高中数学教学论文 数形结合思想在解题中的应用.docx

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高中数学教学论文数形结合思想在解题中的应用

数形结合思想在解题中的应用

知识要点：

1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。

2．所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：

（1）实数与数轴上的点的对应关系；

（2）函数与图象的对应关系；

（3）曲线与方程的对应关系；

（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如三角函数等；

（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式。

3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在三角函数解题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。

这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。

考点一：

利用数形结合的方法解决有关方程和不等式问题：

【例题分析】

例1.若关于的方程的两根都在区间（－1，3）内，求的取值范围。

解：

由的图象可知，要使两根都在区间（－1，3）内，

只需，

同时成立，

解得，故

说明：

，其图象与轴交点的横坐标就是方程的根，根据函数图象的性质可以得出对应的方程情况。

其他函数和方程也可以类似得出解决的方法。

例2.已知，则方程的实根个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.1个或2个或3个

解：

判断方程的根的个数就是判断图象的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选B。

说明：

数形结合法可以解决一些既不是无理方程，也不是二次或三次方程的其他方程或不等式，也就是超越方程或者不等式。

例如本例题中的方程。

考点二：

利用数形结合法解决有关最大值最小值的问题

例3.如果实数满足，则的最大值为（）

A.B.C.D.

解：

等式有明显的几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为，半径，（如图），而则表示圆上的点与坐标原点（0，0）的连线的斜率，如此一来，该问题可转化为如下几何问题：

动点在以（2，0）为圆心，以为半径的圆上移动，求直线的斜率的最大值，由下图可见，当点在第一象限，且与圆相切时，的斜率最大，经简单计算，得最大值为

。

例4.已知满足的最大值与最小值。

解：

对于二元函数在限定条件下求最值问题，常采用构造直线的截距的方法来求之。

令，原问题转化为：

在椭圆上求一点，使过该点的直线斜率为3，且在轴上的截距最大或最小，由图形知，当直线与椭圆相切时，有最大截距与最小截距。

由，得，故的最大值为13，最小值为。

例5.求函数的值域。

几何法：

的形式类似于斜率公式，表示过两点的直线的斜率。

由于点在单位圆上（见下图）

显然，

设过的圆的切线方程为，则有，解得

即

函数值域为

考点三：

利用数形结合法解决其它问题：

例6.若集合，集合，且，则的取值范围为___________。

解：

，显然，表示以（0，0）为圆心，以3为半径的圆在轴上方的部分，（如图），而则表示一条直线，其斜率，纵截距为，由图形易知，欲使，即是使直线与半圆有公共点，显然的最小逼近值为，最大值为，即

例7.点是椭圆上一点，它到其中一个焦点的距离为2，为的中点，表示原点，则（）

A.B.C.4D.8

解：

（1）设椭圆另一焦点为，（如下图），则而

又注意到各为的中点

是的中位线

（2）若联想到第二定义，可以确定点的坐标，进而求中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出，但这样就增加了计算量，方法较之

（1）显得有些复杂。

例8.双曲线C的两个焦点是F1、F2，双曲线上任意一点P，过F2作∠F1PF2的平分线的垂线平分线交于M，则M的轨迹是

A.圆B.直线C.双曲线D.抛物线

解：

如图，PM是∠F1PF2的平分线，F2N是PM的垂线，则ΔF2PM和ΔNPM全等，所以F2M=MN，PF2=PN，根据双曲线的定义PF1-PF2=2a，所以NF1=2a，而在三角形F1NF2中OM为中位线，所以：

|OM|=a，所以M点的轨迹为以原点为圆心a为半径的圆。

说明：

数形结合法解决数学问题的关键是要找到数学量的几何意义或者几何图形的性质，然后根据题意构造几何图形，实现代数和几何的相互联系。

【模拟试题】

一.选择题：

1.方程的实根的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.函数的图象恰有两个公共点，则实数的取值范围是（）

A.B.

C.D.

3.设命题甲：

，命题乙：

，则甲是乙成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.不充分也不必要条件

4.若不等式的解集为，且，则的值为（）

A.1B.2C.3D.4

5.若时，不等式恒成立，则的取值范围为（）

A.B.C.D.

6.定义在上的函数在上为增函数，且函数的图象的对称轴为，则（）

A.B.

C.D.

二.填空题：

7.若对任意实数，都有，则，由小到大依次为______________。

8.若关于的方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围为___________。

9.函数的最小值为______________。

10.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是。

三.解答题：

11.若方程在上有唯一解，求的取值范围。

12.若不等式的解集为，且，求的取值范围。

13.设，试求下述方程有解时的取值范围：

【试题答案】

一.选择题：

1.C解：

画出在同一坐标系中的图象即可。

确定lgx=1的解为x=10，y=lgx在（0，+∞）内递增，

，所以

和

的图象应该有三个交点。

2.D解：

画出的图象。

情形1：

情形2：

3.A解：

命题甲：

，命题乙：

-3＜ｘ＜５，由甲可以得出乙，反之不成立

4.B解：

画出的图象，依题意，，从而，由

5.C解：

令，若，两函数图象如下图

（一）所示，显然当时，要使，只需使，即。

综上可知，当时，不等式对恒成立

若，两函数图象如右图

（二）所示，显然当时，不等式恒不成立。

6.A解：

的图象是由的图象向左平移2个单位而得到的，又知的图象关于直线（即轴）对称，故可推知，的图象关于直线对称，由在上为增函数，可知在上为减函数，依此易比较函数值的大小。

二.填空题：

7.解：

由知，的图象关于直线对称，又为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，由的图象，易知的大小。

8.解：

设画出两函数图象示意图，要使方程有四个不相等实根，只需使

9.解：

最小值为

对，联想到两点的距离公式，它表示点到Ａ（1，0）的距离；表示点到点Ｂ（3，3）的距离，于是表示动点到两个定点（1，0），（3，3）的距离之和，结合图形，易得。

10.解：

表示倾角为，纵截距为的直线族，而则表示以（0，0）为圆心，以1为半径的圆在轴上方的部分（包括圆与轴的交点）如下图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距，即

三.解答题：

11.解：

原方程等价于

则上述不等式组在

上只有一个解。

令在同一坐标系内，画出它们的图象。

其中注意，当且仅当两函数的图象在［0，3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当或时，原方程有唯一解，因此的取值范围为

说明：

一般地，研究方程时，需先将其作等价变形，使之简化，再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况。

12.解：

令，其中表示以（2，0）为圆心，以2为半径的圆在轴的上方的部分（包括圆与轴的交点），如下图所示，表示过原点的直线系，不等式的解即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应的值，由于不等式解集，因此只需要

的取值范围为

13.解：

将原方程化为

，且

令，它表示倾角为的直线系，

令，它表示焦点在轴上，顶点为的等轴双曲线在轴上方的部分，

原方程有解

两个函数的图象有交点，由下图知或

的取值范围为