数学必修4第二章平面向量知识点.docx

1、数学必修4第二章平面向量知识点数学必修4第二章 平面向量知识点平面向量的实际背景及基本概念1.向量：既有大小又有方向的量3.注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小4.几类特殊向量I I（1） 零向量：长度为o的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行，I I I零向量a = 0 | a丨二0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别）（2） 单位向量：模为1个单位长度的向量，向量a0为单位向量 X丨1。将一个a ea 2向量除以它的模即得到单位向量，女口 a的单位向量为： |a|平行向量（共

2、线向量）:方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作a /b。规定：0与任何向量平等,任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向 量。、的含义,数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意 选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。(4)相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量。记作关于相反向量有： 零向量的相反向量仍是零向量， (a)=a ； (2)向量加法的法则一“三角形法则”与“平行四

3、边形法则”1用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量 是始点与已知向量的始点重合的那条对角线。2三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向a= b,b= a, a + b =0。(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量。记为 a b。相等向量经过平移后总可以重合平面向量的线性运算1.向量加法(1)定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法设 aB a,BC b，贝u a+b =aB bC=ac规定：0 a a 0 a ；最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和3注：当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。4向量加法的三角形法则可推

4、广至多个向量相加：aB bC cd pQ qR aR，但这时必须“首尾相连”。(3)向量加法的运算律:2.法向量的减(i) 定义：若a 1 b则向量x叫做a与b的差，记为b a。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。平行四边形法则：两个已知向量是要共始点的,-b =ab aC cB线。设aB差向量是如图所示的对角b则a点指向被减向量a的终点的向量。3.实数与向量的积(1) 定义：实数入与向量a的积是一个向量，记作 a，它的长度与方向规定如下：1a a ；2当 0时，a的方向与a的方向相同；当 0时，a的方向与a的方向相反；当 0时，a 0，方向是任意的。(2)数乘向量的运算律(a) ( )a :

5、():(平面向量的基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理： 如果e， e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数入1,入2使a = i e +入2佥.注意：(1)我们把不共线向量e i、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；2.向量的夹角：已知两个非零向量 a、b，作OA a , OB b，则/ AOB=，叫向量a、b的夹角，当 =0, a、b同向，当 =180 a、b反向，当 =90 a与b垂直，记作a丄b。3.平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个 单位向量r, j作为基底，由平面

6、向量的基本定理知，该平面内的任一向量 a可表 示成扌xi# yj，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量扌的I I坐标，记作a =(x,y)，其中x叫作a的横坐标，y叫做作纵坐标。规定：1I (1,0)，j (0,1)2相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量;3向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关 ，只与其相对位置有关4.平面向量的坐标运算:2若 A Xi, yi , B X2, y2，则 AB X2 人必 * ;I I3(x2, y2)，则 abXi y2 X2 yiXX2 yiy2(xi,yi),b (X2JrbJra则y2%X2,X1若

7、a =(x,y)，贝U a=( x, y);附：向量的表示万法：i 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB，注意起点在前，终点在后；5.2 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a， b，c等；6.yX, qyj qxlra3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量i , j为基底，则平面内的任一向量a可表示为称x, y为向量a的坐标，a = x, y叫做向量a的坐标表示。如果 向量的起点 在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。运算向量形式坐标形式：a x1, y1 ;b X2, y2加法Vi平行四边形法则：起点相同， 对角线为和向量。2三角

8、形加法法则：首尾相连。记：AB bC Aca b 为 X2, yi y2减法起点相同的两个向量的差， 指向被减向量）记：oA oB bAaB aC cB（箭头a bXiX2,yi y2数乘a是一个向量， |aXi,yi方向： 0时，与a同向;0时，与a反向； 0时，a0数量积a b ihbicosab为X2yiy2运算性交换律：a b b i ；结合律：ab c a b c ；质i a 0 0 a a。加法:4a平面向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义b .1 # 向量a,b，的夹角：已知两个非零向量a,b，过0点作OA a , OB b,则/ AOB=0(09 1800)叫做向量a,b，

9、的夹角。当且仅当两个非零向量 a,b同方向时，B =0 ,当且仅当a,b反方向时B =180 ,同时0与其它任何 非零向量之间不谈夹角这一问题。 a与b垂直；如果a,b的夹角为90则称a与b垂直，记作a bb cos叫做称a与 b的数量积：两个非零向量a,b，它们的夹角为B,则v1.0可编辑可修改P a o a10 a与b的数量积（或内积）,记作 a b，即 ab=a b cos0b在a方向上的投影:OPlb cos (a b)a)R （注意|0P是射影）所以，a b零向量a与b当且仅当a b时，B =90，这时a b=0的几何意义：a b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积。设a,b是两个

10、非零向量,（2） 平面向量数量积的性质e是单位向量，于是有： e a a e a cos :(3)平面向量数量积的坐标表示特别注意：（1）结合律不成立：a b c a b c ；（ 2）消去律不成立a b a c 不能得到b c （3） a b=0不能得到a =0或b =0r r r -r r 2 r 2 f2 |f|2但是乘法公式成立： a b a b a b a 艸 ；- -2 121 -22 rr 2a b a 2a b ba2a bbcosw r e- r 若 a=(xi,yi), b=(X2,y2)贝U a b=xiX2+yiy2若 a=(xi,y i), b =(x2,y 2)则

11、cos 若 a=(x,y),贝U| a | 2 =a . a=x2+y2, a Jx2 y2 若 A(x1,y 1),B(x 2,y 2),则AB/ 2 2 v X2 X1 y2 y1 若 a=(x1,y 1), b=(x2,y 2)则 ab X1X2 y2 0 (注意与a/ b时条件区别,a/ b x1 y2 x2y1 0)Xi X2 yi y2(2 2 ! 2 2Xi yi , X2 y2平面向量应用列举1、线段的定比分点(1)定义：设Pi,P2是直线L上的两点，点P是L上不同于Pi,P2的任意一点,则存在一个实数，使p1 p pp2，叫做点P分有向线段RP2所成的比。当点P在线段P1P2

12、上时， 0 ;当点P在线段RP2或RF2的延长线上时， 0(2)定比分点的坐标形式1 y1y ,其中 Pi(x1,y 1), Py22(X2,y 2), P (x,y)，向量形式呢X2(3)中点坐标公式当=1时，分点P为线段RP2的中点，即有% y22,向量形式呢x2、平移（1） 图形平移的定义：设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照同一方向移动同样长度，得到图形 F，我们把这一过程叫做图形的平移。（2） 平移公式设 P（x,y）是图形F上任意一点，它在平移后图形上的对应点Ix x hP （x ,y ），且PP的坐标为（h,k），则有 ， ，这个公式叫做点的平y y k移公式，它反映了图形中的每一点在平移后的新坐标与原坐标间的关系。