1、数学必修4第二章平面向量知识点数学必修4第二章 平面向量知识点平面向量的实际背景及基本概念1.向量:既有大小又有方向的量3.注:向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小4.几类特殊向量I I(1) 零向量:长度为o的向量,记为0,其方向是任意的,0与任意向量平行,I I I零向量a = 0 | a丨二0。由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。(注意与0的区别)(2) 单位向量:模为1个单位长度的向量,向量a0为单位向量 X丨1。将一个a ea 2向量除以它的模即得到单位向量,女口 a的单位向量为: |a|平行向量(共
2、线向量):方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作a /b。规定:0与任何向量平等,任意一组平行向量都可以移到同一直线上,由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向 量。、的含义,数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意 选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。(4)相反向量:与a长度相等、方向相反的向量,叫做a的相反向量。记作关于相反向量有: 零向量的相反向量仍是零向量, (a)=a ; (2)向量加法的法则一“三角形法则”与“平行四
3、边形法则”1用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量 是始点与已知向量的始点重合的那条对角线。2三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向a= b,b= a, a + b =0。(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量。记为 a b。相等向量经过平移后总可以重合平面向量的线性运算1.向量加法(1)定义:求两个向量和的运算叫做向量的加法设 aB a,BC b,贝u a+b =aB bC=ac规定:0 a a 0 a ;最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和3注:当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则。4向量加法的三角形法则可推
4、广至多个向量相加:aB bC cd pQ qR aR,但这时必须“首尾相连”。(3)向量加法的运算律:2.法向量的减(i) 定义:若a 1 b则向量x叫做a与b的差,记为b a。求两个向量差的运算,叫做向量的减法。平行四边形法则:两个已知向量是要共始点的,-b =ab aC cB线。设aB差向量是如图所示的对角b则a点指向被减向量a的终点的向量。3.实数与向量的积(1) 定义:实数入与向量a的积是一个向量,记作 a,它的长度与方向规定如下:1a a ;2当 0时,a的方向与a的方向相同;当 0时,a的方向与a的方向相反;当 0时,a 0,方向是任意的。(2)数乘向量的运算律(a) ( )a :
5、():(平面向量的基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理: 如果e, e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数入1,入2使a = i e +入2佥.注意:(1)我们把不共线向量e i、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2) 基底不惟一,关键是不共线;2.向量的夹角:已知两个非零向量 a、b,作OA a , OB b,则/ AOB=,叫向量a、b的夹角,当 =0, a、b同向,当 =180 a、b反向,当 =90 a与b垂直,记作a丄b。3.平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个 单位向量r, j作为基底,由平面
6、向量的基本定理知,该平面内的任一向量 a可表 示成扌xi# yj,由于与数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量扌的I I坐标,记作a =(x,y),其中x叫作a的横坐标,y叫做作纵坐标。规定:1I (1,0),j (0,1)2相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量;3向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关 ,只与其相对位置有关4.平面向量的坐标运算:2若 A Xi, yi , B X2, y2,则 AB X2 人必 * ;I I3(x2, y2),则 abXi y2 X2 yiXX2 yiy2(xi,yi),b (X2JrbJra则y2%X2,X1若
7、a =(x,y),贝U a=( x, y);附:向量的表示万法:i 几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如 AB,注意起点在前,终点在后;5.2 符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如 a, b,c等;6.yX, qyj qxlra3坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量i , j为基底,则平面内的任一向量a可表示为称x, y为向量a的坐标,a = x, y叫做向量a的坐标表示。如果 向量的起点 在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。运算向量形式坐标形式:a x1, y1 ;b X2, y2加法Vi平行四边形法则:起点相同, 对角线为和向量。2三角
8、形加法法则:首尾相连。记:AB bC Aca b 为 X2, yi y2减法起点相同的两个向量的差, 指向被减向量)记:oA oB bAaB aC cB(箭头a bXiX2,yi y2数乘a是一个向量, |aXi,yi方向: 0时,与a同向;0时,与a反向; 0时,a0数量积a b ihbicosab为X2yiy2运算性交换律:a b b i ;结合律:ab c a b c ;质i a 0 0 a a。加法:4a平面向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义b .1 # 向量a,b,的夹角:已知两个非零向量a,b,过0点作OA a , OB b,则/ AOB=0(09 1800)叫做向量a,b,
9、的夹角。当且仅当两个非零向量 a,b同方向时,B =0 ,当且仅当a,b反方向时B =180 ,同时0与其它任何 非零向量之间不谈夹角这一问题。 a与b垂直;如果a,b的夹角为90则称a与b垂直,记作a bb cos叫做称a与 b的数量积:两个非零向量a,b,它们的夹角为B,则v1.0可编辑可修改P a o a10 a与b的数量积(或内积),记作 a b,即 ab=a b cos0b在a方向上的投影:OPlb cos (a b)a)R (注意|0P是射影)所以,a b零向量a与b当且仅当a b时,B =90,这时a b=0的几何意义:a b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积。设a,b是两个
10、非零向量,(2) 平面向量数量积的性质e是单位向量,于是有: e a a e a cos :(3)平面向量数量积的坐标表示特别注意:(1)结合律不成立:a b c a b c ;( 2)消去律不成立a b a c 不能得到b c (3) a b=0不能得到a =0或b =0r r r -r r 2 r 2 f2 |f|2但是乘法公式成立: a b a b a b a 艸 ;- -2 121 -22 rr 2a b a 2a b ba2a bbcosw r e- r 若 a=(xi,yi), b=(X2,y2)贝U a b=xiX2+yiy2若 a=(xi,y i), b =(x2,y 2)则
11、cos 若 a=(x,y),贝U| a | 2 =a . a=x2+y2, a Jx2 y2 若 A(x1,y 1),B(x 2,y 2),则AB/ 2 2 v X2 X1 y2 y1 若 a=(x1,y 1), b=(x2,y 2)则 ab X1X2 y2 0 (注意与a/ b时条件区别,a/ b x1 y2 x2y1 0)Xi X2 yi y2(2 2 ! 2 2Xi yi , X2 y2平面向量应用列举1、线段的定比分点(1)定义:设Pi,P2是直线L上的两点,点P是L上不同于Pi,P2的任意一点,则存在一个实数,使p1 p pp2,叫做点P分有向线段RP2所成的比。当点P在线段P1P2
12、上时, 0 ;当点P在线段RP2或RF2的延长线上时, 0(2)定比分点的坐标形式1 y1y ,其中 Pi(x1,y 1), Py22(X2,y 2), P (x,y),向量形式呢X2(3)中点坐标公式当=1时,分点P为线段RP2的中点,即有% y22,向量形式呢x2、平移(1) 图形平移的定义:设F是坐标平面内的一个图形,将图上的所有点按照同一方向移动同样长度,得到图形 F,我们把这一过程叫做图形的平移。(2) 平移公式设 P(x,y)是图形F上任意一点,它在平移后图形上的对应点Ix x hP (x ,y ),且PP的坐标为(h,k),则有 , ,这个公式叫做点的平y y k移公式,它反映了图形中的每一点在平移后的新坐标与原坐标间的关系。
copyright@ 2008-2022 冰豆网网站版权所有
经营许可证编号:鄂ICP备2022015515号-1