x2+4x﹣8=2x2﹣1，

　　即x2+4x﹣7=0，

　　a=1，b=4，c=﹣7，

　　△=b2﹣4ac=16+28=44＞0，

　　则x==﹣2．

　　点评：

本题考查了公式法解一元二次方程，注意公式运用的条件：

判别式△≥0．

　　课后小测答案：

　　一、选择题

　　．（XX•云南）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）

　　A．4x2﹣5x+2=0

　　B．x2﹣6x+9=0

　　c．5x2﹣4x﹣1=0

　　D．3x2﹣4x+1=0

　　解：

A、∵△=25﹣4×2×4=﹣7＜0，∴方程没有实数根，故本选项正确；

　　B、∵△=36﹣4×1×4=0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；

　　c、∵△=16﹣4×5×（﹣1）=36＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；

　　D、∵△=16﹣4×1×3=4＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；

　　故选A．

　　2．（XX•贵港）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（　　）

　　A．﹣1

　　B．0

　　c．1

　　D．2

　　解：

∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，

　　∴△=（﹣2）2﹣8（a﹣1）=12﹣8a≥0且a﹣1≠0，

　　∴a≤且a≠1，

　　∴整数a的最大值为0．

　　故选：

B．

　　3．（XX•烟台）等腰直角三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为

　　（　　）

　　A．9

　　B．10

　　c．9或10

　　D．8或10

　　解：

∵三角形是等腰直角三角形，

　　∴①a=2，或b=2，②a=b两种情况，

　　①当a=2，或b=2时，

　　∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，

　　∴x=2，

　　把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0得，22﹣6×2+n﹣1=0，

　　解得：

n=9，

　　当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，

　　故n=9不合题意，

　　②当a=b时，方程x2﹣6x+n﹣1=0有两个相等的实数根，

　　∴△=（﹣6）2﹣4（n﹣1）=0

　　解得：

n=10，

　　故选B．

　　4．（XX•株洲）有两个一元二次方程m：

ax2+bx+c=0；N：

cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（　　）

　　A．如果方程m有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根

　　B．如果方程m的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同

　　c．如果5是方程m的一个根，那么是方程N的一个根

　　D．如果方程m和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1

　　解：

A、如果方程m有两个相等的实数根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；

　　B、如果方程m的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；

　　c、如果5是方程m的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；

　　D、如果方程m和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；

　　故选D．

　　5．（XX•日照）已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（　　）

　　A．﹣2＜x1＜﹣1

　　B．﹣3＜x1＜﹣2

　　c．2＜x1＜3

　　D．﹣1＜x1＜0

　　解：

x2﹣x﹣3=0，

　　b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）=13，

　　x=，

　　方程的最小值是，

　　∵3＜＜4，

　　∴﹣3＞﹣＞﹣4，

　　∴﹣＞﹣＞﹣2，

　　∴﹣＞﹣＞﹣2，

　　∴﹣1＞＞﹣

　　故选：

A．

　　二、填空题

　　6．（XX秋•册亨县校级月考）用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=　41　，x1=　　，x2=　　．

　　解：

2x2﹣7x+1=0，

　　a=2，b=﹣7，c=1，

　　∴b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×2×1=41，

　　∴x==，

　　∴x1=，x2=，

　　故答案为：

41，，．

　　三、解答题

　　7．（XX秋•通山县期中）用公式法解方程：

2x2﹣4x=5．

　　解：

原方程可化为：

2x2﹣4x﹣5=0，

　　∵a=2，b=﹣4，c=﹣5，

　　∴b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×2×（﹣5）=56＞0，

　　∴x=\frac{4±\sqrt{56}}{4}=1±．

　　∴x1=1+，x2=1﹣．

　　8．（XX秋•金溪县校级月考）解方程：

2x2﹣2x﹣5=0．

　　解：

这里a=2，b=﹣2，c=﹣5，

　　∵△=8+40=48，

　　∴x==．

　　9．（XX春•石景山区期末）用公式法解方程：

x（x）=4．

　　解：

整理得：

x2+2x﹣4=0，

　　△=b2﹣4ac=

（2）2﹣4×1×（﹣4）=28，

　　x=，

　　x1=﹣+，x2=﹣﹣．

　　0．（XX•梅州）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．

（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；

（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．

　　解：

（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，

　　解得：

a＜3．

　　∴a的取值范围是a＜3；

（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：

　　，

　　解得：

，

　　则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．

　　1．（XX•咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．

（1）证明：

不论m为何值时，方程总有实数根；

（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

　　解：

（1）△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，

　　∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，

　　∴△≥0，

　　∴方程总有实数根；

（2）解方程得，x=，

　　x1=，x2=1，

　　∵方程有两个不相等的正整数根，

　　∴m=1或2，m=2不合题意，

　　∴m=1．

　　2．（XX•昆山市一模）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．

（1）求证：

无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2，求m的值．

　　解：

（1）∵△=（m+3）2﹣4（m+1）=m2+2m+5=（m+1）2+4＞0，

　　∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵x1、x2是原方程的两根，

　　∴x1+x2=﹣m﹣3，x1x2=m+1，

　　∵|x1﹣x2|=2，

　　∴（x1﹣x2）2=8，

　　∴（x1+x2）2﹣4x1x2=8，

　　∴（﹣m﹣3）2﹣4（m+1）=8，

　　∴m1=1，m2=﹣3．

　　3．（XX•南充一模）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）

（1）小明考查后说，它总有两个不相等的实数根．

（2）小华补充说，其中一个根与k无关．

　　请你说说其中的道理．

　　解：

（1）∵△=4（k﹣1）2﹣4k（k﹣2）=4＞0，

　　∴一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）总有两个不相等的实数根；

（2）当x=1时，k﹣2（k﹣1）+k﹣2=0，

　　即一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）有一根为1，

　　x=1是一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）的根，与k无关．