材料科学中的试验设计与分析课件作者张忠明第4章节方差分析与析因实验.pptx

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第4章方差分析与析因实验,析因实验：

通过对试验结果观测值的波动（变差）的分析，寻找影响结果的主要因素，判断因素的影响是否显著的一种方法。

常借助于对试验数据的方差分析来实现。

4.1方差分析简述4.2单因素试验的方差分析4.3双因素试验的方差分析,1/21/2022,1,一、变差及变差平方和的加和性:

1、变差（残差）Ri：

表示n个试验结果xi间的差异。

2、变差平方和SS：

（变差的数量表示方法）,1/21/2022,2,3、方差S：

变差平方和SS与其自由度f之比。

也叫平均变差平方和。

4.1方差分析简述,4、变差平方和的加和性:

当一组观测值受多个因素的影响时，这组观测值的总变差平方和等于各因素所引起的变差平方和之和。

推论：

将实验结果中的总变差平方和分解成来自每一主要因素交互、作用因素和试验误差的平方和，通过比较各因素的变差平方和的大小，即可判断各个因素对总结果影响的显著性。

1/21/2022,3,1/21/2022,4,二、方差分析的基本原理不同组的均值间的差别基本来源有两个：

随机误差如测量误差造成的差异，称为组内差异，用指标值在各组的均值与该组内指标值之变差平方和的总和表示也，称为误差变差平方和。

实验条件即不同因素或因素不同的水平造成的差异，称为组间差异。

用指标值在各组的均值与总均值之变差平方和表示，称为因素变差平方和。

误差变差平方和与因素变差平方和除以各自的自由度，可得到各自的平均变差平方和，即方差。

而当因素的变化对指标确有影响时，组间差异是随机误差与因素变化共同作用的结果，说明各样本来自不同总体，此时因素的方差远远大于误差的方差。

三、方差分析的基本过程,

（1）将各因素的变差平方和分别除以各自的自由度，求得各因素的方差和误差的方差。

，,计算F值。

用F检验法检验因素及其交互作用的显著性。

把作为检验因素显著性的判别尺度，即F的临界值。

如果，则判定因素i的影响显著。

1/21/2022,5,1/21/2022,6,4.2单因素试验的方差分析,试验中，使其他因素都尽量维持不变而只对一个因素的水平加以变化，以检验该因素的影响是否显著的方法。

一、单因素方差分析的基本原理因素A：

p个水平，记为Ai（i=1，2，.，p，水平数）；每水平测试重复n次，数据记为yiz（z1，2，.，n，测量数次）。

表4-1A因素不同水平和测试次序下的测试结果,1/21/2022,7,因素的水平,测试次序z,1,2,n,yiz表示在因素A的第i个水平下，第z次的试验结果。

i水平下数据结果的平均值：

（列内）,全部测试数据结果的总平均值：

总变差的平方和：

1、方差分析的前提1）每一个试验条件看成一个总体（p个总体，每个总体n个数据）。

p个总体相互独立。

每个总体属于正态分布。

2）每个总体中的方差S2相同。

1/21/2022,8,2、总变差平方和的分解,令,1/21/2022,9,误差平方和SS：

各水平下变差平方和之总和。

由实验误差造因成素。

变差平方和SSA：

各水平的均值与总平均值的变差平方和之总和。

表示了因素A水平变化对实验结果所造成的变差。

3、方差因素方差误差方差SSA的自由度fa：

fap-1SS的自由度fe：

fp（n-1）N-pSST的自由度fT：

SST中独立偏差的个数。

fTpn-1=N-1.比较因素方差与误差方差的大小，可判断因素A所引起的结果波动是否比误差引起的波动大。

1/21/2022,10,4、F函数5、F检验步骤：

1、计算因素方差MSA和误差方差MS及观测值的F值。

2、选取显著性水平。

从F分布表（附录3）上查F检验的临界值。

3、如果FAF，认为因素A对试验结果变差的影响在下显是著的；反之，不显著。

显著程度分级：

（1）如FF0.0l，特别显著；

（2）如F0.01FF0.05，显著；（3）如F0.05FF0.10，有一定影响。

1/21/2022,11,1/21/2022,12,例4-1在热水管工作温度和充液率一定的稳定工况下，为考察添加剂浓度对热水管传热系数h0（Wm3.）的影响，选4取种浓度的某添加剂，各进行4次测定。

试验结果列入表5-3。

试分析在风险度取0.05时，添加剂浓度对热水管传热系数的,影响是否显著？

添加剂的浓度取多大合适？

表4-2不同添加剂浓度（ppm）对热水管传热系数h0的影响,解：

有4种添加剂浓度，因素的水平数p=4；每个水平下重复进行4次试验，n=4。

因此总的试验次数N=pn=16。

总自由度fT=N-1=15，因素自由度fA=p-1=3，误差自由度f=p（n-1）=12全部测试数据结果总和T为：

各水平下n次试验结果总和的平方和为：

全部测试数据的平方和为：

1/21/2022,13,求因素变差平方和SSA和误差平方和SS,fA=p-1=3，f=p（n-1）=12,计算方差:

1/21/2022,14,比较F值:

F0.01（3,12）=5.95，F0.05（3,12）=3.49；F0.05（3,12）FAF0.01（3,12）结论：

在风险度0.05时，添加剂浓度对热水管传热系数的影响显著。

浓度取4ppm左右时最理想。

1/21/2022,15,计算F值:

4.3双因素试验的方差分析,交互作用：

不同因素不同水平互相搭配联合起来影响试验结果交。

叉分组：

把因素A、B的每个水平都搭配到。

表4-3双因素交叉分组试验方案,因素A的p个水平,因素B的q个水平,一、无重复无交互作用的双因素交叉分组试验,表4-4双因素交叉分组试验,（i=1，2，p）（j=1，2，q）,1/21/2022,17,因素A的水平,因素B的水平,1,2,j,q,1、总变差平方和SS为T,1/21/2022,18,令,（因素A的变差平方和。

由于因素A的水平变化引起的观测值波动）,（因素B的变差平方和，由于因素B的水平变化引起的观测值波动）（误差平方和）,2、自由度,fT=N-1=pq-1；fA=p-1；fB=q-1；f（q-1）,=（p-1）,1/21/2022,19,4、利用F检验法判断因素的显著性：

先用观测数据分别计算出F：

3、因素方差和误差方差,1/21/2022,20,将F（fA，f）与FA；F（fB，f）与FB分别进行比较。

，认为因素A对试验结果的影响显著；反,，认为因素B对试验结果的影响显著；反,如之不，显著；如之不，显著。

取显著性水平。

对因素A，在F分布表上查得临界值f）F；对（fA因，素B，查得临界值F（fB，f）。

1/21/2022,21,1/21/2022,22,例4-2对某型高速钢铣刀进行等温淬火工艺试验，以考察等温温度（因素A）和淬火温度（因素B）对铣刀硬度的影响。

已知等温温度和淬火温度对铣刀硬度的影响无交互作用。

根据专业知识和实践经验，等温温度和淬火温度各取三个水平，按析因试验安排试验方案，因素水平及试验结果如下表所示。

试判断在所选的水平范围内，等温温度和淬火温度对高速钢铣刀的硬度影响是否显著？

等温温度（A）,1210,1235,1250,分析：

对原始试验结果数据均减去66，并求出行总和、列总和及其平方，整理后的结果如下表。

1/21/2022,23,自由度：

fA=2；fB=2;,f=4;fT=8,1/21/2022,24,方差来源,方差计算,临界值,显著,AB,变差平方自由度表,方差分析,结论：

在所选的水平范围内，等温温度的水平变化对硬度无显著影响，而淬火温度的水平变化对硬度的影响显著。

1/21/2022,25,1/21/2022,26,二、考虑交互作用的双因素试验存在问题：

因素间的交互作用，常常是不容忽视的。

为了判断两个因素是否存在交互作用，必须做有重复的试验，否则交互作用和试验误差就难以区分。

设因素A有p个水平（A1，A2，.，Ai，Ap），因素B有q个水平（B1，B2，.，Bj，Bq），共有pq个不同的水平组合AiBj；每个水平组合AiBj重复进行n次测量（n2，为恒定水值平）组。

合AiBj的第z次测量值记为yijz，（z1，2，.，n）。

双因素重复交叉分组试验的试验结果,因素A的p个水平,因素B的q个水平j,1,2,q,1,y111,y112,y11ny211,y212,y21nyi11,yi12,yi1nyp11,yp12,y121,y122,y12ny221,y222,y22nyi21,yi22,yi2nyp21,yp22,y1j1,y1j2,y1jny2j1,y2j2,y2jnyij1,yij2,yijnypj1,ypj2,2,i,yp1n,yp2n,p1/21/2022,y1q1,y1q2,y1qny2q1,y2q2,y2qnyiq1,yiq2,yiqnypq1,ypq2,ypqn27,ypjn,徐春杰-西安理工大学材料学院,（水平组合AiBj的n个重复测量值的平均值）,（i=1，2，p）,（Ai水平下（指“行”的）试验数据之均值）,（j=1，2，q）,1/21/2022,28,（在Bj水平下（指“列”的）试验数据之均值）,定义：

1、变差平方和总变差平方和SST为：

1/21/2022,29,令：

则：

1/21/2022,30,（试验误差平方和）,（因素A的变差平方和）（因素B的变差平方和）,（因素A、B交互作用的变差平方和）,2、自由度,fT=pqn-1,fA=p-1，fB=q-1fAB=（p-1）（q-1）f=pq（n-1）,3、方差,4、F值,5、F检验,1/21/2022,31,例4-3为考查电极材料和环境温度对蓄电池输出电压的影响，采用3种电极材料和3个环境温度，并在每种实验组合下重复测量输出电压4次，实验方案及结果见下表4-3。

表4-3测量的输出电压值，Vl00,材料,10C,温度，C18C,27C,1#2#3#试分析电极材料和环境温度对蓄电池输出电压的影响。

1/21/2022,32,分析本例是双因素、有重复的实验，要考虑交互作用。

解p=3，q=3，n=4,1/21/2022,33,方差来源SS因素A（行,f,MS,计算值F,临界比F,显著性,10683.722,间）因素B（列间）交互作用AB,A,5341.86F=7.91,B,39118.72219559.36F=28.97,9613.78,4,AB,2403.44F=3.56,方差分析过程如下表,1/21/2022,34,1/21/2022,35,问题：

1、怎样才能减少实验次数呢？

2、某因素显著，其所有水平对试验结果的影响都显著吗？

对策：

正交试验设计。

下一章正交试验设计,练习思考题：

1、为了考查油、水和碱水3种冷却液对某种钢的淬后洛氏硬度（HRC）的影响，同一种冷却液下淬火3次，测得淬后硬度如下表所示。

以淬后硬度最高的冷却液为最优。

试分析冷却液种类对淬后硬度的影响是否显著？

并选择较优的冷却液种类。

不同淬火次序的测试值冷却液种类,1/21/2022,36,3、用3台同型号的机器生产规格相同的铝合金薄板。

现从3台机器生产出的薄板中各取5块，测出厚度值，结果如下表试。

分析各机器生产的薄板厚度有无显著差异（0.05）?

。

机器编号薄板的厚度/mm,1/21/2022,37,7、为分析人造纤维的抗拉强度受掺入其中的棉花的百分比的影响，现取5个棉花百分比15、20、25、30每和3个5棉花，百分比下对人造纤维的抗拉强度测试5次，结果列于下表。

问人造纤维的抗拉强度是否受掺入棉花百分比的影响（0.01）?

。

棉花的百分比/%人造纤维的抗拉强度/MPa,1/21/2022,38,9、已知影响某型号钢的冲击值的因素主要是含铜量和试验温度，不同含铜量和试验温度组合状态下冲击值的实测数据如下表。

试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异（0.05）。

不同试验温度下的测试结果含铜量/wt%,1/21/2022,39,12、考察两种摩擦速度和两个使用温度