2414圆周角同步测控优化训练含答案.docx
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2414圆周角同步测控优化训练含答案
24.1.4圆周角
一、课前预习(5分钟训练)
1.在⊙O中,同弦所对的圆周角()
A.相等B.互补C.相等或互补D.都不对
2.如图24-1-4-1,在⊙O中,弦AD=弦DC,则图中相等的圆周角的对数有()
A.5对B.6对C.7对D.8对
图24-1-4-1图24-1-4-2
3.下列说法正确的是()
A.顶点在圆上的角是圆周角B.两边都和圆相交的角是圆周角
C.圆心角是圆周角的2倍D.圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
4.如图24-1-4-2,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=________度.
二、课中强化(10分钟训练)
1.如图24-1-4-3,把一个量角器放在∠BAC的上面,请你根据量角器的读数判断∠BAC的度数是()
A.30°B.60°C.15°D.20°
图24-1-4-3图24-1-4-4图24-1-4-5
2.如图24-1-4-4,A、B、C是⊙O上的三点,∠ACB=30°,则∠AOB等于()
A.75°B.60°C.45°D.30°
3.如图24-1-4-5,OB、OC是⊙O的半径,A是⊙O上一点,若已知∠B=20°,∠C=30°,则∠A=__________.
4.在半径为1的⊙O中,弦AB、AC分别是3和2,则∠BAC的度数是__
________.
5.如图24-1-4-6所示,设P、Q为线段BC上两定点,且BP=CQ,A为BC外一动点,当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时,△ABC是什么三角形?
试证明你的结论.
图24-1-4-6
三、课后巩固(30分钟训练)
1.如图24-1-4-7,已知⊙O中,AB为直径,AB=10cm,弦AC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC、AD和BD的长.
图24-1-4-7
2.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形,根据图24-1-4-8所表示的情形,四个工件哪一个肯定是半圆环形?
()
图24-1-4-8
3.已知A、C、B是⊙O上三点,若∠AOC=40°,则∠ABC的度数是()
A.10°B.20°C.40°D.80°
4.如图24-1-4-10
(1),已知△ABC是等边三角形,以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E.
(1)求证:
△DOE是等边三角形.
(2)如图24-1-4-10
(2),若∠A=60°,AB≠AC,则
(1)中结论是否成立?
如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.
图24-1-4-10
5.四边形ABCD中,AB∥
DC,BC=b,AB=AC=AD=a,如图24-1-4-11,求BD的长.
图24-1-4-11
6.在足球比赛中,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻,当甲带球冲到A点时,乙已跟随冲到B点,如图24-1-4-12.此时,甲自己直接射门好,还是迅速将球传给乙,让乙射门好?
图24-1-4-12
7.如图24-1-4-13所示,在小岛周围的APB内有暗礁,在A、B两点建两座航标灯塔,且∠APB=θ,船要在两航标灯北
侧绕过暗礁区,应怎样航行?
为什么?
图24-1-4-13
8.在探讨圆周角与圆心角的大小关系时,小亮首先考虑了一种特殊情况(圆心在圆周角的一边上)如图24-1-4-14
(1)所示:
图24-1-4-14
∵∠AOC是△ABO的外角,∴∠AOC=∠ABO+∠BAO.
又∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∴∠AOC=2∠ABO,
即∠ABC=
∠AOC.
如果∠ABC的两边都不经过圆心,如图24-1-4-14
(2)(3),那么结论会怎样?
请你说明理由.
9、如图24-1-4-15所示,已知AB为⊙O的直径,AC为弦,OD∥BC,交AC于D,BC=4cm.
(1)求证:
AC⊥OD;
(2)求OD的长;
(3)若∠A=30°,求⊙O的直径.
图24-1-4-15
10.如图24-1-4-16所示,AB是⊙O的直径,C、D、E都是⊙O上的点,则∠1+∠2=__________.
图24-1-4-16图24-1-4-17
11、如图24-1-4-17所示,AB为⊙O的直径,P、Q、R、S为圆上相异四点,下列叙述正确的是()
A.∠APB为锐角B.∠AQB为直角
C.∠ARB为钝角D.∠ASB<∠ARB
参考答案
一、课前预习(5分钟训练)
1.在⊙O中,同弦所对的圆周角()
A.相等B.互补C.相等或互补D.都不对
思路解析:
同弦所对的圆周角有两个不同的度数,它们互补.因此同弦所对的圆周角相等或互补.
答案:
C
2.如图24-1-4-1,在⊙O中,弦AD=弦DC,则图中相等的圆周角的对数有()
图24-1-4-1
A.5对B.6对C.7对D.8对
思路解析:
在同圆或等圆中,判断两个圆周角是否相等,即看它们所对的弧是否相等,因等角对等弧,等弧对等角.
先找同弧所对的圆
周角:
弧AD所对的∠1=∠3;弧DC所对的∠2=
∠4;弧BC所对的∠5=∠6;弧AB所对的∠7=∠8.找等弧所对的圆周角,因为弧AC=弧DC,所以∠1=∠4,∠1=∠2,∠4=∠3,∠2=∠3.由上可知,相等的圆周角有8对.
答案:
D
3.下列说法正确的是()
A.顶点在圆上的角是圆周角B.两边都和圆相交的角是圆周角
C.圆心角是圆周角的2倍D.圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
思路解析:
本题考查圆周角的定义.
答案:
D
4.如图24-1-4-2,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=度.
图24-1-4-2
思路解析:
根据圆周角定义,求得弧的度数是半圆周的一半.
答案:
90°
二、课中强化(10分钟训练)
1.如图24-1-4-3,把一个量角器放在∠BAC的上面,请你根据量角器的读数判断∠BAC的度数是()
A.30°B.60°C.15°D.20°
图24-1-4-3图24-1-4-4图24-1-4-5
思路解析:
根据圆周角与圆心角的关系解答.
答案:
C
2.如图24-1-4-4,A、B、C是⊙O上的三点,∠ACB=30°,则∠AOB等于()
A.75°B.60°C.45°D.30°
思路解析:
根据圆周角和圆心角的关系求得.
答案:
B
3.如图24-1-4-5,OB、OC是⊙O的半径,A是⊙O上一点,若已知∠B=20°,∠C=30°,则∠A=__________.
思路解析:
连结AO,则AO=OB,OA=OC,所以∠A=∠B+∠C=20°+30°=50°.
答案:
50°
4.在半径为1的⊙O中,弦AB、AC分别是3和2,则∠BAC的度数是__
________.
思路解析:
如图
(1)和图
(2),分两种情况,作直径AD,连结BD,易知∠BAD=30°,∠CAO=45°,∴∠BAC=15°或75°.
(1)
(2)
答案:
15°或75°
5.如图24-1-4-6所示,设P、Q为线段BC上两定点,且BP=CQ,A为BC外一动点,当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时,△ABC是什么三角形?
试证明你的结论.
图24-1-4-6
思路分析:
利用同圆和等圆中,等弧所对的弦相等.
解:
当∠BAP=∠CAQ时,△ABC是等腰三角形.
证明:
如图,作出△ABC的外接圆,延长AP、AQ交该圆于D、E,连结DB、CE,由∠BAP=∠CAQ,得弧BD=弧CE.
从而弧BDE=弧CED,所以BD=CE,∠CBD=∠BCE.又BP=CQ,
则△BPD≌△CQE,这时∠D=∠E,由此弧AB=弧AC,故AB=AC,
即△ABC是等腰三角形.
三、课后巩固(30分钟训练)
1.如图24-1-4-7,已知⊙O中,AB为直径,AB=10cm,弦AC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC、AD和BD的长.
图24-1-4-7
思路分析:
已知条件中若有直径,则利用圆周角定理的推论得到直角三角形,然后利用直角三角形的性质解题.
解:
∵AB是直径,∴∠ACB=∠ADB=90°.
在Rt△ACB中,BC=
=
=8.
∵CD平分∠ACB,∴弧AD=弧BD.∴AD=BD.
在Rt△ADB中,AD=BD=
AB=5
(cm).
2.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形,根据图24-1-4-8所表示的情形,四个工件哪一个肯定是半圆环形?
()
图24-1-4-9
思路解析:
本题考查圆周角定理的推论及圆周角定义在实际生产中的应用.认真观察图形,可得只有B符合定
理的推论.实际问题应读懂题意,看懂图形,并将实际问题转化成数学模型.
A和C中的直角显然不是圆周角,因此不正确,D中的直角只满足圆周角的一个特征,也不是圆周角,因而不能判断是否为半圆形.选B.
答案:
B
3.如图24-1-4-9,A、C、B是⊙O上三点,若∠AOC=40°,则∠ABC的度数是()
A.10°B.20°C.40°D.80°
思路解析:
由“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”解答.
答案:
B
4.如图24-1-4-10
(1),已知△ABC是等边三角形,以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E.
(1)求证:
△DOE是等边三角形.
(2)如图24-1-4-10
(2),若∠A=60°,AB≠AC,则
(1)中结论是否成立?
如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.
图24-1-4-10
思路分析:
△ABC是等边三角形,所以∠B、∠C均为60°,利用60°的圆周角定理,可知△DOB、△EOC均为等边三角形.第二种情形类似.
(1)证明:
∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=∠C=60°.
∵OB=OC=OE=OD,∴△OBD和△OEC都为等边三角形.
∴∠BOD=∠EOC=60°.∴∠DOE=60°.
∴△DOE为等边三角形.
(2)解:
当∠A=60°,AB≠AC时,
(1)中的结论仍然成立.
证明:
连结CD.∵BC为⊙O的直径,
∴∠BDC=90°.∴∠ADC=90°.
∵∠A=60°,∴∠ACD=30°.∴∠DOE=2∠ACD=60°.
∵OD=OE,∴△DOE为等边三角形.
5.四边形ABCD中,AB∥
DC,BC=b,AB=AC=AD=a,如图24-1-4-11,求BD的长.
图24-1-4-11
思路分析:
由AB=AC=AD=a可以
得到点B、C、D在以A为圆心,以a为半径的圆上,因而可以作出该圆,利用圆的知识解决该题.本题考查圆的定义和圆周角定理及其推论.
解:
∵AB=AC=AD=a,∴点B、C、D到A点距离相等.故以A为圆心,以a为半径作⊙A,并延长BA交⊙A于E,连结DE.
∵AB∥CD,∴弧
BC=弧DE.∴BC=DE=b.
∵BE为⊙A的直径,∴∠EDB=90°.
在Rt△EDB中,BD=
=
,∴BD的长为
.
6.在足球比赛中,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻,当甲带球冲到A点时,乙已跟随冲到B点,如图24-1-4-12.此时,甲自己直接射门好,还是迅速将球传给乙,让乙射门好?
图24-1-4-12
思路分析:
在真正的足球比赛中情况比较复杂,这里仅用数学方法从两点的静止状态来考虑,如果两个点到球门的距离相差不大,要确定较好的射门位置,关键是看这两点各自对球门MN的张角大小,当张角较小时,则容易被对方守门员拦截.
解:
考虑过M、N及A、B中任一点作圆,这里不妨过M、N、B作圆,则A点在圆外,设MA交⊙O于C,则∠MAN<∠MCN,而∠MCN=∠MBN,所以∠MAN<∠MBN.因此在B点射门为好.
7.如图24-1-4-13所示,在小岛周围的APB内有暗礁,在A、B两点建两座航标灯塔,且∠APB=θ,船要在两航标灯北
侧绕过暗礁区,应怎样航行?
为什么?
图24-1-4-13
思路分析:
根据圆周角定理和三角形内角和定理解答.船在航行过程中,始终保持对两灯塔A、B的视角小于θ,即可安全绕过暗礁区.
解:
船在航行过程中,始终保持对两灯塔A、B的视角小于θ,即可安全绕过暗礁区.
(1)在弧APB外任取一点C,连结CA、CB,设CA交弧APB于
F,连结FB.
∵∠AFB=∠θ,∠AFB>∠C,∴∠C<θ.
(2)在弧APB的弓形内任取一点D,连
结AD并延长交弧APB于E,连结DB、EB.∵∠E=θ,∠ABD>∠E,∴∠ADB>θ.
由
(1)
(2)知,在航标灯A、B所在直线北侧,在圆弧弧APB外任一点对A、B
的视角都小于θ;在圆弧弧APB上任一点对A、B的视角都等于θ;在圆弧弧APB内任一点对A、B的视角都大于θ.为此只有当对两灯塔的视角小于θ的点才是安全点.
8.在探讨圆周角与圆心角的大小关系时,小亮首先考虑了一种特殊情况(圆心在圆周角的一边上)如图24-1-4-14
(1)所示:
图24-1-4-14
∵∠AOC是△ABO的外角,∴∠AOC=∠ABO+∠BAO.
又∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∴∠AOC=2∠ABO,
即∠ABC=
∠AOC.
如果∠ABC的两边都不经过圆心,如图24-1-4-14
(2)(3),那么结论会怎样?
请你说明理由.
思路分析:
本题设计很巧妙,实际上是圆周角定理的证明,可分三种情况讨论:
(1)圆心在圆周角的一边上(是已给的情况);(2
)圆心在圆周角内部;(3)圆心在圆周角外部.
解:
如果∠ABC的两边都不经过圆心,
结论∠ABC=
∠AOC仍然成立.
(1)对图
(2)的情况,连结BO并延长交圆O
于点D,
由题图
(1)知:
∠ABD=
∠AOD,
∠CBD=
∠COD.
∴∠ABD+∠CBD=
∠AOD+
∠COD,
即∠ABC=
∠AOC.
(2)对图(3)的情况仿图
(2)的情况可证.
9、如图24-1-4-15所示,已知AB为⊙O的直径,AC为弦,OD∥BC,交AC于D,BC=4cm.
(1)求证:
AC⊥OD;
(2)求OD的长;
(3)若∠A=30°,求⊙O的直径.
图24-1-4-15
思路分析:
根据圆周角定理的推论以及三角形中位线定理计算.
(1)证明:
∵AB是⊙O的直径,∴∠C=90°.
∵OD∥BC,∴∠ADO=∠C=90°.∴AC⊥OD.
(2)解:
∵OD∥BC,又∵O是AB的中点,∴OD是△ABC的中位线.
∴OD=
BC=
×4=2(cm).
(3)解:
∵∠A=30°,在Rt△ABC中,∠A=30°,
∴BC=
AB.
∴AB=2BC=8(cm),即⊙O的直径是8cm.
10.如图24-1-4-16所示,AB是⊙O的直径,C、D、E都是⊙O上的点,则∠1+∠2=__________.
思路解析:
∠1所对的弧是弧AE,∠2所对的弧是弧BE,而弧AE+弧BE=弧AB是半圆,因此连结AD,∠ADB的度数是90°,所以∠ADB=∠1+∠2.本题也可以连结EO,得到圆心角∠EOA和∠EOB,而∠EOA+∠EOB=180°,所以∠1+∠2=90°,这是圆周角定理的直接应用.
答案:
90°
图24-1-4-16图24-1-4-17
11、如图24-1-4-17所示,AB为⊙O的直径,P、Q、R、S为圆上相异四点,下列叙述正确的是()
A.∠APB为锐角B.∠AQB为直角
C.∠ARB为钝角D.∠ASB<∠ARB
思路解析:
AB为直径,根据直径所对的圆周角是直角,所以∠APB、∠AQB、∠ARB、∠ASB都是直角.由于
四个角都是直角,所以∠ASB=∠ARB=90°.
答案:
B