全等三角形知识树.docx

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全等三角形知识树

第十一章全等三角形

一、课程学习目标：

1.了解

能够准确地辨认

2.探索

能利用

掌握

3.会作

了解

能利用

教材分析

全等三角形的概念和性质，全等三角形中的对应元素；三角形全等的判定方法，三角形全等进行证明，

综合法证明的格式.

角的平分线，

角的平分线的性质，

三角形全等证明角的平分线的性质

会利用

角的平分线的性质进行证明

二、本章知识结构图:

三、主要内容:

学习概念和性质►第一节全等三角形1课时

全等三角形j掌握判定方法——第二节三角形全等的判定6课时£

利用全等三角形证明——-第三节角平分线的性质2课时最后复习，共2课时.

四、本章的重点和难点：

理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式.

五、本章的地位和作用：

1.知识衔接：

第十一章全等三角形，是初中数学“空间与图形”领域当中的第四部分，前面分别为图形认识初步、相交线和平行线、三角形，在全等三角形后，将继续学习轴对称知识，八下开始学习勾股定理、四边形，九上学习旋转、圆，九下学习相似、锐角三角函数和投影与试图.

可以说，全等三角形的知识是承前启后的.

首先，它衔接了七下的三角形知识，把原来的简单证明，即三步推理的证明，扩充到了多步的复杂证明.在初次学习全等知识时，要求学生将表示对应元素的字母写在对应位置上，这也是比原来要求高的方面.

接着，在全等学习好的基础上，学生要利用全等的知识进一步接受其他新知.比如，利用全等三角形证明角平分线性质，利用全等三角形证明线段等或角相等，从而证明平行四边形的成立，等等.因此,将全等三角形知识学习好，是为后续很多知识做准备.

第三，从全等三角形开始，图形变得更复杂，因为证明全等，必然要两个三角形或更多，学生要从复杂图形中抽离出所需要的图形，挖掘已知条件，所以在训练这个内容时，要循序渐进，逐步训练.

2.认识过程：

从学习全等三角形的过程来看，跟学习平行线的过程基本一样，都遵循了这样一个过程：

认识概念

►

了解性质

A

会判定

►

应用

今后学习其他几何图形，基本都遵照这一顺序

针对本章具体来说：

首先是认识全等形，再认识到全等三角形，这是研究两个三角形之间数量关系的内容，与三角形位置无关.

然后了解全等三角形的性质后，可知“全等三角形的对应边相等,对应角也相等”.于是利用全等三角形可以证明两条线段相等，两个角相等.进一步，利用线段或角的数量关系，可以得到平行、垂直等位置关系.

第三步，掌握如何判定全等三角形.

第四步，开始掌握如何利用全等三角形进行证明，即全等三角形的应用部分.教材首先是用全等三角形证明了角平分线性质，而我们在给学生练习过程中，可以逐步加入证明线段相等，或角相等的例子，等学生掌握后，再添加证明平行或垂直等内容.这样逐步训练达到灵活运用.为了将来平行四边形的学习，现在也可以出些可衔接的例子.

《角的平分线的性质》

（一）说课稿

一、教材分析

本节课选自新人教版教材《数学》八年级上册第十一章第三节，是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的．角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，简化了证明过程，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律．二．教学内容

本节课的教学内容包括角的平分线的作法、角的平分线的性质及初步应用．

内容解析：

教材通过充分利用现实生活中的实物原型，培养学生在实际问题中建立数学模型的能力．作角的平分线是几何作图中的基本作图．角的平分线的性质是全等三角形知识的延续，也是今后证明两个角相等或证明两条线段相等的重要依据．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．

三、教学目标

1、基本知识：

了解尺规作图的原理及角的平分线的性质.

2、基本技能

（1）会用尺规作图作角的平分线。

（2）会利用全等三角形证明角平分线的性质。

（3）能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题

3、数学思想方法：

从特殊到一般

4、基本活动经验：

体验从操作、测量、猜想、验证的过程，获得验证几何命题正确性的一般过程的活动经验

目标解析：

通过让学生经历动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力和数学建模能力了解角的平分线的性质在生产，生活中的应用培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情.

四、学情分析

刚进入初二的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导．根据学生的认知特点和接受水

平，我把第一课时的教学重点定为：

掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用，难点是角平分线的性质的探究

教学难点突破方法：

（1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；

（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；（3）通过多媒体创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习.

五、教法和学法

本节课我坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，采用引导式探索发现法、主动式探究法、讲授教学法，引导学生自主学习、合作学习和探究学习，指导学生“动手操作，合作交流，自主探究”.鼓励学生多思、多说、多练，坚持师生间的多向交流，努力做到教法、学法的最优组合.

教学辅助手段：

根据本节课的实际教学需要，我选择多媒体PPT

课件，几何画板软件教学，将有关教学内容用动态的方式展示出来，让学生能够进行直观地观察，并留下清晰的印象，从而发现变化之中的不变.这样，吸引了学生的注意力，激发了学生学习数学的兴趣，有利于学生对知识点的理解和掌握.

6.教学过程的设计

活动1.创设情景

[教学内容1]一天然气

暖气/1p\

生活中有很多数学问题:

小明家居住在一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连．

问题1：

怎样修建管道最短？

问题2：

新修的两条管道长度有什么关系，画来看一看．

［整合点1］利用多媒体渲染气氛，激发情感．教师利用多媒体展示，引领学生进入实际问题情景中，利用信息技术既生动展示问题，同时又通过图片让学生身临其境般感受生活。

学生动手画图，猜测并说出观察到的结论．引导学生了解角的平分线有很多未知的性质需我们来解开，并板书课题．

［设计意图］依据新课程理念，教师要创造性地使用教材，作为本课的第一个引例，从学生的生活出发，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识，解决实际问题的意识，复习了点到直线的距离这一概念，为后续的学习作好知识上的储备．

活动2．探究体验

［教学内容2］

要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线，工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线．出示仪器模型，介绍仪器特点（有两对边相等），将A点放在角的顶点处，AB和AD沿角的两边放下，过AC画一条射线AEAE即为/BAD勺平分线.

教师继续引导，用多媒体展示实验过程，学生口述，用三角形全等的方法证明AE是/BAD勺平分线.

［设计意图］帮助学生体验从生产生活中分离，抽象出数学模型，并主动运用所学知识来解决问题．

从上面的探究中可以得到作已知角的平分线的方法．［教学内容3］

把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边相等，从几何作图角度怎么画？

BC=DC,从几何作图角度怎么画？

教师提问，学生分组交流，归纳角的平分线的作法，口述证明角平分线的过程．

［设计意图］根据画图过程，从实验操作中获得启示，明确几何作图的基本思路和方法，师生交流并归纳．

教师先在黑板上示范作图，再利用多媒体演示作图过程及画法，加深印象，并强调尺规作图的规范性．

利用三角形全等证明角平分线，进一步明确命题的题设与结论，熟悉几何证明过程．

［教学内容4］

作一个平角/AOB勺平分线0C反向延长0C得到直线CD请学生说出直线CD与AB的位置关系.并在此基础上再作出一个45o的角．

学生独立作图思考，发现直线AB与CD垂直.

［设计意图］通过作特殊角的平分线，让学生掌握过直线上一点作已知直线的垂线及特殊角的方法，达到培养学生的发散思维的目的.

［教学内容5］

让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕.

问题1第一次的折痕和角有什么关系？

为什么？

问题2:

第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们

的长度有何关系？

学生动手剪纸，折叠，教师在多媒体上演示折叠过程.学生观察思考后，在班上交流：

第一次折痕是角的平分线，第二次的折痕是角

平分线上的点到两边的距离，它们的长度相等.

［设计意图］培养学生的动手操作能力和观察能力，为下面进一步揭示角平分线的性质作好铺垫.

［教学内容6］

如图：

按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条折痕.让学生分组讨论、交流，再利用几何画板软件验证结论，并用文字语言阐述得到的性质.（角的平分线上的点到角两边的距离相等）

［整合点2］利用多媒体直观优势，突破教学难点.

结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程.教师归纳，强调定理的条件和作用.

教师用文字语言叙述得到的结论.引导学生结合图形写出已知、求证，分析后写出证明过程，并利用实物投影展示.

证明后，教师强调经过证明正确的命题可作为定理.同时强调文字命题的证明步骤.

［设计意图］经历实践T猜想T证明T归纳的过程，符合学生的认知规律，尤其是对于结论的验证，信息技术在此体现其不可替代性，从而更利于学生的直观体验上升到理性思维.

活动3.合作交流

［教学内容7］

判断正误，并说明理由：

（1）如图1,P在射线OCh,PELOAPF丄OB则PE=PF.

（2）如图2,P是/AOB勺平分线OC上的一点，EF分别在OAOB上，则PE=PF.

（3）

如图3,在/AOB勺平分线OC上任取一点P,若P到OA勺距离为3cm贝卩P到OB的距离边为3cm

见解，教师予以肯定、鼓励.

［设计意图］让学生通过辨析来理解和巩固角平分线的性质定理.

［教学内容8］

让学生运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题:

问题：

引例中两条管道的长度有什么关系？

理由是什么?

再次展示引例情景，用抢答的形式请同学们举手回答.

［设计意图］运用所学性质回答课前引例中的问题，让学生体会

Bt=CDDELABDF

生活中蕴含数学知识，数学知识又能解决生活中的问题，感受数学的价值，让人人学到有用的数学.同时利用抢答形式更好活跃课堂气氛.

［教学内容9］例题讲解例1如图，在△ABC中,AD是它的角平分线，且

丄AC垂足分别是E,F.

求证：

EB=FC.

变题1:

如图，△ABC中,ZC=90°,AD是/BAC勺平分线，DELAB于E,F在AC上，且B［=DF,求证：

CF=EB

变题2:

如图，△ABC中,ZC=90°,AD是ZBAC勺平分线，DELAB于E,BC=8,BD=5,求DE

［整合点3］多媒体的运用，促进了课堂教学方法与模式的变革.

教师用多媒体展示问题，学生观察识图，独立思考，并且在小组内讨论交流，找出证明思路，再鼓励学生通过实物投影展示自己的证明过程，教师点评一题多变及一题多解.

［设计意图］本组例题的解决是为突出重点、突破难点而设计的一项活动.让学生运用性质解决数学问题，通过利用多媒体对一些边

进行变色，提醒学生直接运用定理，不要仍旧去找全等三角形.同时

通过学生观察识图、独立思考、小组讨论，培养学生合作交流的意识.

例2已知：

如图，△ABC勺角平分线BM

CN相交于点P.求证：

点P到三边ABBG

CA的距离相等.

限时让学生独立思考分析，然后交流证题思路，再通过多媒体展示一般证明过程.

［设计意图］例2限时独立完成，并展示.通过问题的解决，帮助学生更好的理解角平分线的性质，并达到能熟练运用的程度.

活动4.评价反思

［教学内容10］

1、这节课你有哪些收获，还有什么困惑？

2、通过本节课你了解了哪些思考问题的方法？

教师让学生畅谈本节课的收获与体会.学生归纳、梳理交流本节课所获得的知识技能与情感体验.

［设计意图］通过引导学生自主归纳，调动学生的主动参与意识，锻炼学生归纳概括与表达能力.

5.布置作业

［教学内容11］

作业，必做题：

教材第22页第1、2、3题；选做题：

教材第23页第6题

教师布置作业，学生独立完成.

［设计意图］设置必做题的目的是巩固本节课应知应会的内容，

面向全体学生，人人必须完成.选做题要求学生根据个人的实际情况尽力完成，使学有余力的学生得到提高，达到“不同的人得到不同的发展”的目的.

（一）板书设计：

11.3角的平分线的性质

1、角的平分线的作法•2、角的平分线的性质.活动6例题

布置作业

（二）时间安排:

创设情景约4分钟，探究体验约13分钟，合作交流约18分钟,评价反思约6分钟，机动时间约4分钟.

（三）教学设计说明：

本节课设计了四个环节，环环相扣，三个整合点，层层深入，将信息技术与教学进行有机整合，充分调动学生的自主探究与合作交流，教师注意适时的点拔引导，学生的主体地位和教师的主导作用得以充分体现，切实能够达到发展思维、提升能力的根本目的，能够较好地实现教学目标，也使课标理念能够很好地得到落实.

第十二章《轴对称》

教材分析

一、定位

1、直观感知与操作确认

2、合情推理与演绎推理

二、、本章注重与现实生活的联系，注重观察、操作、想像等探索过程，因而有以下几个特点：

1、在内容上力求生动有趣、贴近现实生活；

2、对知识的陈述不仅注重结果，而且尽量给学生提供一定的探索空

间，甚至将部分所要掌握的结论在教材中留下空白，由学生去发现（例：

角平分线的性质）；

3、要求学生利用轴对称进行图案设计；

4、等腰三角形这部分内容引入较多的动手操作和直观感知，通过折纸（轴对称变换）、画图、度量等方法去探索和发现等腰三角形的有关性质。

5、让学生进一步体验数学证明的必要性，学会说理，将合情推理和演绎推理两者更好地有机结合；

6、在知识的应用上，要求能进行简单的计算，并尽可能强调知识在现实生活中的应用，增强学生的应用意识。

三、本章的重点难点重点：

经历轴对称的生成过程（第二节），并能用轴对称性探索等腰三角形的性质；

难点：

用轴对称探索等腰三角形的性质。

四、主要内容：

轴对称和等腰三角形学生主要掌握：

1、基本图形（如线段、角）的轴对称性

2、画和轴对称有关的图形

3、等腰三角形的性质和识别

4、等边三角形的性质

五、本章的教学时间为10课时，建议分配如下：

§10.1生活中的轴对称1课时

§10.2轴对称的认识4课时

§10.3等腰三角形3课时

复习2课时

六、教学策略分析

从知识容量上来说，本章的教学时间较为充裕，这主要是考虑到要给学生时间去自主探索、动手实践，如果不能给这一过程以足够的时间，那么学生自己的探索和发现很可能流于形式，不利于学生全面地获得数学知识.在探究的方式上，可以全班同学一起进行，教师引导；也可以以小组学习的方式，四至五位同学一个小组，培养学生的合作意识.

（第1节）

1.本节从现实生活中的大量直观图形入手，让学生在观察、动手操作的过程中掌握轴对称的概念.教学中可向学生提供丰富的素材.除书上提供的素材外，教师可以补充一些生活中丰富多彩的轴对称图形供学生观察.而这些图形从互联网上可以容易获得，用电脑展示方便效果也很好.

2.在教学时，对正文中的“试一试”等，可根据各地的实际情况取材，不必拘泥于教材，关键是让学生在观察实践中感受概念，探索性质.（第二节）

本节内容是本章的重点，难点是几条性质的探索和掌握.

1.本节主要是通过折叠的方式认识线段和角等图形的轴对称性，通过运动变换的方法去探索其相关性质.在探索的过程中可以直观观察和直观推理相结合，以逐步培养学生的逻辑推理能力.

2.在画图形的对称轴这一小节的教学中，注意画对称轴的过程也是让学生探索的过程，以学生动手操作为主，探索发现结论.可利用图10.2.5，也可以利用书后的方格子，用更多的轴对称图形让学生探索规律.

3.在画轴对称图形的教学中，教学中要注意给学生创设一个循序渐进的探索过程.

.利用几何画板软件可以很容易地画出任意几何图形的轴对称图形，有条件的学校，教学时可利用此软件给学生演示教材中图案设计的过程，或者让学生自己利用该软件作图，这样可以让学生感受轴对称变换的过程，以及提高教学效率.

（第三节）

1.等腰三角形的“等边对等角”以及“三线合一”性质，都不是通过论证得出的，而是让学生动手操作，通过等腰三角形的轴对称变换得出的.

2.对于“三线合一”的性质，学生不容易引起重视，但它的应用很广泛，教学中可适当补充例题让学生巩固该性质的掌握.

3.等腰三角形的“等角对等边”是通过直观度量、操作确认得出的.

4.让学生明确“等边对等角”和“等角对等边”都是指在同一三角形中的边角关系.

5.对于等边三角形，教材中出现了等边三角形的性质，即“等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60”，等边三角形的有关识别方法可在以后的一些练习中让学生逐步掌握，这里暂不作要求.

教材在等腰三角形的这部分内容中，加强了合情推理与演绎推理的有机结合。

在动手操作和直观感知，通过折纸、观察、归纳等方法去探索和发现的同时，让学生进一步认识数学推理，从本小节开始，让学生尝试书写一些简单问题的数学推理格式

《轴对称》说课稿

一、教材的地位和作用

本节是人教版《义务教育课程标准实验教科书》八年级上册第十二章轴对称的第1课时，主要介绍轴对称图形、图形的轴对称的概念。

教科书立足于学生的生活经验和教学活动经历，从观察生活中的对称现象开始，通过不同的活动引出轴对称图形和图形的轴对称的概念，进而体会两个概念的区别和联系。

为学习轴对称的性质、变换，等腰三角形的直观认识打下坚实基础。

在探索的过程中，经历观察、实验、归纳，激起学生对数学学习的情感体验，在学习中发现美、欣赏美、创造美，体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的文化价值。

二、教学重点、难点

重点：

轴对称图形和轴对称的概念。

难点：

比较观察轴对称图形和轴对称的区别和联系。

三、学情分析

八年级学生有一定的知识水平，并具有丰富的想象力和鲜明的个

性，对将来有着美好的憧憬。

本班学生基础扎实，观察能力、语言表达能力强，且有电脑网络这一资源优势可以适当运用，。

四、教学目标

1、知识技能

1理解轴对称图形，两个图形关于某直线对称的概念。

2了解轴对称图形的对称轴，两个图形关于某直线对称的对称轴、对应点。

3了解轴对称图形与两个图形关于某直线对称的区别和联系。

2、数学思考

①通过学习轴对称图形和两个图形成轴对称，进一步认识几何图形的本质特征。

②通过学习轴对称图形和两个图形成轴对称的区别和联系，进一步发

展学生抽象概括的能力3、解决问题通过轴对称图形和两个图形成轴对称的学习，让学生关注生活，学会观察、增强交流。

4、情感态度通过轴对称图形和两个图形成轴对称的学习，激发学生学习欲望，主动参与数学学习活动。

五、教学方法、学习方法的选择教法：

任务型自主探究，情景教学、引导归纳相结合的方法。

学法：

运用活动做载体，指导学生观察、实验、探究、归纳。

六、教具学具

多媒体，剪刀，手工纸，尺子等

七、教学过程

活动1：

轴对称图形的概念

1、图片欣赏。

让学生边观察边思考：

这些图片有什么共同特征？

这一设计遵循教学要贴近生活实际的原则，学生仔细观察后，能发现这些图形都是对称。

然后，教师适时提出问题：

这些图形是如何对称的？

怎样才能使对称的部分重合呢？

让学生观察、猜想、探究、讨论，引导学生发现图形的特征并总结出轴对称图形的概念。

教师结合多媒体进行配合演示。

2、教师用多媒体进行重点讲解，穿插对应练习。

在练习中发现学生的问题，并及时解决。

3、探讨对称轴条数问题并，先让学生分组操作，再引导学生总归规律。

让学生在探讨过程中进一步加深对轴对称图形概念的理解。

4、在欣赏完图片，感知了轴对称图形的基础上，学生肯定急于了解这些图形到底美在哪里。

因此我设置了剪纸活动，让学生通过动手实践来创造美，在操作中感知轴对称图形的概念。

并且为引出轴对称的概念做好铺垫。

活动2：

轴对称的概念通过剪纸中出现的一种情况，引导学生观察分析得到轴对称的概念。

提高学生的思辨能力。

有了轴对称图形的概念作基础，学生会比较容易接受，所以我用的时间较少。

活动3：

对比归纳轴对称图形和轴对称的区别与联系通过列表的形式让学生结合图形进行对比，总结出轴对称图形和轴对称的区别与联系。

这里渗透整体与部分的辨证关系，进一步发展学生抽象思维能力。

然后设计一个对应练习，做到学练结合，促进学生的理解。

活动4：

巩固练习，应用提高

我设计了6个巩固和拓展的练习，让学生对所学的知识有一个消化。

活动5：

课堂小结

1、本节课你学到了什么?

2、你掌握了什么数学方法?

3、欣赏图片，让学生在欣赏过程中感受轴对称无处不在，体验数学

的实用性。

其中的脸谱图案，可让学生体会中华传统文化的魅力。

陶冶学生的爱国情操。

活动6:

作业设计

用所学知识设计班徽（这个设计，具有开放性，能充分发挥学生的想象力和创造力、动手能力、使学生成为学习的真正主人，给了学生自我表现、自我创造的空间，有利于培养学生积极的学习态度和学数学的亲切感，也有利于培养学生对美的感受能力）板书设计：

轴对称图形、★一个图形

（形状）

第十五章《整式的乘除与因式分解》

【本章特点】

本章是整式的加减的后续学习，首先，从幕的运算入手，逐步展开整式的乘

法运算；接着，在整式的乘法中提炼出两种特殊的乘法运算，即两个乘法公式；最后，从整式的乘法的逆过程出发，引人因式分解的相关知识.乘法公式本身也是特殊多项式的乘法，因式分解则是整式乘法的逆过程.所有这一切都让学生自己进行体验、探索与认识，有利于学生知识的迁移，形成新的知识结构•本章主要有如下特点：

1注重知识形成的探索过程，让学生在探索过程中领悟知识，在领悟过程中建构体系，从而更好地实现知识体系的更新和知识的正向迁移.

2．知识内容的呈现方式力求与学生已有的知识结构相联系，同时兼顾学生的思维水平和心理特征．

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