高考排列组合专题突破.docx
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高考排列组合专题突破
高考排列组合专题突破
一排列组合不同问题解法
1（相邻问题并组法
题目中规定相邻的几个元素并为一个组（当作一个元素）参与排列（
【例1】A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右
边，那么不同的排法种数有[]
A（60种B（48种C（36种D（24种2（相离问题插空法
元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端（
【例2】七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是[]
A（1440B（3600
C（4820D（48003（定序问题缩倍法
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法（
【例3】A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果B必须站A的右边（A、B可不相邻），那么不同的排法种数有[]
A（24种B（60种
（90种D（120种C
4（标号排位问题分步法
把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成（
【例4】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有[]
A（6种B（9种
C（11种D（23种
5（有序分配问题逐分法
有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法（
【例5】有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有[]
A（1260种B（2025种
C（2520种D（5040种
四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是_________.
6（多元问题分类法
元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计（
【例6】由数字0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有[]
A（210个B（300个
C（464个D（600个
【例7】从1，2，3，„100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种,
【例8】从1，2，„100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少,
7（交叉问题集合法
某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n（A?
B）,n（A），n（B）,n（A?
B）
【例9】从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙
不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法,
8（定位问题优先法
某个（或几个）元素要排在指定位置，可先排这个（几个）元素，再排其他元素（
【例10】1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有________种（
9（多排问题单排法
把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理（
【例11】6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是[]
10（“至少”问题间接法
关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便（
【例13】从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有[]
A（140种B（80种
C（70种D（35种
11（选排问题先取后排法
从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法（
【例14】四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有________种
12（部分合条件问题排除法
在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求（
【例16】以一个正方体顶点为顶点的四面体共有[]13平均分组问题:
例一6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法:
（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本;
（2）分为三份，每份2本;
（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本;
（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本;
（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本。
例二有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数.
（1）全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置.
（2）全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边.
（3）全体排成一行，其中男生必须排在一起.
（4）全体排成一行，男、女各不相邻.
（5）全体排成一行，男生不能排在一起.
（6）全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变.
（7）排成前后二排，前排3人，后排4人.
（8）全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人.
14相同元素分配——档板分隔法
1把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数
220个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，求不同的放法种数.
15对等法:
1.期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序?
2.有10个人排在一排照相，问甲在已的右边的方法有几种,
16多面手问题（分类法---选定标准）
有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张,
二习题练习21二次函数y=ax+bx+c的系数a、b、c，在集合{,3，,2，,1，0，1，2，3，4}中选取3个不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条,2甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值两天班，若甲不值周一、乙不值周六，则可排出不同的值班表数为多少,
3七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是4某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
那么安排这6项工程的不同排法种数是
5马路上有编号为1，2，3„，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种,63个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种,7书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插
法,
xy228已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横，,1xy，,100ab，ab
坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有条9用1,2,3,4,5,6,7这七个数字组成没有重复数字的七位数中,，1，若偶数2,4,6次序一定,有多少个？
，2，若偶数2,4,6次序一定,奇数1,3,5,7的次序也一定的有多少个？
三难点突破
1走楼梯问题
例1:
欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有（）
（A）34种（B）55种（C）89种（D）144（分类法，递推法）a,a，ann,1n,2
2更列问题
个元素排成一列，所有元素各有一个不能占据的指定位置，且不把n（n,N），
同元素不能占据的指定位置也不同，我们把满足这种条件的一个排列叫做这些元素的一个更列。
例2:
五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有（）
（A）60种（B）44种（C）36种（D）24种a,（n,1）（a，a），显然，，再由递推关系有a,2,a,9，a,0,a,1nn,2n,11234a,445
例同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有（）（全国高考试题）
（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种3染色问题
例4:
用4种不同颜色涂四边形的4个顶点，要求每点染一种颜色，相邻的
顶点染不同的颜色，则不同的染色方法有（）
（A）84种（B）72种（C）48种（D）24种我们先把这个题目推广:
用种不同颜色给边形的个顶点染色（其AA？
Amnn12n
中，且为常数），每点染一种颜色，相邻的顶点染不同的颜色，不m,3,n,3m
同的染色方法有多少种,设不同的染色方法有种，现在我们来通过合理分布，an
恰当分类找出递推关系:
第一步:
染，有种染法;Am1
第二步:
染，有种染法;Am,12
同理，染均有种染法，最后染，如果仅考虑与不同AAAA,？
Am,13n,1nnn,1
n,1色，则仍有种染法，相乘得种染法，但要去掉与同色的染Am（m,1）Am,1n1法数，此时可将与合并看成一个点，得出需要排除的染法数为，所以AaAnn,11
n,13有，显然，。
a,m（m,1）,aa,Ann,13m
例1:
一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种。
例2:
某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分成6个部分（如图2），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法共有种。
（2003年天津理科高考试题）
5
511643
32
4图2
图1
4传球问题
例7:
甲、乙、丙、丁四人相互传球，第一次甲传给乙、丙、丁中的任一人，第二次由拿球者再传给其他人中任一人，这样共传了四次，则第四次球仍传回到甲的方法共有（）
（A）21种（B）42（C）24（D）27
n,1a,（m,1）,ann,1
1解法1:
分类法:
第一类:
没有一步两级，则只有一种走法;
第二类:
恰有一步是一步两级，则走完10级要走9步，9步中选一
1步是一步两级的，有种可能走法;C,99
第三类:
恰有两步是一步两级，则走完10级要走8步，8步中选两
2步是一步两级的，有种可能走法;C,288
12345依此类推，共有1，C，C，C，C，C=89，故选（C）。
98765
解法2:
递推法:
设走级有a种走法，这些走法可按第一步来分类，nn
第一类:
第一步是一步一级，则余下的级有a种走法;n,1n,1
a第二类:
第一步是一步两级，则余下的级有种走法，n,2n,2
所以a,a，a，又易得，由递推可得a,89，故选（C）。
a,1,a,2nn,1n,212102解:
首先我们把人数推广到个人，即个人排成一列，重新站队时，各人都nn
不站在原来的位置上。
设满足这样的站队方式有种，现在我们来通过合理分an
步，恰当分类找出递推关系:
第一步:
第一个人不站在原来的第一个位置，有种站法。
n,1
第二步:
假设第一个人站在第2个位置，则第二个人的站法又可以分为两类:
第一类，第二个人恰好站在第一个位置，则余下的个人有种站队方式;an,2n,2第二类，第二个人不站在第一个位置，则就是第二个人不站在第一个位置，第三个人不站在第三个位置，第四个人不站在第四个位置，„„，第个人不站在第n个位置，所以有种站队方式。
ann,1
由分步计数原理和分类计数原理，我们便得到了数列的递推关系式:
{a}n
，显然，，再由递推关系有，a,（n,1）（a，a）a,2,a,9a,0,a,1nn,2n,11234
，故应选（B）a,445
3解:
我们先把这个题目推广:
用种不同颜色给边形的个顶点AA？
Amnn12n染色（其中，且为常数），每点染一种颜色，相邻的顶点染不同的颜m,3,n,3m
色，不同的染色方法有多少种,
设不同的染色方法有种，现在我们来通过合理分布，恰当分类找出递推关an
系:
第一步:
染，有种染法;Am1
第二步:
染，有种染法;Am,12
同理，染均有种染法，最后染，如果仅考虑与不同AAAA,？
Am,13n,1nnn,1
n,1色，则仍有种染法，相乘得种染法，但要去掉与同色的染Am（m,1）Am,1n1法数，此时可将与合并看成一个点，得出需要排除的染法数为，所以AaAnn,11
n,13有，显然，。
a,m（m,1）,aa,Ann,13mn,1又本题中，颜色数，所以递推关系为:
，又a,4，3,am,4nn,1
33，所以（种），故选（A）。
a,A,24a,4，3,a,844334
4解:
先把这个题目进行推广:
个人相互进行次传球，m（m,N）n（n,N），，由甲先传，第一次甲传给其他个人中的任一人，第二次由拿球者再传给其m,1
他人中任一人，这样经过次传球，最后球仍回到甲手中的传球方法有多少种,n
（这里为常数）m
设不同的传球方法共有种，现在我们来通过合理分步，恰当分类找出递an
推关系:
第一步进行第一次传球:
甲传给其他人，有种传球方法;m,1
第二步进行第二次传球:
拿球者把球传给其他人，仍有种传球方法;m,1
同理，第三次、第四次、„„、第次传球都有种传球方法，最后n,1m,1
n,1进行第次传球，由于只能传给甲，故只有一次传球方法，相乘得种传n（m,1）球方法，但要注意第次传球不能传给甲，否则就不存在第次传球，因此要nn,1
去掉第次传球，球恰好传给甲的传球方法数，这就是由甲先传，经过次n,1n,1传球后球又回到甲手中的传球方法，显然，这里有种传球方法，所以有递推an,1
n,1关系:
，又易得，。
a,（m,1）,aa,0nn,11
n,1而在本题中，，所以，所以由递推可得，，a,3,aa,3,a,3m,4nn,121
23a,3,a,6,a,3,a,21，故本题应选（A）3243
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