九年级数学上册全册导学习型教学案人教版含答案.docx

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九年级数学上册全册导学习型教学案人教版含答案

九年级数学上册全册导学案（人教版含答案）

本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址　　第二十一章　一元二次方程

　　21．1　一元二次方程

　　.了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．

　　2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0及有关概念．

　　3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．

　　重点：

一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．

　　难点：

由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．

　　一、自学指导．

　　问题1：

　　如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

　　分析：

设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为__cm__，宽为__cm__．列方程__•＝3600__，化简整理，得__x2－75x＋350＝0__．①

　　问题2：

要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

　　分析：

全部比赛的场数为__4×7＝28__．

　　设应邀请x个队参赛，每个队要与其他____个队各赛1场，所以全部比赛共x（x－1）2__场．列方程__x（x－1）2＝28__，化简整理，得__x2－x－56＝0__．②

　　探究：

　　方程①②中未知数的个数各是多少？

__1个__．

　　它们最高次数分别是几次？

__2次__．

　　归纳：

方程①②的共同特点是：

这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数，并且未知数的最高次数是__2__的方程．

　　．一元二次方程的定义

　　等号两边都是__整式__，只含有__一__个未知数，并且未知数的最高次数是__2__的方程，叫做一元二次方程．

　　2．一元二次方程的一般形式

　　一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：

　　ax2＋bx＋c＝0．

　　这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．

　　点拨精讲：

二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．

　　二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．

　　．判断下列方程，哪些是一元二次方程？

　　x3－2x2＋5＝0；　　x2＝1；

　　5x2－2x－14＝x2－2x＋35；

　　22＝3；

　　x2－2x＝x2＋1;

　　ax2＋bx＋c＝0.

　　解：

．

　　点拨精讲：

有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．

　　2．将方程3x＝5化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

　　解：

去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x2－8x－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.

　　点拨精讲：

将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．

　　一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．

　　．求证：

关于x的方程x2＋2mx＋1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．

　　证明：

m2－8m＋17＝2＋1，

　　∵2≥0，

　　∴2＋1>0，即2＋1≠0.

　　∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．

　　点拨精讲：

要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2－8m＋17≠0即可．

　　2．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？

　　－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.

　　解：

将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．

　　点拨精讲：

要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．

　　二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．

　　．判断下列方程是否为一元二次方程．

　　1－x2＝0;

　　2＝3y；

　　2x2－3x－1＝0;

　　1x2－2x＝0；

　　2＝2;

　　9x2＝5－4x.

　　解：

是；不是；是；

　　不是；不是；是．

　　2．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值．

　　解：

∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，

　　　∴4a＋8－5＝0，

　　　解得a＝－34.

　　3．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：

　　4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；

　　一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.

　　解：

4x2＝25，4x2－25＝0；x＝100，x2－2x－100＝0.

　　学生总结本堂课的收获与困惑．

　　．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．

　　2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0，特别强调a≠0.

　　3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．

　　学习至此，请使用本课时对应训练部分．

　　21．2　解一元二次方程

　　21．2.1　配方法

　　.使学生会用直接开平方法解一元二次方程．

　　2.渗透转化思想，掌握一些转化的技能．

　　重点：

运用开平方法解形如2＝n的方程；领会降次——转化的数学思想．

　　难点：

通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如2＝n的方程．

　　一、自学指导．

　　问题1：

一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？

　　设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为__6x2__dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：

　　__10×6x2＝1500__，

　　由此可得__x2＝25__，

　　根据平方根的意义，得x＝__±5__，

　　即x1＝__5__，x2＝__－5__．

　　可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm.

　　探究：

对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程2＝5及方程x2＋6x＋9＝4?

　　方程2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为__2x－1＝±5__，即将方程变为__2x－1＝5和__2x－1＝－5__两个一元一次方程，从而得到方程2＝5的两个解为x1＝__1＋52，x2＝__1－52__．

　　在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．

　　方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成2＝4，进行降次，得到__x＋3＝±2__，方程的根为x1＝__－1__，x2＝__－5__.

　　归纳：

在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x2＝p或2＝p的形式，那么可得x＝±p或mx＋n＝±p.

　　二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．

　　解下列方程：

　　2y2＝8；　　　22＝50；

　　2＋4＝0;

　　4x2－4x＋1＝0.

　　解：

2y2＝8，　　22＝50，

　　　y2＝4，　　2＝25，

　　　y＝±2，　　x－8＝±5，

　　　∴y1＝2，y2＝－2；　　x－8＝5或x－8＝－5，

　　　　∴x1＝13，x2＝3；

　　2＋4＝0，　　　4x2－4x＋1＝0，

　　　2＝－4<0，　　　2＝0，

　　　∴原方程无解；　　2x－1＝0，

　　　　　∴x1＝x2＝12.

　　点拨精讲：

观察以上各个方程能否化成x2＝p或2＝p的形式，若能，则可运用直接开平方法解．

　　一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．

　　．用直接开平方法解下列方程：

　　2＝7;

　　y2＋2y＋1＝24；

　　9n2－24n＋16＝11.

　　解：

－1±73；－1±26；4±113.

　　点拨精讲：

运用开平方法解形如2＝p的方程时，最容易出错的是漏掉负根．

　　2．已知关于x的方程x2＋x－3＝0的一个根是1，求a的值．

　　解：

±1.

　　二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．

　　用直接开平方法解下列方程：

　　32－6＝0;

　　x2－4x＋4＝5；

　　9x2＋6x＋1＝4;

　　36x2－1＝0；

　　4x2＝81;

　　2＝25；

　　x2＋2x＋1＝4.

　　解：

x1＝1＋2，x2＝1－2；

　　　x1＝2＋5，x2＝2－5；

　　　x1＝－1，x2＝13；

　　　x1＝16，x2＝－16；

　　　x1＝92，x2＝－92；

　　　x1＝0，x2＝－10；

　　　x1＝1，x2＝－3.

　　学生总结本堂课的收获与困惑．

　　．用直接开平方法解一元二次方程．

　　2．理解“降次”思想．

　　3．理解x2＝p或2＝p中，为什么p≥0?

　　学习至此，请使用本课时对应训练部分．

　　21．2.1　配方法

　　．会用配方法解数字系数的一元二次方程．

　　2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．

　　重点：

掌握配方法解一元二次方程．

　　难点：

把一元二次方程转化为形如2＝b的过程．

　　．填空：

　　x2－8x＋__16__＝2；

　　9x2＋12x＋__4__＝2；

　　x2＋px＋__2__＝2.

　　2．若4x2－mx＋9是一个完全平方式，那么m的值是__±12__．

　　一、自学指导．

　　问题1：

要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长和宽分别是多少米？

　　设场地的宽为xm，则长为____m，根据矩形面积为16m2，得到方程__x＝16__，整理得到__x2＋6x－16＝0__．

　　探究：

怎样解方程x2＋6x－16＝0?

　　对比这个方程与前面讨论过的方程x2＋6x＋9＝4，可以发现方程x2＋6x＋9＝4的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2＋6x－16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？

　　解：

移项，得x2＋6x＝16，

　　两边都加上__9__即__2__，使左边配成x2＋bx＋2的形式，得

　　__x2__＋6__x__＋9＝16＋__9__，

　　左边写成平方形式，得

　　__2＝25__，

　　开平方，得

　　__x＋3＝±5__，　　

　　即__x＋3＝5__或__x＋3＝－5__，

　　解一次方程，得x1＝__2__，x2＝__－8__．

　　归纳：

通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．

　　问题2：

解下列方程：

　　3x2－1＝5；　　　42－9＝0；

　　4x2＋16x＋16＝9.

　　解：

x＝±2；x1＝－12，x2＝52；

　　x1＝－72，x2＝－12.

　　归纳：

利用配方法解方程时应该遵循的步骤：

　　把方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0；

　　把方程的常数项通过移项移到方程的右边；

　　方程两边同时除以二次项系数a；

　　方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

　　此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．

　　二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．

　　．填空：

　　x2＋6x＋__9__＝2；

　　x2－x＋__14__＝2；

　　4x2＋4x＋__1__＝2.

　　2．解下列方程：

　　x2＋6x＋5＝0;

　　2x2＋6x＋2＝0；

　　2＋2－4＝0.

　　解：

移项，得x2＋6x＝－5，

　　配方得x2＋6x＋32＝－5＋32，2＝4，

　　由此可得x＋3＝±2，即x1＝－1，x2＝－5.

　　移项，得2x2＋6x＝－2，

　　二次项系数化为1，得x2＋3x＝－1，

　　配方得x2＋3x＋2＝2＝54，

　　由此可得x＋32＝±52，即x1＝52－32，

　　x2＝－52－32.

　　去括号，整理得x2＋4x－1＝0，

　　　移项得x2＋4x＝1，

　　　配方得2＝5，

　　x＋2＝±5，即x1＝5－2，x2＝－5－2.

　　点拨精讲：

解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．

　　一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．

　　如图，在Rt△ABc中，∠c＝90°，Ac＝8m，cB＝6m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿Ac，Bc方向向点c匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PcQ的面积为Rt△ABc面积的一半？

　　解：

设x秒后△PcQ的面积为Rt△ABc面积的一半．根据题意可列方程：

　　2＝12×12×8×6，

　　即x2－14x＋24＝0，

　　2＝25，

　　x－7＝±5，

　　∴x1＝12，x2＝2，

　　x1＝12，x2＝2都是原方程的根，但x1＝12不合题意，舍去．

　　答：

2秒后△PcQ的面积为Rt△ABc面积的一半．

　　点拨精讲：

设x秒后△PcQ的面积为Rt△ABc面积的一半，△PcQ也是直角三角形．根据已知条件列出等式．

　　二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．

　　．用配方法解下列关于x的方程：

　　2x2－4x－8＝0；　　x2－4x＋2＝0；

　　x2－12x－1＝0;

　　2x2＋2＝5.

　　解：

x1＝1＋5，x2＝1－5；

　　x1＝2＋2，x2＝2－2；

　　x1＝14＋174，x2＝14－174；

　　x1＝62，x2＝－62.

　　2．如果x2－4x＋y2＋6y＋z＋2＋13＝0，求z的值．

　　解：

由已知方程得x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋z＋2＝0，即2＋2＋z＋2＝0，∴x＝2，y＝－3，z＝－2.

　　∴z＝[2×]－2＝136.

　　学生总结本堂课的收获与困惑．

　　．用配方法解一元二次方程的步骤．

　　2．用配方法解一元二次方程的注意事项．

　　学习至此，请使用本课时对应训练部分．

　　21．2.2　公式法

　　.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．

　　2.会熟练应用公式法解一元二次方程．

　　重点：

求根公式的推导和公式法的应用．

　　难点：

一元二次方程求根公式的推导．

　　用配方法解方程：

　　x2＋3x＋2＝0；　　2x2－3x＋5＝0.

　　解：

x1＝－2，x2＝－1；　无解．

　　一、自学指导．

　　问题：

如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？

　　问题：

已知ax2＋bx＋c＝0，试推导它的两个根x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.

　　分析：

因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．

　　探究：

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根由方程的系数a，b，c而定，因此：

　　解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a，b，c代入式子x＝－b±b2－4ac2a就得到方程的根，当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．

　　x＝－b±b2－4ac2a叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式．

　　利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

　　由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根．

　　一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2－4ac.

　　二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．

　　　用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？

　　2x2－3x＝0；　　3x2－23x＋1＝0；

　　4x2＋x＋1＝0.

　　解：

x1＝0，x2＝32；有两个不相等的实数根；

　　　x1＝x2＝33；有两个相等的实数根；

　　　无实数根．

　　点拨精讲：

Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．

　　一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．

　　．方程x2－4x＋4＝0的根的情况是

　　A．有两个不相等的实数根

　　B．有两个相等的实数根

　　c．有一个实数根

　　D．没有实数根

　　2．当m为何值时，方程x2－x＋m＋1＝0，

　　有两个不相等的实数根？

　　有两个相等的实数根？

　　没有实数根？

　　解：

m＜14；　m＝14；　m＞14.

　　3.已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：

x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.

　　证明：

∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，

　　∴4－4＜0，∴m＜0.

　　对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1＝0，

　　Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0，

　　∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．

　　二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．

　　．利用判别式判定下列方程的根的情况：

　　2x2－3x－32＝0;

　　16x2－24x＋9＝0；

　　x2－42x＋9＝0;

　　3x2＋10x＝2x2＋8x.

　　解：

有两个不相等的实数根；

　　　有两个相等的实数根；

　　　无实数根；

　　　有两个不相等的实数根．

　　2．用公式法解下列方程：

　　x2＋x－12＝0;

　　　x2－2x－14＝0；

　　x2＋4x＋8＝2x＋11;

　　　x＝2－8x；

　　x2＋2x＝0;

　　　x2＋25x＋10＝0.

　　解：

x1＝3，x2＝－4；

　　　x1＝2＋32，x2＝2－32；

　　　x1＝1，x2＝－3；

　　　x1＝－2＋6，x2＝－2－6；

　　　x1＝0，x2＝－2;

　　无实数根．

　　点拨精讲：

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根是由一元二次方程的系数a，b，c确定的；

　　在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a，b，c的值代入x＝－b±b2－4ac2a中，可求得方程的两个根；

　　由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．

　　学生总结本堂课的收获与困惑．

　　.求根公式的推导过程．

　　2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：

先确定a，b，c的值，再算出b2－4ac的值、最后代入求根公式求解．

　　3.用判别式判定一元二次方程根的情况．

　　学习至此，请使用本课时对应训练部分．

　　21．2.3　因式分解法

　　.会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程．

　　2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．

　　重点：

用因式分解法解一元二次方程．

　　难点：

理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．

　　将下列各题因式分解：

　　am＋bm＋cm＝m；

　　a2－b2＝____；

　　a2±2ab＋b2＝__2__．

　　一、自学指导．

　　问题：

根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地的高度为10x－4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？

　　设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x－4.9x2＝0，　　①

　　思考：

除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？

　　分析：

方程①的右边为0，左边可以因式分解得：

　　x＝0，

　　于是得x＝0或10－4.9x＝0，　　②

　　∴x1＝__0__，x2≈2.04．

　　上述解中，x2≈2.04表示物体约在2.04s时落回地面，而x1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m.

　　点拨精讲：

对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．

　　如果a•b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据．如：

如果＝0，那么__x＋1＝0或__x－1＝0__，即__x＝－1__或__x＝1．

　　二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．

　　．说出下列方程的根：

　　x＝0；　　　＝0.

　　解：

x1＝0，x2＝8；　x1＝－13，x2＝52.

　　2．用因式分解法解下列方程：

　　x2－4x＝0;

　　4x2－49＝0；

　　5x2－20x＋20＝0.

　　解：

x1＝0，x2＝4;

　　x1＝72，x2＝－72；

　　x1＝x2＝2.

　　一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．

　　．用因式分解法解下列方程：

　　5x2－4x＝0；　　　3x＝4x＋2；

　　2＝3x＋15.

　　解：

x1＝0，x2＝45；

　　x1＝23，x2＝－12；

　　x1＝－5，x2＝－2.

　　点拨精讲：

用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式．

　　2．用因式分解法解下列方程：

　　4x2－144＝0；

　　2＝2；

　　5x2－2x－14＝x2－2x＋34；

　　3x2－12x＝－12.

　　解：

x1＝6，x2＝－6；

　　x1＝43，x2＝－2；

　　x1＝12，x2＝－12；

　　x1＝x2＝2.

　　点拨精讲：

注意本例中的方程可以试用多种方法．

　　二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．

　　．用因式分解法解下列方程：

　　x2＋x＝0;

　　x2－23x＝0；

　　3x2－6x＝－3;

　　4x2－121＝0；

　　2＝2.

　　解：

x1＝0，x2＝－1；

　　x1＝0，x2＝23；

　　x1＝x2＝1；

　　x1＝112，x2＝－112；

　　x1＝3，x2＝1.

　　点拨精讲：

因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

　　将方程右边化为__0__；

　　将方程左边分解成两个一次式的__乘积__；

　　令每个因式分别为__0__，得到两个一元一次方程；

　　解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．

　　2．把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．

　　解：

设小圆形场地的半径为xm.

　　则可列方程2πx2＝π2.

　　解得x1＝5＋52，x2＝5－52．

　　答：

小圆形场地的半径为m.

　　学生总结本堂课的收获与困惑．

　　．用因式分解法解方程的根据由ab＝0得a＝0或b＝0，即“二次降为一次”．

　　2．正确的因式分解是解题的关键．

　　学习至此，请使用本课时对应训练部分．

　　21．2