精品教案七下数学第6章变量之间的关系北师.docx

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精品教案七下数学第6章变量之间的关系北师

第六章变量之间的关系

一、主要内容

本套教科书从七年级下册开始引入变量和变量之间关系的内容，非形式化地开始对函数内容的学习.本套教科书对函数内容的处理是分层次的，是遵照循序渐进、螺旋上升的原则进行设计的，而不是一蹴而就的.本章主要通过丰富的生活实例（如小车下滑的时间、变化中的三角形、温度的变化、速度的变化等）内容使学生感受现实世界中变量和变量之间存在的各种各样的关系及其规律，了解表示这些关系的基本方法，将为以后学习函数打下基础.

二、教学目标

1、经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，进一步发展符号感和抽象思维；

2、能发现实际情景中的变量及其相互关系，并确定其中的自变量或因变量；

3、能从表格、图象中分析出某些变量之间的关系，并能用自己的语言进行表达；

4、能根据具体问题，选取用表格或代数式来表示某些变量之间的关系；

5、结合对变量之间关系的分析，尝试对变化趋势进行初步的预测.

三、设计思路

变化是永恒的，我们周围的一切都在发生着变化，如温度的变化、速度的变化、物价的变化、股市的变化、月相的变化、季节的变化、身高体重的变化、兴趣爱好的变化等.总之，我们生活在一个变化的世界之中.

事物的变化有一定的规律吗？

它们的变化是如何互相影响的？

如何从数学的角度对变量和变量之间的关系进行描述？

这些问题的提出，就使得研究变化的数学内容——变量和变量之间的关系，成为与现实世界联系最密切的内容之一.

国际上对数学课程的研究，以及数学课程发展的趋势表明，儿童早期对函数的丰富经历是十分重要的，因此对变量的学习、对变化规律的探索和描述应从低年级开始.当然鉴于学生的认知水平和数学准备，这种对变量和变量之间关系的研究应该是从一种非形式化的研究开始，即引导学生注意周围的变化的事物、分析变量之间的关系，初步地对变量之间的关系进行描述和用数学的方法进行表示、初步地体验数学模型的思想.

通过大量丰富的现实背景，通过学生感兴趣的、广泛联系多学科的问题（如婴儿体重的增长、骆驼的体温、潮汐的升落、地球内部的温度等），使学生体会变量和变量之间相互依赖的关系，也使学生感受数学的广泛联系和应用价值.

本章还通过让学生分析用表格、代数式和图象所表示的关系，使学生逐步理解变量之间关系的数学表示方法，并初步学习用表格和代数式表示简单的数量关系.

四、课时安排

6.1小车下滑的时间

1课时

6.2变化中的三角形

1课时

6.3温度的变化

1课时

6.4速度的变化

1课时

回顾与思考

1课时

6.1小车下滑的时间

教学目标

1．经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进一步发展符号感。

2．在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子。

3．能从表格中获得变量之间关系的信息，能用表格表示变量之间的关系，并根据表格中的资料尝试对变化趋势进行初步的预测。

教学重点、难点

重点：

借助表格，分清什么是变量，理解自变量、因变量以及因变量随自变量的变化情况。

难点：

将具体问题抽象成数学问题，由数据进行推断，并能有条理地、清晰地阐述自己的观点，并能根据表格中的有关信息预测变化趋势。

教学过程

一、情境引入

我们生活在变化的世界中,很多东西都在发生变化,请学生列举一些日常生活中经常发生变化的事物。

如:

随年龄的增长，身高、体重都发生了变化；随着时间的变化汽车行驶的路程也在变化；烧一壶水10分钟水开了……

二、分组实验

介绍实验器材——小车、木板,调节高度的装置。

学生分组做“小车下滑的时间”的实验,并填写表格。

三、合作探究

针对实验数据提出问题,要求学生分组探讨。

下面是某学习小组得到的数据

根据上表回答下列问题：

（1）支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间是多少？

（2）如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？

（3）h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？

（4）估计当h=110厘米时，t的值是多少，你是怎样估计的？

四、概念介绍

在“小车下滑的时间”中：

支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化，它们都是变量（variable）。

其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而变化。

支撑物的高度h是自变量（independentvariale），小车下滑的时间t是因变量（dependentvariale）。

五、练习提高

1．议一议∶我国从1949年到1999年的人口统计数据如下：

（精确到0.01亿）：

（1）如果用x表示时间，y表示我国人口总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？

（2）X和y哪个是自变量?

哪个是因变量?

（3）从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样的变化？

（4）你能根据此表格预测2009年时我国人口将会是多少？

2．某河受暴雨袭击，某天此河水的水位记录为下表:

时间/小时

0

4

8

12

16

20

24

水位/米

2

2.5

3

4

5

6

8

（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？

自变量和因变量各是什么？

（2）12小时，水位是多少？

（3）哪一时段水位上升最快？

六、课堂小结

师生互相交流总结本节所学的知识,从表格中获取信息；用表格表示变量之间的关系；对变化趋势进行预测。

七、布置作业

习题6.1知识技能1，问题解决1

6．2变化中的三角形

教学目标

1、经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感。

2、能根据具体情景，用关系式表示某些变量之间的关系。

3、能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系。

教学重点、难点

重点：

1、通过用关系式表示变量之间的关系，体会变量之间的数值对应关系。

2、根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系。

难点：

将具体问题抽象成数学问题并将它用关系式表示出来。

教学过程

一、复习回顾

在《小车下滑的时间》中：

支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化，它们都是变量.其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而变化,支撑物的高度h是自变量，小车下滑的时间t是因变量。

二、观察思考

三角形是日常生活中很常见的图形，决定一个三角形面积的因素有哪些？

①操作纸板模型，演示“三角形的变化”

②问题探究：

（1）问题：

决定一个三角形面积的因素有哪些？

（2）模型演示：

（高一定）变化中的三角形（如图）

三、诱导探究

（1）提出思考问题：

如果△ABC底边BC上的高是6厘米。

当三角形的顶点C沿底边BC所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？

（2）提出思考问题：

在这个变化过程中，三角形ABC中的哪些因素在改变？

（3）提出思考问题：

这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？

（4）问题思考：

如果三角形的底边长为x（厘米），那么三角形的面积y（厘米2）可以表示为________________。

（5）学生先独立思考，然后分组讨论。

（6）列出关系式

四、体会归纳

（1）同学们能根据要求填写下列的表格吗？

根据三角形的底边长为x（厘米），和三角形的面积y（厘米2）的关系式填表：

X（cm）

…

10

9

8

7

6

5

4

…

Y（cm2）

…

…

（2）通过填表、探究，同学们能说出用关系式表达变量间变化关系的优势在哪些方面吗？

五、变式探究

1．圆锥的体积由哪些因素决定。

2．问题一：

如图所示，圆锥的底面半径是2厘米，当圆锥的高由小到大变化时，圆锥的体积也随之而发生了变化。

（1）在这个变化过程中，自变量是________，因变量是_________。

（2）如果圆锥的高为h（厘米），那么圆锥的体积V（厘米3）与h的关系式是____________。

（3）当高由1厘米变化到10厘米时，圆锥的体积由________厘米3变化到_______厘米3。

问题二：

如图所示，圆锥的高是4厘米，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥体积也随之而发生了变化。

（1）在这个变化过程中，自变量是____________，因变量是_____________。

（2）如果圆锥底面半径为r（厘米），那么圆锥的体积V（厘米3）与r的关系式是____________。

（3）当底面半径由1厘米变化到10厘米时，圆锥的体积由______厘米3变化到______厘米3。

六、课堂总结

1、能用关系式表示变量之间的关系

2、能根据关系式求值。

七、布置作业

习题6.2知识技能1，数学理解1

6.3．温度的变化

教学目标

1．能够从图象中分析变量之间的关系，明确图象上点所表示的意义，会利用图象回答问题。

2．培养学生的观察能力，分析能力，动手操作能力，发展学生合作交流的能力和数学表达能力。

3．让学生体会数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学应用意识。

教学重点、难点

重点：

1．结合具体情境，理解图象上的点所表示的意义。

2．从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言合理地表示。

难点：

根据图象得出事物变化的规律。

教学方法

自主探索法

教学设计

一、情境引入

我们都知道，人的正常体温是36.5℃左右，这是一个很粗略的说法。

你知道人的体温是随时间变化的吗？

一天之中，在凌晨2时到6时之间，人的体温最低；在下午5时到8时之间，人的体温最高。

在正常情况下，人体温度变化的幅度大约是0.6℃，如果变化幅度超过1℃，特别是在“非典”时期，那就要被“隔离”观察。

炎热的夏天人们非常关心气温的变化，了解气温及时提醒我们做好出行的安排，请你根据下图与同伴讨论某地某天温度变化的情况。

二、讲授新知

1．做一做

（1）上午9时的温度是多少？

12时呢？

（2）这一天的最高温度是多少？

是在几时达到的？

最低温度呢？

（3）这一天的温差是多少？

从最低温度到最高温度经过了多长时间？

（4）在什么时间范围内温度在上升？

在什么时间范围内温度在下降？

（5）图中A点表示的是什么？

B点呢？

（6）你能预测次日凌晨1时的温度吗？

说说你的理由。

2．归纳前图表示了温度随时间的变化而变化的情况，它是温度与时间之间关系的图象。

图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观。

图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，

用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量。

3．议一议：

再探究沙漠之舟——骆驼

骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化。

（1）一天中，骆驼的体温的变化范围是什么？

它的体温从最低上升到最高需要多少时间？

（2）从16时到24时，骆驼的体温下降了多少？

（3）在什么时间范围内骆驼的体温在上升？

在什么时间范围内骆驼的体温在下降？

（4）你能看出第二天8时骆驼的体温与第一天8时有什么关系吗？

其他时刻呢？

（5）A点表示的是什么？

还有几时的温度与A点所表示的温度相同？

（6）你还知道哪些关于骆驼的趣事？

与同伴进行交流。

1．通过温度的折线变化图，能够让学生从图象中找到变量并发现变量之间的关系，会利用图象回答相关的问题。

2．在导课中学生已经了解了有关骆驼的常识，利用这个折线图，可以让学生进一步巩固变量之间的关系，会利用图象解决实际问题。

并清楚图象上的点所表示的内容。

三、课堂巩固

海水受日月的引力而产生潮汐现象，早晨海水上涨叫做潮，黄昏海水上涨叫做汐，合称潮汐。

潮汐与人类的生活有着密切的联系。

下面是某港口从0时到12时的水深情况。

（1）大约什么时刻港口的水最深？

深度约是多少？

（2）大约什么时刻港口的水最浅？

深度约是多少？

（3）在什么时间范围内，港口水深在增加？

（4）在什么时间范围内，港口水深在减少？

（5）A，B两点分别表示什么？

还有几时水的深度与A点所表示的深度相同？

（6）说一说这个港口从0时到12时的水深是怎样变化的。

四、课堂小结

1．学生对本节课进行总结，谈谈自己的收获。

2．本节课给你留下的最深刻的印象是什么？

五、布置作业

习题6.3问题解决1

6.4.速度的变化

教学目标

1．能从图象分析变量之间的关系，加深对图象表示的理解；

2．能对实际情境中所蕴涵的变量之间的关系借助图象表示；

3．进一步体会数学与现实生活的密切联系，并在学习新知识的过程中培养学生团结协作的精神。

教学重点、难点

重点：

1、通过速度随时间变化的实际情境，用图象分析变量之间的关系。

2、能从图象中分析出某些变量之间的关系，并能用自己的语言进行表达，发展有条理地思考和表达能力。

难点：

由图象描述变量关系和由实际情境描述大致图象。

教学方法

观察分析、主动探索的方法。

教学过程

一、课前准备

学生自己总结已经学习过的几种表示变量之间关系的方法。

1.列表法

例1下表所列为一商店薄利多销的情况，某种商品的原价为450元，随着降价的幅度变化，日销量（单位：

件）随之发生变化：

降价（元）

5

10

15

20

25

30

30

日销量（件）

718

787

845

895

937

973

1000

在这个表中反映了　　　　个变量之间的关系，　　　　　　　是自变量，

　　　　是因变量。

2.关系式法

例2某出租车每小时耗油5千克，若ｔ小时耗油ｑ千克，则自变量是　　　　，因变量是　　　　　　，ｑ与t的关系式是　　　　　。

3.图象法

例3下图表示了某港口某日从0时到6时水深变化的情况。

（1）大约什么时刻港口的水最深？

约是多少？

（2）A点表示什么？

（3）说说这个港口从0时到6时的水位是怎样变化的？

二、情境引入

提出问题：

每辆汽车上都有一个时速表用来指示汽车当时的速度,你会看这个表吗?

（学生先想一想，再进行小组讨论，互相补充完善，并派代表回答）

三、讲授新课

例4汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的，下面的图象表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况。

（1）汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？

它的最高时速是多少？

（2）汽车在哪些时间段保持匀速行驶？

时速分别是多少？

（3）出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？

（4）用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况。

各小组讨论相互补充,派代表回答问题，并解说从统计图中获取的信息及此统计图对于现实生活的实际意义（选2—3个小组代表讲解）

四、巩固练习

1．柿子熟了，从树上落下来。

下面的哪一幅图可以大致刻画出柿子下落过程中（即落地前）的速度变化情况？

课本132页第4题，133页联系拓广1

2.一辆公共汽车从车站开出,加速行驶一段后开始匀速行驶。

过了一段时间,汽车到达下一个车站。

乘客上下车后汽车开始加速,一段时间后又开始匀速行驶。

下面哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况？

（横轴表示时间,纵轴表示速度）

3．某同学从第一中学走回家，在路上他碰到两个同学，于是在文化宫玩了一会儿，然后再回家，图中哪一幅图能较好地刻画出这位同学离家所剩的路程与时间的变化情况：

①②③④

1．学生根据事件的数据，小组讨论,选择图象展示最合适过程。

2．小组成员选择（组内互相交流协商、教师给予适当帮助）

3．小组选派代表讲解，最终对被研究的问题做出决策。

五、课堂总结

1、今天你有哪些收获？

2、总结：

（1）通过速度随时间变化的情境，经历从图象中分析变量之间的过程，加深了对图象表示的理解。

（2）不仅读懂了文字语言，而且还读懂图形语言。

（3）最关键是搞清楚自变量、因变量，并且明白了它们的变化关系。

（4）一些变量之间的关系可以用图象法来表示。

它形象、直观，便于探索趋势。

（5）在观察图象时要注意它两轴上的名称与单位，识别变化时可抓住起点、终点、最高（最低）点等特殊位置。

六、布置作业

习题6.4数学理解1

回顾与思考

教学目标：

1．知识目标：

回顾总结表示变量之间的方法，学会用变量之间关系的各种形式分析变量之间的关系，并作出预测。

2．能力目标：

从常量的世界走入变量的世界，开始接触一种新的思维方式——用运动变化的观点去认识数学对象，发展符号感和抽象思维。

发展有条理的思考和进行表达的能力。

3．情感目标：

能从运动变化的角度解释生活中的数学现象，体验成就感，获得学习的快乐，发展对数学更高层次的认识。

教学重点：

能从表格、图象中分析变量之间的关系，发展有条理地进行思考的表达的能力。

教学难点：

运用表示变量之间关系的方法分析变量之间的关系，分析问题、解决问题，进行预测。

教学过程

一、知识结构

二、复习要点

1．在具体情境中理解变量、自变量、因变量

（1）自变量是某一变化过程中主动变化的量；

（2）因变量是随着自变量的变化而变化的量。

2．变量之间的关系的表示方法

（1）用关系式来表示变量之间的关系

如，正方形面积S与边长a的关系式为S=a2，其中，自变量是正方形的边长a，因变量是正方形面积。

（2）用表格表示变量之间的关系

如，一根原长为10厘米的弹簧，其长度与所挂物品的质量之间有如下关系：

物品的质量/千克

1

2

3

4

5

弹簧的长度/厘米

10.5

11.0

11.5

12.0

12.5

其中，物品的质量是自变量，弹簧的长度是因变量。

（3）用图象表示变量之间的关系

如，右图中的折线ABCDE描述的是汽车行驶过程中，离开出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的关系。

其中，行驶时间是自变量，离开出发地的距离是因变量。

三、典型例题

例1．果子成熟从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：

时间t/秒

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

…

高度h/米

5×0.25

5×0.36

5×0.49

5×0.64

5×0.81

5×1

…

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？

哪个是自变量？

哪个是因变量？

（2）如果果子经过2秒落到地上，那么请估计这果子开始落下时离地面的高度是多少米？

说明：

（1）题中自变量t和落下高度h的基本关系可从具体数量推导，得出h=5t2。

（2）用表格来表示变量之间关系，其优点是：

对于表中的自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把因变量的值找到。

其不足之处是：

表格只能列出部分自变量与因变量对应的值（如本例2秒与20米这组对应值，表格中没有反映出来），难以反映变量之间变化的全貌。

例2．一辆汽车以每小时50千米的速度行驶了t小时，行驶的路程为s千米。

（1）上述哪些量在变化？

自变量是什么？

因变量是什么？

（2）写出s与t之间的关系式。

（3）求该汽车行驶3.5小时的路程。

（4）一段公路全长330千米，这辆汽车行驶完全程需要多少小时？

说明：

（1）有了关系式，可以由自变量的一个值，求出相应的因变量的值，反过来知道因变量的一个值，也可以求出相应的自变量的值。

（2）用关系式表示变量之间关系，优点是：

简明扼要、规范准确。

不足是：

有些变量之间的关系很难或不能用关系式表示，而且变量之间的变化趋势不能直观地看出来。

例3．2004年7月份某一天，南京的气温随时间变化的情况如图所示，回答下列问题：

温度/℃

（1）这天的最高气温是；

（2）这天一共有个小时的气温在32℃以上；

（3）这天在范围内温度在上升；

（4）请你预测一下，次日凌晨1点的气温大约多少度。

说明：

用图象表示变量之间关系，能形象直观反映事物变化的全过程、变化趋势和某些性质，但表示出来的图象是近似的、局部的，观察由图象确定的因变量的值，往往不够准确。

例4．我们把物体从固态变成液态叫做熔化，下表是一种固体在加热过程中的温度：

时间/分

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

温度/℃

39

41

42.5

44

46

47.5

48

48

48

51

54

57

60

（1）上表反映的是哪两个变量之间的关系？

哪个是自变量？

哪个是因变量？

（2）说一说因变量怎样随着自变量的变化而变化的？

（3）画折线图表示两个变量之间的关系；

（4）一般地，我们把虽然继续加热，但温度不变的过程叫做熔化过程，熔化过程中的温度叫做熔点。

那么该固体熔化过程在哪段时间呢？

熔点是多少？

说明：

（1）要能从图象中读取准确的信息，也就是首先要看好横轴、纵轴代表的变量是什么，然后再找到问题中代表那个量的点。

（2）实际问题中，需要借助图表进行定量定性分析。

如此题的熔点，就是利用数形结合思想研究时间和温度的变化规律。

四、活动与评估

（一）填空题

1．表示两个变量之间的关系有种方法，分别是。

2．据世界人口组织公布，地球上的人口从1600年到1999年一直呈递增趋势，即随着时间的推移，地球上的人口数量在逐渐地增加。

如果用t表示时间，l表示人口数量，是自变量，是因变量。

3．一个四棱柱的底面是一个边长为10cm的正方形，它的高变化时，棱柱的体积也随之变化。

（1）在这个变化过程中，自变量是，因变量是；

（2）若棱柱的高为h（cm），则棱柱的体积V（cm3）与h的关系式为；

（3）当高由1cm变化到8cm时，棱柱的体积由cm3变化到cm3。

（二）选择题

1．今年又是海南水果的丰收年，某芒果园的果树上挂满了成熟的芒果，一阵微风吹过，一个熟透的芒果从树上掉下来。

下面四个图象中，能表示芒果下落过程中速度与时间变化关系的图象只可能是（）。

2．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：

领先的兔子轻看缓慢爬行的乌龟，骄傲起来。

睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（）。

3．如图，若用

（1）、

（2）、（3）、（4）四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图像所给顺序，将下面的（a）、（b）、（c）、（d）排序，正确的顺序是（）。

（a）小车从光滑的斜面上滑下（小车的速度与时间的关系）

（b）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物的重量的关系）

（c）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）

（d）小杨从A到B后，停留一段时间，然后按原路返回（路程与时间的关系）

A．（c）、（d）、（b）、（a）B．（a）、（b）、（c）、（d）

C．（b）、（c）、（a）、（d）D．（d）、（a）、（c）、（b）

（三）解答题

1．甲、乙两人（甲骑自行车，乙骑摩托车

从A地出发到B地，图中表示的是甲乙两

人离开A地的路程与时间的关系，观察图

象，你能得到关于甲、乙两人的哪些信息？

请至少请写出3条。

2．分析右图所反映的变量之间的关系，想象一个适合它的实际情境。

3．右图表示的是一辆汽车行驶的速度与时间的图象，你能用语言大致描述这辆汽车的行驶情况吗？

五、课堂总结

六、布置作业

回顾与思考复习题数学理解1、3、4