现代信号处理仿真作业一（3.18谐波恢复）.docx

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现代信号处理仿真作业一（3.18谐波恢复）

班级：

自研42 姓名：

李琳琳学号：

2004211068

一一谐波恢复的基本理论与方法：

1.Pisarenko谐波分解理论

谐波过程可用差分方程描述，首先利用Pisarenko谐波分解理论推导谐波过程所对应的差分方程。

对单个正弦波x（n）=sin（2pfn+q）利用三角函数恒等式，有：

x（n）-2cos（2pf）x（n-1）+x（n-2）=0

对上式作z变换，得：

[1-2cos（2pf）z-1+z-2]X（z）=0

得到特征多项式：

1-2cos（2pf）z-1+z-2=0。

由此可见，正弦波的频率可以

由相应特征方程的一对共轭根来决定：

fi=|arctan[Im（zi）/Re（zi）]|/2p

将单个正弦波推广到多个正弦波的情形，得：

如果p个实的正弦波信号没有重复频率的话，则这p个频率应该由特征多项式

1 2p-1

1+az-1+K+a z-（2p-1）+z-2p=0

（1）

的根决定。

由此可得到p个实正弦波所组成的谐波过程可以用以下的差分方程进行描述：

x（n）+ aix（n-i）=0

i=1

这是一个无激励的AR过程。

2.谐波恢复的ARMA建模法

在无激励的AR模型差分方程x（n）+ aix（n-i）=0两边同乘x（n-k），

i=1

并取数学期望，则有：

Rx（k）+ aiRx（k-i）=0,"k

（2）

i=1

正弦波过程一般是在加性白噪声中被观测的，设加性白噪声为w（n），

即观测过程为：

y（n）=x（n）+w（n）=åAisin（2pfin+qi）+w（n），其中

i=1

w（n）为0均值的高斯白噪声。

由于谐波过程与加性白噪声统计独立，所以有：

R（k）=R（k）+R（k）=R（k）+s2d（k）（3）

y x w x w

将（3）式代入

（2）式得：

Ry（k）+ aiRy（k-i）=0,k>2p （4）

i=1

这就是加性白噪声中观测到的p个正弦信号所组成的谐波信号的ARMA

过程的所服从的法方程。

3.谐波恢复方法

利用以上两种理论所推导的结果，可以通过以下方法进行本题的仿真实验（程序见附页）：

（1.）根据题目要求给出仿真数据

x（n）=

20sin（2p0.2n）+

2sin（2p0.213n）+w（n）

其中w（n）为0均值，单位方差的高斯白噪声。

（2.）求x（n）的自相关矩阵Rxx

（3.）利用上面推导出来的（4）式给出该谐波过程的ARMA过程所服从的法方程。

其中公式中的y对应题目中的x。

（4.）若用最小二乘方法，则根据题目要求，可直接取AR阶数2p分别为4和6，然后用最小二乘法求解法方程，得出AR参数的估计值a1,a2,K,ap；

若用总体最小二乘方法，则取较大的M和Pe，列出法方程的增广矩阵，求出该矩阵的有效秩（即AR阶数的估计值）后，再用课本66页的总体最小二乘方法求得AR参数的估计值a1,a2,K,ap。

（5.）将所求得的AR参数a1,a2,K,ap代入

（1）中，得该谐波过程的特征方

程，求解该特征方程得其模为1的共轭复根。

（6.）由式fi=|arctan[Im（zi）/Re（zi）]|/2p即可求得正弦波频率的估计值。

一一 AR参数和正弦波频率估计值的统计结果

根据以上理论及方法分别编写最小二乘和总体最小二乘的matlab

程序，各独立运行20次，其结果及统计结果如下：

1.最小二乘

（1．）AR阶数为4arMatrix=

Columns1through12

-0.4598

-0.3507

-0.1278

-0.0943

-0.3434

0.0737

-0.2146

-0.2919

-0.3176

-0.2331

-0.7039

0.3275

0.8806

0.7543

0.8032

0.6490 0.9086

0.8011

0.6412

0.9384

0.6871

1.0946 1.0373

0.7350

0.1693

0.3133

0.4179

0.5340 0.2238

0.4562

0.4686

0.2366

0.3776

0.1731 -0.0778

0.3412

-0.0202

-0.0758

0.1129

-0.0202 0.0842

0.1405

-0.1023

0.1457

-0.1219

0.3371 -0.0110 -

0.0785

Columns13through20

-0.1600 -0.2792 -0.2207 -0.1843 -0.7587 -

0.2687 -0.2143 -0.4826

0.8284 0.7197 0.7327 0.6541 0.8180

1.0069 0.7344 0.8866

0.3846 0.3781 0.4042 0.4778 0.0283

0.2056 0.4112 0.1485

0.1174 -0.0642 -0.0133 -0.0708 -0.2617

0.2302 -0.0082 -0.0244

ar_mean=

-0.3053

0.8156

0.3036

0.0148

ar_var=

0.0326

0.0174

0.0257

0.0186

fvMatrix=

Columns1through12

0 0 0.1200 0 0.1709

0.1207 0 0.1793 0 0.1963 0

0.2000 0.1999 0.1997 0.1998 0.1997

0.1999 0.1997 0.1997 0.1997 0.1998 0.1998

0.1997

Columns13through20

0.1333

0.1905

0.1997

0.1998

0.1997

0.1995

0.1996 0.1996 0.2000

fv_mean=

0.0556

0.1997

fv_var=

0.0064

0.0000

其中，arMatrix为4*20的矩阵，用来存储20次独立运行的AR参数估计值，每一列为对应该次运行时所得的AR参数估计值；ar_mean和ar_var为AR参数估计值的统计结果，ar_mean为运行20次后AR参数的平均值，ar_var为20次AR参数的方差。

fvMatrix为2*20的矩阵，用来存储20次独立运行的正弦波频率估计值，每一列为对应该次运行时所得的正弦波频率估计值；fv_mean和fv_var为正弦波频率估计值的统计结果，fv_mean为运行20次后正弦波频率的平均值，fv_var为20次正弦波频率的方差。

（2．）AR阶数为6arMatrix=

Columns1through12

-0.4147

-0.4369

-0.1121

-0.3637

-0.3285

0.0468 -0.0936

-0.4142

0.0050

-0.3699

-0.0977

0.3209

1.0172

0.9038

0.6183

1.0506

0.9355

0.7342

0.7958

0.9177

1.0123

1.0642

0.8917

1.0613

0.3353

0.2528

0.3925

0.1859

0.2256

0.5002

0.2227

-0.1215

0.9125

0.3570

0.2892

0.1089

0.0778 -0.1941 0.1282 0.1866 0.1771

0.2078 0.0980 -0.1177 0.2724 -0.0708 0.1956

0.3256

0.1812 0.1873 -0.2136 0.0527 -0.0309 -

0.0761 -0.1245 -0.0807 0.4104 0.3344 -0.0451 -

0.0671

0.0662 -0.1642 0.0924 0.0129 0.0618

0.1047 -0.1642 -0.3487 0.2038 -0.1395 -0.0823

0.0513

Columns13through20

-0.0709 -0.2426 -0.5091 -0.2368 -0.3134 -

0.4907 -0.4922 -0.3410

0.6266 0.8746 0.8122 0.7509 1.0563

0.9303 0.8535 0.6779

0.5671 0.4125 0.2955 0.2549 0.2981 -

0.1295 0.3570 0.1475

0.1128 0.0871 -0.2398 -0.0526 0.2745

0.0993 -0.5182 -0.2037

-0.0834 0.0801 0.1475 -0.0549 0.0759 -

0.2053 0.3977 -0.0969

0.1406 0.0408 -0.0559 -0.1252 0.1133 -

0.0711 -0.3375 -0.1985

ar_mean=

-0.2845

0.8792

0.2932

0.0423

0.0394

-0.0400

ar_var=

0.0266

0.0208

0.0508

0.0451

0.0344

0.0239

fvMatrix=

Columns1through12

0.0522 0 0.1030 0.1256 0.1242

0.1006 0 0 0.0338 0 0

0.1550

0.1789

0.1996

0.1033

0.1997

0.1575

0.1527

0.1813

0.1998

0.1997

0.1850

0.1691

0.1996

0.2488

0.1995

0.2285

0.1996

0.1999

0.2137

0.1998

0.2345

0.1997

0.1995

Columns13through20

0.0864

0.0704

0.1165

0.1416

0.1838

0.1996

0.1

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