小升初数学难题精讲.docx

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小升初数学难题精讲

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第一章牛顿问题

解题关键：

牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。

解题环节主要有四步：

    1、求出每天长草量；

    2、求出牧场原有草量；

    3、求出每天实际消耗原有草量（ 牛吃的草量-生长的草量= 消耗原有草量）；

    4、最后求出可吃天数。

1、牧场上有一片青草，牛每天吃草，草每天以均匀的速度生长。

这片青草供给10头牛可以吃20天，供给15头牛吃，可以吃10天。

供给25头牛吃，可以吃多少天？

分析：

如果草的总量一定，那么，牛的头数与吃草的天数的积应该相等。

现在够10头牛吃20天，够15头牛吃10天，10×20和15×10两个积不相等，这是因为10头牛吃的时间长，长出的草多，所以，用这两个积的差，除以吃草的天数差，可求出每天的长草量。

①、求每天的长草量

      （10×20－15×10）÷（20－10）＝ 5（ 单位量）

      说明牧场每天长出的草够5头牛吃一天的草量。

②、求牧场原有草量

因为牧场每天长出的草量够5头牛吃一天，那么，10头牛去吃，每天只有10－5＝5（ 头 ）牛吃原有草量，20天吃完，原有草量应是：

（10－5）×20＝100（ 单位量）

      或：

10头牛吃20天，一共吃草量是10×20＝200（ 单位量）

        一共吃的草量－  20天共生长的草量＝原有草量

              200 －100 ＝ 100（单位量）

③、求25头牛吃每天实际消耗原有草量

因为牧场每天长出的草量够5头牛吃一天，25头牛去吃，（吃的－ 长的 ＝ 消耗原草量 ）

            即：

25－ 5＝ 20（ 单位量）

④、25头牛去吃，可吃天数

牧场原有草量 ÷25头牛每天实际消耗原有草量 ＝ 可吃天数

          100÷20 ＝5（ 天）

        解：

 （10×20－15×10）÷（20－10）

           ＝50÷10

           ＝5（单位量）  ------- 每天长草量

              （10－5）×20

            ＝5×20

            ＝100（ 单位量）  ------- 原有草量

            100÷（25－5）

            ＝100÷20

            ＝5（天）

                 答：

可供给25头牛吃 5 天。

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2、牧场上有一片青草，草每天以均匀的速度生长，这些草供给20头牛吃，可以吃20天；供给100头羊吃，可以吃12天。

如果每头牛每天的吃草量相当于4只羊一天的吃草量，那么20头牛，100只羊同时吃这片草，可以吃几天？

分析：

  1头牛每天相当于4只羊一天的吃草量，那么20头牛就相当于4×20＝80（ 只）羊吃草量。

每天长草量：

        （80×20 －100×12）÷（20－12）

       ＝400÷8

       ＝50（单位量）

原有草量：

      （80－50）×20

      ＝30×20

      ＝600（单位量）

  20头牛和100只羊同时吃的天数：

        600÷（80＋100－50）

       ＝600÷130

       ＝4（天）

           答：

20头牛，100只羊同时吃这片草，可以吃4 天。

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3、有三片牧场，牧场上的草长得一样密，一样快。

它的面积分别是 3.3公顷、2.8公顷和4公顷。

22头牛54天能吃完第一片牧场原有的草和新长出的草；17头牛84天能吃完第二片牧场原有的草和新长出的草。

问，多少头牛经过24天能吃完第三片牧场原有的草和新长出的草？

分析：

①、第一片牧场22头牛54天吃完3.3公顷所有的草，那么，每公顷草量是（包括生长的）：

      22×54÷3.3＝ 360（ 单位量）

  ②、第二片牧场：

17头牛84天吃完2.8公顷所有的草，那么，每公顷草量是：

      17×84÷2.8＝ 510（ 单位量）

  ③、每公顷每天的长草量是：

      （510－360）÷（84－54）＝5（单位量）

  ④、每公顷原有草量是：

      360－5×54＝90（ 单位量）

  ⑤、第三片4公顷24天共有草量是：

      90×4＋5×24×4＝840（ 单位量）

  ⑥、可供多少头牛吃24天：

      840÷24＝35（头）

  解：

 （17×84÷2.8－22×54÷3.3）÷（84－54）

    ＝150÷30

    ＝5（单位量）  ------ 每公顷每天长草量

      22×54÷3.3－5×54

     ＝360－270

     ＝90（单位量）-------- 每公顷原有草量

      90×4＋5×4×24

     ＝360＋480

     ＝840（ 单位量）-------4公顷24天共有草量

      840÷24＝35（ 头）

          答：

35头牛经过24天能吃完第三片牧场原有的草和新长出的草。

4、用3台同样的水泵抽干一个井里的泉水要40分钟；用6台这样的水泵抽干它只要16分钟。

问，用9台这样的水泵，多少分钟可以抽干这井里的水？

分析：

用水泵抽井里的泉水，泉水总是按一定大小不断往上涌，这就跟牧场的草一样均匀地生长，因此，把它当作牛吃草问题同解。

每分钟泉水涌出量：

    （3×40－6×16）÷（40－16）

    ＝24÷24

    ＝1（单位量）

   井里原有水量：

    （3－1）×40

     ＝2×40

     ＝80（单位量）

    9台几分钟可以抽干：

      80÷（9－1）

     ＝80÷8

     ＝10（分钟）

          答：

用9台这样的水泵，10分钟可以抽干这井里的水。

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5、火车站的售票窗口8点开始售票，但8点以前早就有人来排队，假如每分钟来排队的人一样多，开始售票后，如果开3个窗口售票，30分钟后，不再有人排队；如果开5个窗口售票，15分钟后，不再有人排队。

求第一个来排队的人是几点钟到的？

分析：

到窗口排队售票的人，包括两部分，一部分是8点以前已等候的人（相似于牛吃草问题中的原有草量），另一部分是开始售票时，逐步来的人（相似于每天长草量），开售票窗口多少，相似于“吃草的牛”多少，售票时间相似于“牛吃草”天数。

因此，按“牛吃草问题”来解答。

每分钟来排队的人：

      （3×30－5×15）÷（30－15）

     ＝15÷15

     ＝1（人）

    售票前已到的人数：

      3×30－1×30

      ＝90－30

      ＝60（人）

    售票前已到的人共用的时间：

        60÷1＝60（分钟）

      60分钟是1小时，即第一个来排队的人是售票前1小时到达的，8－1＝7

          答：

第一个来排队的人是7点钟到达的。

第二章鸡兔问题

解题关健：

鸡兔问题是我国古代著名数学问题之一，也叫“鸡兔同笼”问题。

解答鸡兔同笼问题，一般采用假设法，假设全部是鸡，算出脚数，与题中给出的脚数相比较，看差多少，每差一个（4－2）只脚，就说明有1只兔，将所差的脚数除以（4－2），就可求出兔的只数。

同理，假设全部是兔，可求出鸡。

1、鸡兔同笼共80头，208只脚，鸡和兔各有几只？

分析：

假设这80头全是鸡，那么，脚应是2×80＝160（只），比实际少208－160＝48（只）脚，这是因为1只兔有4只脚，把它看成是2只脚的鸡了，每只兔少算了2只脚，共少算了48只脚，48里面有几个2，就是几只兔。

解：

  （208－2×80）÷（4－2）

         ＝48÷2

         ＝24（只）  ------  兔

            80－24＝56（只）

        答：

鸡有56只，兔有24只。

也可以假设80只全是兔，解答如下：

解：

  （4×80－208）÷（4－2）

          ＝112÷2

          ＝56（只）  ------  鸡

            80－56＝24（只）

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2、小明参加一次数学竞赛，试题共有10道，每做对一题得10分，错一题扣5分，小明共得了70分，他做对了几道题？

分析：

假设他做对了10道题，那么应得10×10＝100（分），而实际只得70分，少30分，这是因为每做错一题，不但得不到10分，反而倒扣5分，这样做错一题就会少10＋5＝15（分），看30分里面有几个15分，就错了几题。

解：

  （10×10－70）÷（10＋5）

          ＝30÷15

          ＝2（道）  ------  错题

            10－2＝8（道）

        答：

他做对了8道题。

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3、有面值5元和10元的钞票共100张，总值为800元。

5元和10元的钞票各是多少张？

分析：

假设100张钞票全是5元的，那么总值就是5×100＝500（元），与实际相差800－500＝300元

差的300元，是因为将10元1张的算作了5元的，每张少计算10－5＝5（元），差的300元里面有多少个5元，就是多少张10元的钞票。

解：

  （800－5×10）÷（10－5）

          ＝300÷5

          ＝60（张）  ------10元面值

            100－60＝40（张）

        答：

有10元的钞票60张，5元的钞票40张。

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4、有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种动物共21只，共140条腿和23对翅膀，三种动物各多少只？

（蜘蛛8条腿，蜻蜓6条腿2对翅膀，蝉6条腿1对翅膀）

分析：

假设蜘蛛、蜻蜓、蝉都是6条腿，那么总腿数是6×21＝126（条），比实际少140－126＝14（条），这是因为一只蜘蛛是8条腿，把它算作6条腿，每只蜘蛛少计算了8－6＝2（条），少算的14条里面有几个2条，就是几只蜘蛛，即14÷2＝7（只）。

从总只数里减7只蜘蛛，就得21－7＝14（只）是蜻蜓和蝉的和。

再假设这14只全是蜻蜓，那么翅膀应是2×14＝28（对）比实际多28－23＝5（对），这是因为蝉是1对翅膀，把它算成2对了，每只蝉多算了1对翅膀多出的这5对翅膀里面有几个1对，就是几只蝉。

求出了蝉，蜻蜓可求。

解：

  （140－6×21）÷（8－6）

＝14÷2

      ＝7（只）  ------  蜘蛛

            21－7＝14（只）

          （2×14－23）÷（2－1）

        ＝5÷1

        ＝5（只）  -------  蝉

            14－5＝9（只）  ------  蜻蜓

答：

蜘蛛7只，蜻蜓9只，蝉5只。

第三章年龄问题

解题关键：

“年龄问题”的基本规律是：

不管时间如何变化，两人的年龄的差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键。

分析时，可借助线段图分析，结合和倍、差倍、和差等问题分析方法，灵活解题。

1、爸爸今年42岁，女儿今年10岁，几年前爸爸的年龄是女儿的5倍？

分析：

    要求几年前爸爸的年龄是女儿的5倍，首先应求出那时女儿的年龄是多少？

爸爸的年龄是女儿的5倍，女儿的年龄是1倍，爸爸比女儿多5－1＝4（倍），年龄多42－10＝32（岁），对应，可求出1倍是多少，即女儿当时的年龄。

      解：

  （42－10）÷（5－1）

          ＝32÷4

          ＝8（岁）

            10－8＝2（年）

        答：

2年前爸爸的年龄是女儿的5倍。

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2、父亲今年比儿子大36岁，5年后父亲的年龄是儿子的4倍，今年儿子几岁？

分析：

    父亲今年比儿子大36岁，5年后仍然大36岁。

父亲年龄是儿子的4倍，说明儿子的年龄是1倍，父亲比儿子大4－1＝3（倍），可求出1倍是多少岁，即5年后儿子的年龄，那么，现在几岁可求出。

      解：

  36÷（4－1）

         ＝36÷3

         ＝12（岁）

          12－5＝7（岁）

        答：

今年儿子7岁。

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3、今年母女年龄和是45岁，5年后母亲的年龄正好是女儿的4倍，今年妈妈和女儿各多少岁？

分析：

    今年母女年龄和是45岁，五年后母女年龄和是45＋5×2＝55（岁），母亲年龄是女儿的4倍，女儿年龄是1倍，母女年龄和的倍数是4＋1＝5（倍），对应，可求出5年后女儿的年龄，今年她们的年龄可求。

      解：

  （45＋5×2）÷（4＋1）

         ＝55÷5

         ＝11（岁）

          11－5＝6（岁）  45－6＝39（岁）

        答：

妈妈今年39岁，女儿6岁。

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4、今年甲、乙、丙三人的年龄和为60岁，3年后甲比乙大6岁，丙比乙小3岁，三年后甲、乙、丙三人各几岁？

分析：

    如图：

  甲  |--------------------------------------------------------|

          乙  |-----------------------------------------|  6岁  

          丙  |----------------------------------|  3岁

   三年后，三人年龄和是60＋3×3＝69（岁），但三人的年龄差不变。

从图中可以看出，从三人年龄和中减6加3，刚好等于3个乙的年龄。

      解：

  （60＋3×3－6＋3）÷3

          ＝66÷3

          ＝22（岁）

            22＋6＝28（岁）    22－3＝19（岁）

        答：

三年后甲28岁，乙22岁，丙19岁。

第四章植树问题

解题关键：

1、要注意总距离、棵距及棵数三个量之间的关系。

      2、要分清图形是否封闭，然后确定是沿线段栽，还是沿周长栽。

      3、关系式为：

沿线段植树  棵数＝总距离÷棵距＋1

                沿周长植树  棵数＝总距离÷棵距

1、在一段40米长的人行道一侧栽树，每隔5米栽一棵樟树，共需要栽樟树多少棵？

分析：

      如图：

♀    ♀    ♀    ♀  ♀    ♀    ♀    ♀  ♀

            5米

   从图上可以看出，“每隔5米栽一棵”就是将40÷5＝8，平均分成8段，因两端都有一棵树，所以，沿人行道一侧栽树，属沿线段植树。

       解：

    40÷5＋1

            ＝8＋1

            ＝9（棵）

          答：

需要栽樟树9棵。

==============================

    想一想：

如果这条人行道两侧都这样栽，需要栽多少棵？

应怎样算？

2、沿一段公路两旁种杨树，每隔3米种一棵，一共种了502棵。

这段公路长多少米？

分析：

    沿公路两旁共种502棵，将502÷2＝251（棵），就得到公路一旁种树棵数（注意将两旁总棵数除以2），它属于沿线段植树问题，根据关系式，将棵数减1，乘棵距，可求出总距离。

      解：

  502÷2＝251（棵）

          3×（251－1）

        ＝3×250

        ＝750（米）

              答：

这段公路长750米。

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3、把一根48厘米的铁棒锯成8厘米长的短铁棒，如果锯一段需要4分钟，锯完这根铁棒需要多少分钟？

分析：

如图 

   将48厘米长铁棒锯成8厘米长的短铁棒，就是求48厘米里面有几个8厘米，就可锯成几段，从图上可以看出“锯的次数比段数要少1”，锯一段需要4分钟，实际是锯一次要4分钟，求锯完这根铁棒需要多少分钟，先要求出共锯多少次。

     解：

  48÷8－1＝5（次）

          4×5＝20（分钟）

                答：

锯完这根铁棒需要20分钟。

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4、在一个人工湖周围每隔6米种一棵柳树，一共种了180棵。

再在相邻的两棵柳树间每隔2米种一株月季，问，一共需要多少株月季？

分析：

    在人工湖周围种树，属于在封闭图形上栽树问题，即沿周长植树，根据关系式：

       总距离＝棵距×棵数，人工湖周长为  6×180＝1080（米）

   如果湖的周围没有柳树，全是每隔2米种的月季，月季共  1080÷2＝540（株），而实际其中种有柳树180棵，那么，月季株数应为  540－180＝360（株）。

      解：

  6×180÷2－180

        ＝540－180

        ＝360（株）

                答：

一共需要360株月季。

==============================

  解法二：

人工湖周围每隔6米种一棵柳树，共种180棵，就是将湖的周长平均分成180段，每段长6米，因为这6米的两头已种柳树，所以这中间只能种6÷2－1＝2（株）月季，共需月季列式为：

           （6÷2－1）×180

          ＝2×180

          ＝360（株）

第五章盈亏问题

解答公式：

  两次分配的结果差÷两次分配数差＝人数

       或，由于参加分配的总人数不变，参加分配的物品总数不变，因此，可根据

        第一种分法的人数＝第二种分法的人数

        第一种分法物品总数＝第二种分法物品总数，列出方程来解。

1、一批树苗，如果每人种树苗8棵，则缺少3棵；如果每人种7棵，则有4棵没人种。

求参加种树的人数是多少？

这批树苗共有多少棵？

========================

分析：

    每人种8棵，则缺少3棵，也就是少3棵。

每人种7棵，则有4棵没人种，也就是多4棵。

    那么两次分配的结果差是3＋4＝7，两次分配的数差是8－7＝1

    种树人数是：

7÷1＝7（人）    树苗总数是：

8×7－3＝53（人）

      解法一：

    （3＋4）÷（8－7）

              ＝7÷1

              ＝7（人）

                8×7－3＝53（棵）                          

        答：

参加种树的人数是7人，这批树苗共有53棵。

==============================

     解法二：

这道题种树人数不变，树苗总棵数不变，若设种树人数为X人，根据第一种分法的树苗总棵数＝第二种分法的树苗总棵数，列方程解。

      解：

  设种树人数为X人，列方程得

            8X－3＝7X＋4

            8X－7X＝4＋3

              X＝7

            8×7－3＝53（棵）

        答：

（略）

==============================

2、幼儿园老师把一堆苹果分给小朋友，如果每人分6个，则少10个，每人分4个，还少2个。

有多少小朋友？

有多少个苹果？

分析：

    两次分配都不足，则两次不足数量差就是两次分配的结果差，结果差÷分配差＝人数

      解：

      （10－2）÷（6－4）

             ＝8÷2

             ＝4（人）

              6×4－10＝14（个）

        答：

有4个小朋友，有14个苹果。

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3、学校安排新生住宿，若每间宿舍住6人，则多出34人；若每间宿舍住7人，则多出4间宿舍，求住宿的学生和宿舍各有多少？

分析：

    每间住6人，多出34人，就是不足34张床位；每间住7人，多出4间宿舍，就是多出7×4＝28张床位。

两次分配的结果差就是（34＋28），结果差÷分配差＝宿舍

      解：

    （34＋28）÷（7－6）

          ＝62÷1

          ＝62（间）

            6×62＋34＝406（人）