初二上学期数学经典例题.docx

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初二上学期数学经典例题

等腰三角形

经典例题透析

类型一：

与度数有关的计算

1．如图，在△ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，∠1=30°，求∠2的度数。

　　思路点拨：

解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2=∠1+∠C，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C=∠B，所以把问题转化为欲找出∠2与∠B之间有什么关系，变成△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了。

　　解析：

∵AB=AC

　　　　　∴∠B=∠C

　　　　　∵AB=BD

　　　　　∴∠2=∠3

　　　　　∵∠2=∠1+∠C

　　　　　∴∠2=∠1+∠B

　　　　　∵∠2+∠3+∠B=180°

　　　　　∴∠B=180°－2∠2

　　　　　∴∠2=∠1+180°－2∠2

　　　　　∴3∠2=∠1+180°

　　　　　∵∠1=30°

　　　　　∴∠2=70°

　　总结升华：

关于角度问题可以通过建立方程进行解决。

　　举一反三：

　　【变式1】如图，D、E在△ABC的边BC上，且BE=BA，CD=CA，若∠BAC=122°，求∠DAE的度数。

　　【答案】∵BE=BA

　　　　　　∴∠2=∠BAE

　　　　　　∵CD=CA

　　　　　　∴∠1=∠CAD

　　　　　　∵∠1+∠CAD+∠C=180°

　　　　　　∴∠1=

　　　　　　∵∠2+∠BAE+∠B=180°

　　　　　　∴∠2=

　　　　　　∴∠1+∠2=

　　　　　　∵∠B+∠C=180°－∠BAC

　　　　　　∴∠1+∠2=

　　　　　　∵∠DAE=180°－（∠1+∠2）

　　　　　　∴∠DAE=90°－

=90°－61°=29°。

　　【变式2】在△ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且AD=AE，∠BAD=30°，求∠

EDC的度数。

　　【答案】∵AB=AC，AD=AE

　　　　　　∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED

　　　　　　∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=∠B+∠BAD

　　　　　　∴∠AED+∠EDC=∠C+∠BAD

　　　　　　∵∠AED=∠C+∠EDC

　　　　　　∴∠C+2∠EDC=∠C+∠BAD

　　　　　　∴∠EDC=

∠BAD=15°。

类型二：

等腰三角形中的分类讨论

2．当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论

（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长。

（2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。

　　思路点拨：

由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。

　　解析：

（1）因为8+8＞10，10+10＞8，则在这两种情况下都能构成三角形；

　　　　　　　当腰长为8时，周长为8+8+10=26；

　　　　　　　当腰长为10时，周长为10+10+8=28；

　　　　　　　故这个三角形的周长为26cm或28cm。

（2）当腰长为3时，因为3+3＜7，所以此时不能构成三角形；

　　　　　　　当腰长为7时，因为7+7＞3，所以此时能构成三角形，因此三角形的周长为：

7+7+3=17；

　　　　　　　故这个三角形的周长为17cm。

　　总结升华：

对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形

　　举一反三：

　　【变式1】当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数

　　【答案】

（1）当底角是顶角的4倍时，设顶角为x，则底角为4x，

　　　　　　　　　∴4x+4x+x=180°，∴x=20°，∴4x=80°，

　　　　　　　　　于是三角形的各个内角的度数为：

20°，80°，80°。

（2）当顶角是底角的4倍时，设底角为x，则顶角为4x，

　　　　　　　　　∴x+x+4x=180°，∴x=30°，∴4x=120°，

　　　　　　　　　于是三角形的各个内角的度数为：

30°，30°，120°。

　　　　　　　　　故三角形各个内角的度数为20°，80°，80°或30°，30°，120°。

　　【变式2】当高的位置关系不确定时，必须分类讨论等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数。

　　【答案】

　　设AB=AC，BD⊥AC；

（1）高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC的内部，

　　　　如右图，∵∠DBC=25°，∴∠C=90°-∠DBC=90°-25°=65°，

　　　　∴∠ABC=∠C=65°，∠A=180°-2×65°=50°。

（2）当高与另一腰的夹角为250时，　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　①如右图，高在△ABC内部时，　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　当∠ABD=25°时，∠A=90°-∠ABD=65°，

　　　　　∴∠C=∠ABC=（180°-∠A）÷2=57.5°；　　　　　　　　

　　　　②如下图，高在△ABC外部时，∠ABD=25°，　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-25°=65°，∴∠BAC=180°-65°=115°，

　　　　　∴∠ABC=∠C=（180°-115°）÷2=32.5°

　　　　　故三角形各内角为：

65°，65°，50°或

　　　　　65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°。

　　【变式3】由腰的垂直平分线所引起的分类讨论在△ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角B的度数。

　　分析：

题目中AB边上的垂直平分线与直线AC相交有两种情形；

　　解：

（1）如图，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，

　　　　　　∠ADE=40°，

　　　　　　则∠A=900-∠ADE=50°，

　　　　　　∵AB=AC，∴∠B=（180°-50°）÷2=65°。

（2）如图，AB边的垂直平分线与直线AC的反向

　　　　　　延长线交于点D，∠ADE=40°，则∠DAE=50°

　　　　　　∴∠BAC=130°，∵AB=AC，∴∠B=（180°-130°）÷2=25°

　　　　　　故∠B的大小为65°或25°。

　　【变式4】由腰上的中线引起的分类讨论等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线

把其周长分成差为3cm的两部分，求腰长。

　　【答案】

　　如图，∵BD为AC边上的中线，∴AD=CD，

（1）当（AB+AD）-（BC+CD）=3时，则AB-BC=3，

　　　　∵BC=5∴AB=BC+3=8；

（2）当（BC+CD）-（AB+AD）=3时，则BC-AB=3，

　　　　∵BC=5∴AB=BC-3=2；

　　　　但是当AB=2时，三边长为2，2，5；

　　　　而2+2＜5，不合题意，舍去；

　　　　故腰长为8。

类型三：

证明题

3．（2011山东德州）如图AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．

（1）求证AD=AE；

（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．

　　思路点拨：

（1）根据全等三角形的判定方法，证明△ACD≌△ABE，即可得出AD=AE，

（2）根据已知条件得出△ADO≌△AEO，得出∠DAO=∠EAO，即可判断出OA是∠BAC的平分线，根据等腰

　　　　三角形三线合一可得OA⊥BC．

　　解析：

（1）证明：

在△ACD与△ABE中，

　　　　　　　∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC，

　　　　　　　∴△ACD≌△ABE，

　　　　　　　∴AD=AE．

（2）互相垂直，

　　　　在Rt△ADO与△AEO中，

　　　　∵OA=OA，AD=AE，

　　　　∴△ADO≌△AEO，

　　　　∴∠DAO=∠EAO，

　　　　即OA是∠BAC的平分线，

　　　　又∵AB=AC，

　　　　∴OA⊥BC．

　　总结升华：

在等腰三角形中，应用三线合一的性质是解决垂直问题的一种方法。

　　举一反三：

　　【变式1】已知：

如图，∠ABC，∠ACB的平分线交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E。

　　求证：

BD＋EC＝DE。

　　分析:

因为DE＝DF＋FE，即结论为BD＋EC＝DF＋FE，分别证明BD＝DF，CE＝FE即可，于是运用“在同一三角形中，等角对等边”易证结论成立。

　　解析：

∵DE∥BC，

　　　　∴∠3＝∠2（两直线平行，内错角相等）

　　　　又∵BF平分∠ABC

　　　　∴∠1＝∠2

　　　　∴∠1＝∠3

　　　　∴DB＝DF（等角对等边）

　　　　同理：

EF＝CE，

　　　　∴BD＋EC＝DF＋EF

　　　　即BD＋EC＝DE。

　　【变式2】已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，CD⊥AB（如图所示）。

　　求证：

（1）AB＝2BC；　　　

（2）CE＝AE＝EB。

　　【答案】

（1）∵CE、CD三等分∠ACB

　　　　∴∠1＝∠2＝∠3＝30°

　　　　又∵CD⊥AB，∴∠B＝60°，∠A＝30°

　　　　在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AB＝2BC

（2）∵∠A＝∠1＝30°

　　　　∴CE＝EA

　　　　又∵∠B＝∠BCE＝60°

　　　　∴△BCE是等边三角形，∴EC＝EB

　　　　∴CE＝EA＝EB

　　【变式3】已知：

如图，

中，AB＝AC，

，AD＝CE，求

的度数。

　　分析：

这道题综合考查了等边三角形的性质与判定，并借助全等三角形，使问题加以解决。

　　解：

在

中，

AB＝AC，

　　　　∴

为等边三角形（有一个角为60

的等腰三角形是等边三角形）

　　　　　∴AC＝BC，

　　　　在

和

中

≌

（SAS）

　　　　∴

（全等三角形对应角相等）

（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）

　　　　∴

　　【变式4】已知：

如图，B、C、E三点共线，

，

都是等边三角形，连结AE、BD分别较CD、AC于N、M，连结MN。

　　求证：

AE＝BD，MN//BE

　　分析：

本题应从等边三角形的性质出发，利用三角形全等证明AE=BD；为证明MN//BE，可先证明三角形MNC为等边三角形，再利用角去转化证明。

　　证明：

，

都是等边三角形

　　　　　∴BC＝AC，CE＝CD，

　　　　　∴

　　　　　在

和

中

（已证）

≌

（SAS）

　　　　　∴BD＝AE（全等三角形对应边相等）

（全等三角形对应角相等）

　　　　　在

和

中

（已证）

≌

（ASA）

　　　　　∴MC＝NC（全等三角形对应边相等）

　　　　　∴

是等边三角形（有一个角为60

的等腰三角形是等边三角形）

　　　　　∴

　　　　　∴

（内错角相等，两直线平行）

类型四：

探究型题目

4．如图1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，请你设计三种不同的分法，把△ABC分割成两个三角形，且要求其中有一个是等腰三角形。

（在等腰三角形的两个底角处标明度数）

　　思路点拨:

在三角形中，“等边对等角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考虑。

下面提供四种分割方法供大家参考。

　　解析：

　　总结升华：

对图形进行分割是近年来出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，本类题目的答案有时不唯一。

　　举一反三：

　　【变式1】如图1，给你一张三角形纸片，其中AB=AC，∠A=36°，将此纸片按图2中的线剪开，可以将原三角形分成三个等腰三角形，那么

（1）能否仿照图2，再设计几种不同的分割方法，将原三角形纸片分为3个三角形，使得每个三角形都为等腰三角形．（要求：

在图中标出分得的每个等腰三角形的三个内角的度数，至少画出两种）．

（2）你能用此三角形纸片剪出4个等腰三角形吗?

　　解析：

此题看似简单，但检验一个人思维的发散程度和一定的创造性，做全了不易，要注意多体会积累，提供一些参考答案，看看能否启迪你的创造力

轴对称

经典例题透析

类型一：

对称轴问题

1、观察下图中的图案，问这些轴对称图形，各有几条对称轴?

　　思路点拨：

对于一个图形的对称轴一定要按定义全方位地去找或按照定义实际操作一下，否则就容易造成漏解或找不到对称轴。

　　解：

①有4条对称轴．②有1条对称轴．③有2条对称轴．

　　总结升华：

这类图形必须得认真观察、分析每个图形的特征，最好能动手操作一下．

　　举一反三

　　【变式1】试说出下列图形的对称轴的条数。

（1）线段；

（2）角；（3）平行线（两条）。

　　解析：

（1）线段沿着本身所在直线或沿着它的中垂线折叠，两旁的部分能够完全重合。

故线段有两条对称

　　　　轴；

（2）角沿着它的平分线所在直线对折，两旁的部分能够完全重合，故只有一条对称轴，即角平分线所

　　　　在直线；

　　（3）两条平行线，沿着和它们都平行且到它们距离相等的一条直线或沿着和它们都垂直的直线对折，

　　　　两旁的部分能够重合．而和它们都垂直的直线有无数条故它的对称轴有无数条．

　　综上，线段、角、两条平行线的对称轴分别是2条、l条、无数条．

类型二：

轴对称图形的作法

2、已知△ABC，直线l．求作

，使

和△ABC关于l对称．

　　思路点拨：

作一个图形关于已知直线的对称图形关键是作出一些特殊点关于已知直线的对称点，所谓的特殊点，即可以决定图形的大小和形状的点，一般来说一个多边形的特殊点就是它的各个

顶点．

　　作法：

如下图所示：

　　　　　①作AO⊥l于O，并延长AO至

使

，

　　　　　　则

就是A点关于

的对称点．

　　　　　②同样可以作出B点关于

的对称点的

．

　　　　　③由于C在对称轴

上，故C关于

的对称点

就是它本身．

　　　　　④连接

、

、

．

就是所求的三角形，如图所示．

　　总结升华：

由作对称图形的步骤和方法可知，关键是找出每个图形的特殊点，再作出这个特殊点关于直线l的对称点．最后把对称点按原图那样连接起来．

　　举一反三

　　【变式1】如图，△ABC和△DEF是两个成轴对称的图形，请画出它的对称轴

　　作法：

①连结CF

　　　　　②作CF的垂直平分线

，

即为所求

　　【变式2】如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下一角，则展开后所得的图形是（）．

　　解析：

逆回去思考

类型三：

中垂线问题

3、如图所示，在△ABC中，AC=10cm，AB的中垂线交AB于E,交AC于D，△DBC的周长为16cm，求BC的长．

　　思路点拨：

欲求BC长，只需求出DB+DC。

而DE垂直平分AB，故DA=DB，此题可解．

　　解析：

∵DE垂直平分AB，

　　　　　∴DA=DB．

　　　　　∴DB+DC=DA+DC=AC=10cm．

　　　　　又∵DB+DC+BC=16cm．

　　　　　∴BC=16-（DB+DC）

　　　　　　　=16-10

　　　　　　　=6（cm）．

　　总结升华：

借助三角形周长，求其一边，只需求出另两边之和，不一定非得把另两边都求出来。

　　举一反三

　　【变式1】如图所示，AD垂直平分BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。

求证DE=DF。

　　思路点拨：

欲证DE=DF，只需证AD是∠BAC的平分线．而AD是BC中垂线可得B、C两点关于AD对称，故△ABD和△ACD关于AD对称，则可得∠BAD=∠CAD．

　　证明：

∵AD是BC的中垂线，

　　　　　∴B、C关于AD对称．

　　　　　又∵A、D在直线AD上，

　　　　　∴A和它本身对称，D也和它本身对称．

　　　　　∴△ABD和△ACD关于AD对称．

　　　　　故∠BAD和∠CAD能够重合．

　　　　　∴∠BAD=∠CAD．

　　　　　又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

　　　　　∴DE=DF．

　　总结升华：

注意不要一看见中垂线就想得出到线段两端距离相等．要认真分析题意，看清该题到底需要什么结论．

　　【变式2】（2011重庆綦江）为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．

　　要求：

写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．

　　分析：

根据垂直平分线的性质得出，两垂直平分线的交点即是所求答案．

　　解答：

已知A村、B村、C村，

　　　　　求作新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等；

类型四：

最短路问题

4、在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使△PCD的周长最短．

　　思路点拨:

△PCD的周长等于PC+CD+PD，要使△PCD的周长最短，根据两点之间线段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点P关于直线OA和OB的对称点E、F，则△PCD的周长等于线段EF的长．

　　解析：

　　作法：

如图．①作点P关于直线OA的对称点E；

　　　　　　　　②作点P关于直线OB的对称点F；

　　　　　　　　③连接EF分别交OA、OB于点C、D．则C、D就是所要求作的点．

　　证明：

连接PC、PD，则PC=EC，PD=FD．

　　　　　在OA上任取异于点C的一点H，连接HE、HP、HD，则HE=HP．

　　　　　∵△PHD的周长

　　　　　=HP+HD+PD=HE+HD+DF>ED+DF=EF

　　　　　而△PCD的周长

　　　　　=PC+CD+PD=EC+CD+DF=EF

　　　　　∴△PCD的周长最短．

　　总结升华：

本题主要是通过作对称点的方法得出结论，并利用了对称线段相等，三角形两边之和大于第三边的性质推得所作的图形符合条件，这是道综合性的应用问题。

　　举一反三：

　　【变式】草原上两个居民点A、B在河流a的同旁，一汽车从A出发到B，途中需要到河边加水。

汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？

在图上画出该点。

　　思路点拨：

若P为直线a上的点，则要使PA+PB最小与线段有关的结论是两点之间线段最短，当把PA+PB转化成为一条线段时，点P就是符合条件的点

　　解析：

作点A关于直线a的对称点A′，连接A′B交直线a于点P，点P就是所求的点。

　　说明：

此时PA+PB=A′B，设点C是直线a上另一点，则CA+CB=CA′+CB＞A′B（三角形两边之和大于第三边）所以，PA+PB是最短的

类型五：

坐标系中的对称问题

5、如图，

（1）请写出△ABC中各顶点的坐标．

（2）在同一坐标系中画出直线m：

x=-1，并作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′．（3）若P（a，b）是△ABC中AC边上一点，请表示其在△A′B′C′中对应点的坐标．

　　思路点拨：

直线m：

x=-1表示直线m上任意一点的横坐标都等于-1，因此过点（-1，0）作y轴的平行线即直线m．画出直线m后，再作点A、C关于直线m的对称点A′、C′，而点B在直线m上，则其关于直线m对称的点B′就是点B本身．

　　解析：

（1）△ABC中各顶点的坐标分别是A（1，4）、B（-1，1）、C（2，-1）

（2）过点（-1，0）作y轴的平行线m，即直线x=-1．

　　（3）分别作点A、B、C关于直线m对称的点A′（-3，4）、B′（-1，1）、C′（-4，-1），并对顺次连

　　　　接A′、B′、C′三点，则△A′B′C′即为所求．

　　（4）观察发现三组对称点的纵坐标没有变化．而横坐标都可以表示为2×（-1）减去对应点的横坐

　　　　标．所以点P的对应点的坐标为（-2-a，b）。

　　总结升华：

2×（-1）中的-1即对称轴x=-1．若对称轴不是x=-1，而是y=2，相信聪明的你是一定能作出对称的三角形的，也一定能发现其中坐标变化的规律．

　　举一反三：

　　【变式】（2011四川眉山）如图．图中的小方格都是边长为1的正方形．△ADC的顶点坐标为A（0，

）、B（3，

）、C（2，1）．

（1）请在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△AB′C′；

（2）写出点B′和C′的坐标。

　　解答：

（1）如图所示：

（2）B′（-3，-1），C′（-2，1）

全等三角形单元复习与巩固

经典例题透析

类型一：

全等三角形的性质

1．如图，△ABC≌DEF，DF和AC，FE和CB是对应边。

若∠A=100°，∠F=47°，则∠DEF等于（）

　　A.100°　　　B.53°　　　C.47°　　　D.33°

　　思路点拨：

抓住全等三角形的性质：

对应边相等，对应角相等，找准对应边和对应角。

　　解析：

由△ABC≌DEF，∠A与∠D对应，∠DEF和∠B对应，

　　　　　所以在△DEF中，∠DEF=180°-100°-47°=33°，选D。

　　举一反三：

　　【变式】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，△ABC≌△

，若

恰好经过点B，

交AB于D，则∠BDC的度数为（）

　　A.50°　　　B.60°　　　C．62°　　　D.64°

　　分析：

由全等三角形性质得∠B和∠B’=70°，因为

恰好经过点B，所以△

为等腰三角形，

　　　　　∠

=70°，∠BDC=∠C+∠

=20°+40°=60°。