二年级专题第四讲数几何图形的个数.docx
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二年级专题第四讲数几何图形的个数
第四讲:
数几何图形的个数
“数几何图形的个数”是趣味图形问题的一种。
数图形虽然很简单,但重复计数和遗漏是经常出现的错误,在细心的同时还要掌握方法和技巧。
一、数线段
1.数出下列每条线段上线段的总条数。
分析与解:
数线段的时候一定按一定的顺序数,否则就会出现重复或遗漏。
数时可以先数最基本的小线段,再数两条基本线段组成的线段,再数三条基本线段组成的线段,……,最后把各种“线段”条数相加起来。
法一:
照下面的方法数(以第2小题为例):
3+2+1=6(条)
法二:
(规律)线段总条数都是从1开始的几个连续自然数的和,而且最后一个加数正好和最基本线段数相同。
(1)
(条)
(2)
(条)
(3)
(条)
二、数角
2.数出右图中总共有多少个角.
分析与解:
在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3,∠AOB被这三条角分线分成4个基本角,那么∠AOB内总共有多少个角呢?
首先有这4个基本角,其次是包含有2个基本角组成的角有3个(即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB),然后是包含有3个基本角组成的角有2个(即∠AOC3、∠C1OB),最后是包含有4个基本角组成的角有1个(即∠AOB),所以∠AOB内总共有角:
4+3+2+1=10(个).
令狐老师注:
数角的方法可以采用例1数线段的方法来数,就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和,这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1,也就是基本角的个数.
【巩固】数一数右图中总共有多少个角?
分析与解:
因为∠AOB内角分线OC1、OC2…OC9共有9条,即9+1=10个基本角.
所以总共有角:
10+9+8+…+4+3+2+1=55(个).
三、数三角形
3.如右图中,各个图形内各有多少个三角形?
分析与解:
方法一:
(1)先数图中包含一个小三角形个数:
△ABD、△ADE、△AEF、△AFC共4个三角形.
(2)再数由两个小三角形组合在一起的三角形个数:
△ABE、△ADF、△AEC共3个三角形,
(3)以三个小三角形组合在一起的三角形:
△ABF、△ADC共2个三角形,
(4)最后数以四个小三角形组合在一起的只有△ABC一个.
所以图中三角形的个数总共有:
4+3+2+1=10(个).
方法二:
我们就可以把数三角形问题转化为数线段问题了。
根据例1可知,BC边上的线段有6条,那么,以BC边上线段为第三边的三角形就有6个
令狐老师注:
计算三角形的总数也等于从1开始的几个连续自然数的和,其中最大的加数就是三角形一边上的分点数加1,也就是三角形这边上分成的基本线段的条数.
【巩固】数出下面图中三角形的个数。
分析与解:
仔细观察图形,可以发现,所构成的每个三角形中,有两条边是由A点引出的,而第三条边是BC或DE上的线段,BC和DE上有多少条线段就有多少个三角形,这样我们就可以把数三角形问题转化为数线段问题了。
根据例1可知,BC边上的线段有15条,那么,以BC边上线段为第三边的三角形就有15个。
同理,DE边上的线段15条,以DE边上的线段为第三边的三角形也有15个。
所以,图中共有三角形
(个)
4.数出下图(图1)中三角形的个数。
分析与解:
明显地,这个图形与上一道例题中数三角形的个数有很大的区别,所以上例的解法不适合此题,为了便于数出三角形的个数,我们可以用分类的方法来数。
怎样分类呢?
可以按三角形的构成来进行分类,为了叙述方便,我们把图中三角形编上号码,如图2所示。
由1个三角形构成的三角形有6。
由2个三角形构成的三角形有2个,即(1,2),(4,5)
由3个三角形构成的有4个,即(1,2,3),(4,5,6),(6,1,2),(3,4,5)
所以,此图中共有三角形:
(个)
5.数一数,下图中有多少个三角形?
分析与解:
观察上面图形中这些三角形,可以分为尖朝上和尖朝下两大类,将尖朝上的三角形1—8依次编上序号,尖朝下的三角形用A、B、C、D、E、F、G、H依次标上字母(如下图)
(1)标上数字和字母的基本三角形共有:
(个)
(2)由四个基本三角形组成的三角形,尖朝上的有3个,尖朝下的有3个,所以这个图形共有三角形:
(个)
【巩固】数一数,下图中各有多少个三角形?
分析与解:
(1)基本三角形16个
由2个基本三角形组成的有16个
由4个基本三角形组成的有8个
由8个基本三角形组成的有4个
共有三角形:
个。
(2)基本三角形有12个
由4个基本三角形组成的三角形有6个。
由9个基本三角形组成的三角形有2个。
共有三角形
(个)
四、数长方形
6.如下图,数一数下列各图中长方形的个数?
分析与解:
图(Ⅰ)中长方形的个数与AB边上所分成的线段的条数有关,每一条线段对应一个长方形,所以长方形的个数等于AB边上线段的条数,即长方形个数为:
4+3+2+1=10(个).
图(Ⅱ)中AB边上共有线段4+3+2+1=10条.BC边上共有线段:
2+1=3(条),把AB上的每一条线段作为长,BC边上每一条线段作为宽,每一个长配一个宽,就组成一个长方形,所以图(Ⅱ)中共有长方形为:
(4+3+2+1)×(2+1)=10×3=30(个).
图(Ⅲ)中,依据计算图(Ⅱ)中长方形个数的方法:
可得长方形个数为:
(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个).
令狐老师注:
长方形的总数为:
宽的线段条数×长的线段条数
五、数正方形
7.如右图,数一数图中有多少个正方形(其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形).
分析与解:
为叙述方便,我们规定最小正方形的边长为1个长度单位,又称为基本线段,图中共有五类正方形.
①以一条基本线段为边的正方形个数共有:
6×5=30(个).
②以二条基本线段为边的正方形个数共有:
5×4=20(个).
③以三条基本线段为边的正方形个数共有:
4×3=12(个).
④以四条基本线段为边的正方形个数共有:
3×2=6(个).
⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有:
2×1=2(个).
所以,正方形总数为:
6×5+5×4+4×3+3×2+2×1
=30+20+12+6+2=70(个)
【巩固】下图中有多少个正方形?
分析与解:
按照方向数。
正方形的个数:
(1)正方的:
1×1的有8个;2×2的有2个;
(2)斜放的:
九宫格,有
个;
【巩固】下面的
和
图中共有____个正方形.
【解析】在
的图中,边长为1的正方形
个;边长为2的正方形
个;边长为3的正方形
个;边长为4的正方形
个;边长为5的正方形有
,总共有
(个)正方形.在
的图中边长为1的正方形
个;边长为2的正方形
个;边长为3的正方形
个;边长为4的正方形
个;总共有
(个).
六、数物体个数
下面我们轻松一下,来数数几个物体的个数
8.如右图所示是一个由小立方体构成的塔,请你数一数并计算出共有多少块。
分析与解:
分层数,从顶层开始数,各层小立方块数是:
第一层:
1块;
第二层:
4块;
第三层:
9块;
第四层:
16块;
总块数1+4+9+16=30(块)。
【巩固】请你数一数共有多少小立方体?
分析与解:
分排数,从右往左数,并且编号
第一排:
1块;
第二排:
7块;
第三排:
5块;
第四排:
9块;
第五排:
16块;
总数:
1+7+5+9+16=38(块)。
【下面补充一道推理题】
1.用红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体的各个面上,每一个面只涂一种颜色.如图所示,现有涂色方式完全一样的四块小正方体拼成了一个长方体.试回答:
每个小正方体中,红色面的对面涂的是什么色?
黄色面的对面涂的是什么色?
黑色面的对面是什么色?
【解析】在能看见的9个面中红色出现的次数最多.观察图8—4中最上面的一个正方体,由于红色和黑色、黄色相邻,所以它的对面不可能是黑黄两色.同理,由第二个正方体可知,红色的对面不能是白色;由第三个正方体知,红色的对面不能是蓝色.所以红色的面的对面只可能是绿色.同理,黄色面的对面不可能是红色、黑色或白色,又已推知不可能是绿色,所以黄色面的对面只可能是蓝色.这样黑色面的对面就只可能是涂白色的了.