数学必修4第二章平面向量知识点.docx
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数学必修4第二章平面向量知识点
数学必修4第二章平面向量知识点
平面向量的实际背景及基本概念
1.
向量：
既有大小又有方向的量
3.注：
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小
4.几类特殊向量
II
（1）零向量：
长度为o的向量，记为0，其方向是任意的，"0与任意向量平行，
III
零向量a=0|a丨二0。
由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，
故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）
（2）单位向量：
模为1个单位长度的向量，向量a0为单位向量[X丨1。
将一个
aea2
向量除以它的模即得到单位向量，女口a的单位向量为：
|a|
⑶平行向量（共线向量）:
方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作a//
b。
规定：
0与任何向量平等,
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移
（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
、的含义,
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”
要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
（4）相反向量：
与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量。
记作
关于相反向量有：
①零向量的相反向量仍是零向量，②（a）=a；③
（2）向量加法的法则一“三角形法则”与“平行四边形法则”
1用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线。
2三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向
a=b,b=a,a+b=0。
（5）相等向量：
长度相等且方向相同的向量。
记为ab。
相等向量经过平移后
总可以重合
平面向量的线性运算
1.向量加法
（1）定义：
求两个向量和的运算叫做向量的加法
设aBa,BCb，贝ua+b=aBbC=ac
规定：
0aa0a；
最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和
3注：
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接
时，用三角形法则。
4向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
aBbCcdpQqRaR，但这时必须“首尾相连”。
（3）
向量加法的运算律:
2.法向量的减
（i）定义：
若a1b则向量x叫做a与b的差，记为ba。
求两个向量
差的运算，叫做向量的减法。
平行四边形法则：
两个已知向量是要共始点的,,
-b=abaCcB
线。
设aB
差向量是如图所示的对角
b则a
点指向被减向量a的终点的向量。
3.实数与向量的积
（1）定义：
实数入与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向
规定如下：
1aa；
2当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方
向相反；当0时，a0，方向是任意的。
（2）数乘向量的运算律
（a）（）a:
②（）
:
③（
平面向量的基本定理及坐标表示
1.平面向量基本定理：
如果e，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内
的任一向量a，有且只有一对实数入1,入2使a=^ie+入2佥.
注意：
（1）我们把不共线向量ei、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
（2）基底不惟一，关键是不共线；
2.向量的夹角：
已知两个非零向量a、b，作OAa,OBb，则/AOB=，叫向量a、
b的夹角，当=0°,a、b同向，当=180°a、b反向，当=90°a与b垂直，
记作a丄b。
3.平面向量的坐标表示：
在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量r,j作为基底，由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成扌xi#yj，由于£与数对（x,y）是一一对应的，因此把（x,y）叫做向量扌的
II
坐标，记作a=（x,y），其中x叫作a的横坐标，y叫做作纵坐标。
规定：
1I（1,0），j（0,1）
2相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量;
3向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与
其相对位置有关
4.
平面向量的坐标运算:
2若AXi,yi,BX2,y2，则ABX2人必*;
II
3
（x2,y2），则a〃b
Xiy2X2yi
XX2yiy2
（xi,yi）,b（X2
Jrb
Jra
则
y2
%
X2,
X1
若a=（x,y），贝Ua=（x,y）;
附：
向量的表示万法：
i•几何表示法：
用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；
5.2•符号表示法：
用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；
6.
y
X,qyjqxl
ra
3•坐标表示法：
在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个
单位向量i,j为基底，则平面内的任一向量a可表示为
称x,y为向量a的坐标，a=x,y叫做向量a的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
运算
向量形式
坐标形式：
ax1,y1;
bX2,y2
加法
Vi＞平行四边形法则：
起点相同，对角线为和向量。
＜2＞三角形加法法则：
首尾相连。
记：
ABbCAc
ab为X2,yiy2
减法
起点相同的两个向量的差，指向被减向量）
记：
oAoBbA
aBaCcB
（箭头
ab
Xi
X2,yiy2
数乘
a是一个向量，|
a
Xi,
yi
方向：
0时，与a同向;
0时，
与a反向；0时，a
0
数量积
abihbicos
ab
为X2
yiy2
运算性
①交换律：
abb<
i；②结合律：
a
bcabc；
质
i
③a00aa。
加法:
■4a
平面向量的数量积
（1）平面向量的数量积的定义
b.1—#■■■■—►
①向量a,b，的夹角：
已知两个非零向量a,b，过0点作OAa,OBb,则
/AOB=0（0°<9<1800）叫做向量a,b，的夹角。
当且仅当两个非零向量a,b同方向时，B=0,当且仅当a,b反方向时B=180,同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。
②a与b垂直；如果a,b的夹角为90则称a与b垂直，记作ab
bcos叫做称
③a与b的数量积：
两个非零向量a,b，它们的夹角为B,则
v1.0可编辑可修改
Pa~~oa
10a与b的数量积（或内积）
记作ab，即ab=abcos
0
④b在a方向上的投影:
OP
lbcos（
ab）
a）
R（注意|0P是射影）所以，ab
零向量a与b当且仅当ab时，B=90，这时ab=0
的几何意义：
ab等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积。
设a,b是两个非零向量,
（2）平面向量数量积的性质
e是单位向量，于是有：
①eaaeacos:
②
（3）
平面向量数量积的坐标表示
特别注意：
（1）结合律不成立：
abcabc；
（2）消去律不成立
abac不能得到bc（3）ab=0不能得到a=0或b=0
—r—rr-rr2r2f2|f|2
④但是乘法公式成立：
abababa艸；
--212—1-2
2「r
r2
aba2abb
a
2ab
b
④cos
—w—r—e-—r
①若a=（xi,yi）,b=（X2,y2）贝Uab=xiX2+yiy2
若a=（xi,yi）,b=（x2,y2）则cos
②若a=（x,y）,贝U|a|2=a.a=x2+y2,aJx2y2
③若A（x1,y1）,B（x2,y2）,则
AB
/22vX2X1y2y1
④若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）则a
bX1X2y』20（注意与a//b时条件区别,
—
a//bx1y2x2y10）
XiX2yiy2
（~22!
22
Xiyi,X2y2
平面向量应用列举
1、线段的定比分点
（1）定义：
设Pi,P2是直线L上的两点，点P是L上不同于Pi,P2的任意一点,
则存在一个实数，使p1ppp2，
叫做点P分有向线段RP2所成的比。
当点P在线段P1P2上时，0;当点P在
线段RP2或RF2的延长线上时，<0
（2）定比分点的坐标形式
1y1
y,其中Pi（x1,y1）,P
y2
2（X2,y2）,P（x,y）
，向量形式呢
X2
（3）中点坐标公式
当=1时，分点P为线段RP2的中点，即有
%y2
2
向量形式呢
x
2、平移
（1）图形平移的定义：
设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照同
一方向移动同样长度，得到图形F，我们把这一过程叫做图形的平移。
（2）平移公式设P（x,y）是图形F上任意一点，它在平移后图形上的对应点
I
xxh
P（x,y），且PP'的坐标为（h,k），则有，，这个公式叫做点的平
yyk
移公式，它反映了图形中的每一点在平移后的新坐标与原坐标间的关系。
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