相交线与平行线教师教案.docx

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相交线与平行线教师教案

相交线与平行线（教师教案）

第一段典型例题

【开课】教师在正式开课前，先把本次课程的内容简单概括一下：

今天的内容主要包括以下几部分内容：

一．相交线、垂线的概念

二．同位角、内错角、同旁内角等的概念

三．平行线的的性质和判定

【课程目标】

1.理解相交线的定义、对顶角的定义和性质、邻补角的定义，正确识别“三线八角”；

2.理解垂线的定义、点到直线的距离的定义，掌握垂线的性质；

3.理解平行线的概念，正确地表示平行线，会利用三角尺、直尺画平行线，理解平行公理和平行公理的推论；

4.掌握两直线平行的判定方法和平行线的性质；

5.能综合运用平行线的性质和判定证明和计算。

【课程安排】

1教师简要介绍本次课程的关键点，同学做题，然后教师讲解

2教师总结，学生做综合练习（第二段）教师讲解

【教师讲课要求】

教师先将第一段练习发给每一位学生，学生做题时教师必须巡视，了解学生做题情况，学生完成练习后，教师进行讲解。

第一部分相交线、垂线

课时目标：

理解相交线的定义、对顶角的定义和性质、邻补角的定义，正确识别“三线八角”；理解垂线的定义、点到直线的距离的定义，掌握垂线的性质；

教师讲课要求

【知识要点】：

请学生看一下做好上课的准备

（一）相交线

1.相交线的定义

在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。

如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。

图1图2图3

2.对顶角的定义

若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。

如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。

注意：

两个角互为对顶角的特征是：

（1）角的顶点公共；

（2）角的两边互为反向延长线；（3）两条相交线形成2对对顶角。

3.对顶角的性质

对顶角相等。

4.邻补角的定义

如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。

如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。

（二）垂线

1.垂线的定义

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

图4

如图4所示，直线AB与CD互相垂直，垂足为点O，则记作AB⊥CD于点O。

其中“⊥”是“垂直”的记号；

是图形中“垂直”（直角）的标记。

注意：

垂线的定义有以下两层含义：

（1）∵AB⊥CD（已知）

（2）∵∠1＝90°（已知）

∴∠1＝90°（垂线的定义）∴AB⊥CD（垂线的定义）

2.垂线的性质

（1）性质1：

在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，即过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

（2）性质2：

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

即垂线段最短。

3.点到直线的距离

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

图5图6

如图5所示，m的垂线段PB的长度叫做点P到直线m的距离。

4.垂线的画法（工具：

三角板或量角器）

5.画已知线段或射线的垂线

（1）垂足在线段或射线上

（2）垂足在线段的延长线或射线的反向延长线上

（三）“三线八角”

两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。

（1）同位角：

可以发现∠1与∠5都处于直线

的同一侧，直线

、

的同一方，这样位置的一对角就是同位角。

图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。

（2）内错角：

可以发现∠3与∠5都处于直线

的两旁，直线

、

的两方，这样位置的一对角就是内错角。

图中的内错角还有∠4与∠6。

（3）同旁内角：

可以发现∠4与∠5都处于直线

的同一侧，直线

、

的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。

图中的同旁内角还有∠3与∠6。

范例1.判断下列语句是否正确，如果是错误的，说明理由。

（1）过直线外一点画直线的垂线，垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离；

（2）从直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；

（3）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直；

（4）两条直线的位置关系要么相交，要么平行。

解答：

（1）这种说法是错误的。

因为垂线是直线，它的长度不能度量，应改为“垂线段的长度叫做点到直线的距离”。

（2）这种说法是错误的。

因为“点到直线的距离”不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度。

（3）这种说法是正确的。

（4）这种说法是错误的。

因为只有在同一平面内，两条直线的位置关系才是相交或平行。

如果没有“在同一平面内”这个前提，两条直线还可能是异面直线。

说明：

此题目的是让学生抓住相交线平行线这部分概念的本质，弄清易混概念。

范例2.如下图所示，直线DE、BC被直线AB所截，问

，

各是什么角？

范例3证明垂直

第二部分平行线

[课时目标]理解平行线的概念，正确地表示平行线，掌握两直线平行的判定方法和平行线的性质能综合运用平行线的性质和判定证明和计算。

教师讲课要求

知识要点：

请学生看一下准备上课

1.平行线的概念

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

2.平行线的表示方法

平行用“∥”表示，如图7所示，直线AB与直线CD平行，记作AB∥CD。

3.平行线的画法

4.平行线的基本性质

（1）平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

（2）平行公理的推论：

如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。

5.平行线的判定方法：

（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

（4）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。

（5）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。

6.平行线的性质：

（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

简记：

两直线平行，同位角相等。

（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

简记：

两直线平行，内错角相等。

（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

简记：

两直线平行，同旁内角互补。

范例1如图，已知∠AMF=∠BNG=75°，∠CMA=55°，求∠MPN的大小

范例2如图，∠1与∠3为余角，∠2与∠3的余角互补，∠4=115°，CP平分∠ACM，求∠PCM

范例3如图，已知：

∠1+∠2=180°，∠3=78°，求∠4的大小

范例4如图，已知：

∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2，说明：

∠E=∠F

范例6如图，已知AB∥CD，说明：

∠B＋∠BED＋∠D=360°

分析：

因为已知AB∥CD，所以在∠BED的内部过点E作AB的平行线，将∠B＋∠BED＋∠D的和转化成对平行线的同旁内角来求。

范例7.小张从家（图中A处）出发，向南偏东40°方向走到学校（图中B处），再从学校出发，向北偏西75°的方向走到小明家（图中C处），试问∠ABC为多少度？

说明你的理由。

范例8如图，∠ADC=∠ABC，∠1＋∠2=180°，AD为∠FDB的平分线，说明：

BC为∠DBE的平分线。

证明：

∵∠1＋∠2=180°（已知）

∠2＋∠7=180°（补角定义）

∴∠1=∠7（同角的补角相等）

∴AE∥CF （同位角相等，两直线平行）

∴∠ABC＋∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）

又∠ADC=∠ABC（已知），CF∥AB（已证）

∴∠ADC＋∠C=180°（等量代换）

∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）

∴∠6=∠C，∠4=∠5（两直线平行，同位角相等，内错角相等）

又∠3=∠C（两直线平行，内错角相等）

∴∠3=∠6（等量代换）

又AD为∠BDF的平分线

∴∠5=∠6

∴∠3=∠4（等量代换）

∴BC为∠DBE的平分线

范例9如图，DE，BE分别为∠BDC，∠DBA的平分线，∠DEB=∠1＋∠2

（1）说明：

AB∥CD

（2）说明：

∠DEB=90°

第三部分平移

平移把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新图形，图形的这种移动，叫做平移变换，图形平移的方向不一定是水平的.

平移的性质：

⑴把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全______.

⑵新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段_________________.

《相交线与平行线》单元测试题

班级：

姓名：

得分：

一、填空题

1.两条直线相交，有_____对对顶角，三条直线两两相交，有_____对对顶角.

2.如图1，直线AB、CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠DOE=60°，则∠AOC的度数是_____.

3.已知∠AOB=40°，OC平分∠AOB，则∠AOC的补角等于_____.

4.如图2，若l1∥l2，∠1=45°，则∠2=_____.

图1图2图3

5.如图3，已知直线a∥b,c∥d，∠1=115°，则∠2=_____，∠3=_____.

6.一个角的余角比这个角的补角小_____.

7.如图4，已知直线AB、CD、EF相交于点O，∠1=95°，∠2=32°，则∠BOE=_____.

图4图5

8.如图5，∠1=82°，∠2=98°，∠3=80°,则∠4的度数为_____.

9.如图6，AD∥BC，AC与BD相交于O，则图中相等的角有_____对.

图6图7

10.如图7，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=_____.

11.如图8，DAE是一条直线，DE∥BC，则∠BAC=_____.

12.如图9，AB∥CD，AD∥BC，则图中与∠A相等的角有_____个.

图8图9图10

13.如图10，标有角号的7个角中共有_____对内错角，_____对同位角，_____对同旁内角.

14.如图11，

（1）∵∠A=_____（已知），

∴AC∥ED（）

（2）∵∠2=_____（已知），

∴AC∥ED（）

（3）∵∠A+_____=180°（已知），

∴AB∥FD（）

（4）∵AB∥_____（已知），

∴∠2+∠AED=180°（）

（5）∵AC∥_____（已知），

∴∠C=∠1（）

二、选择题

15.下列语句错误的是（）

A.锐角的补角一定是钝角

B.一个锐角和一个钝角一定互补

C.互补的两角不能都是钝角

D.互余且相等的两角都是45°

16.下列命题正确的是（）

A.内错角相等

B.相等的角是对顶角

C.三条直线相交，必产生同位角、内错角、同旁内角

D.同位角相等，两直线平行

17.两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线（）

A.互相重合B.互相平行

C.互相垂直D.相交

18.如果∠1与∠2互补，∠1与∠3互余，那么（）

A.∠2＞∠3B.∠2=∠3

C.∠2＜∠3D.∠2≥∠3

19.如图12，已知∠1=∠B，∠2=∠C，则下列结论不成立的是（）

A.AD∥BCB.∠B=∠C

C.∠2+∠B=180°D.AB∥CD

20.如图13，直线AB、CD相交于点O，EF⊥AB于O，且∠COE=50°，则∠BOD等于（）

A.40°B.45°C.55°D.65°

21.如图14，若AB∥CD，则∠A、∠E、∠D之间的关系是（）

图14

A.∠A+∠E+∠D=180°

B.∠A－∠E+∠D=180°

C.∠A+∠E－∠D=180°

D.∠A+∠E+∠D=270°

三、解答题

22.如图15，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度数.

23.如图16，已知AB∥CD，∠B=65°，CM平分∠BCE，∠MCN=90°，求∠DCN的度数.

24.如图17，∠1=

∠2，∠1+∠2=162°，求∠3与∠4的度数.

25.如图18，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系，为什么？

26.如图19，AB∥CD，HP平分∠DHF，若∠AGH=80°，求∠DHP的度数.

27.根据下列证明过程填空：

如图20，BD⊥AC，EF⊥AC，D、F分别为垂足，且∠1=∠4，求证：

∠ADG=∠C

证明：

∵BD⊥AC，EF⊥AC（）

∴∠2=∠3=90°

∴BD∥EF（）

∴∠4=_____（）

∵∠1=∠4（）

∴∠1=_____（）

∴DG∥BC（）

∴∠ADG=∠C（）

28.已知：

如图22，CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA,∠1+∠2=90°，

求证：

DA⊥AB.

一、1.两六2.30°3.160°4.1355.115°115°6.90°7.53°8.80°

9.四10.40°11.46°12.313.四二四

14.

（1）∠BED同位角相等,两直线平行

（2）∠DFC内错角相等，两直线平行

（3）∠AFD同旁内角互补，两直线平行

（4）DF两直线平行，同旁内角互补

（5）ED两直线平行，同位角相等

二、15.B16.D17.B18.A19.B20.A21.C

三、22.40°23.32.5°24.54°72°

25.平行证明略26.50°27.已知同位角相等，两直线平行∠5两直线平行，同位角相等已知∠5等量代换内错角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等

28.错误：

过A作DE∥BC，且使∠1=∠C，应改为：

过A作DE∥BC.∵∠1=∠C（画图），理由错，应改为：

两直线平行，内错角相等29.略