镇江市中考数学试题分类解析专题10四边形.docx

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镇江市中考数学试题分类解析专题10四边形

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江苏镇江中考数学试题分类解析汇编（12专题）

专题10：

四边形

1、选择题

1.（2001江苏镇江3分）如图，顺次连结四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH.要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是【】

A．AB∥DC　　　B.AC=BDC.AC⊥BDD.AB=DC

【答案】C。

【考点】矩形的判定，三角形中位线定理。

【分析】根据三角形中位线定理，知四边形EFGH是平行四边形，根据矩形的判定，要使平行四边形EFGH为矩形即要有一角为直角或对角线相等。

要有一角为直角，由三角形中位线定理，只要结四边形ABCD的对角线互相垂直，即AC⊥BD即可。

故选C。

2.（2002江苏镇江3分）给出下列命题：

（1）平行四边形的对角线互相平分。

（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（3）菱形的对角线互相垂直。

（4）对角线互相垂直的四边形是菱形。

其中，真命题的个数为【】

A、4.　　　B、3.　　C、2.　　D、1　。

【答案】B。

【考点】平行四边形的判定和性质，菱形的的判定和性质。

【分析】根据平行四边形的判定和性质，菱形的的判定和性质逐一计算作出判断：

A.平行四边形的对角线互相平分，命题正确；

B.对角线互相平分的四边形是平行四边形，命题正确；

C.菱形的对角互相垂直，命题正确；

D.对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，命题错误。

正确的命题有3个。

故选B。

3.（2003江苏镇江3分）如图，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点，若四边形EFGH的面积为1，则矩形ABCD的面积为【】

A、2B、

C、

D、

【答案】D。

【考点】矩形和正方形的性质

【分析】设小正方形的边长a，那么矩形的面积=（S△AEF＋S△BFG）×2+S四边形EFGH，

即：

，解得

（a＞0）。

∴矩形的面积=3a×5a=

。

故选D。

二、填空题

1.（2001江苏镇江2分）如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB，△ABD是等边三角形，若AB＝2，则CD＝▲，BC＝▲

【答案】1；

。

【考点】等边三角形和直角梯形的性质，含30度角直角三角形的性质。

【分析】∵△ABD是等边三角形，AB＝2，∴BD=AB=2，∠ABD=600。

∵CB⊥AB，∴∠CBD=300。

∴CD=1；BC=

。

2.（2003江苏镇江2分）已知，如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=10，∠ACB=300，则∠AOB=▲度，CD=▲。

【答案】60；5。

【考点】矩形的性质，直角三角形两锐角的关系，含30度角直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质。

【分析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，OA=OB，CD=AB。

∵∠ACB=30°，∴∠BAO=60°，AB=

AC=5。

∴△AOB是等边三角形．∴∠AOB=60°，CD=AB=5。

3.（2003江苏镇江2分）在四边形ABCD中，已知AB∥CD，请补充条件▲（写一个即可），使得四边形ABCD为平行四边形；若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件▲（写一个即可），使得四边形ABCD为菱形。

【答案】AB=CD；AB=AD（答案不唯一）。

【考点】开放型，平行四边形和菱形的判定。

【分析】根据平行四边形的判定，可补充AB=CD，使得四边形ABCD为平行四边形；根据菱形的判定，可补充AB=AD，使得四边形ABCD为菱形。

（答案不唯一）

6.4.（2004江苏镇江2分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别为AB，CD中点，连接EF，若

∠B=50°，AD=3，BC=9，则∠AEF=▲_度，EF=▲.

【答案】50；6。

【考点】梯形中位线定理，平行的性质。

【分析】∵AD∥BC，EF为梯形的中线，∴AD∥EF∥BC。

又∵∠B=50°，∴∠AEF=∠B=50°。

又∵AD=3，BC=9，∴根据梯形中位线等于上下底和的一半，得EF=

（AD+BC）=6。

5.（2007江苏镇江2分）如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AB=2，∠AOB=60°，则对角线AC的长为▲．

【答案】4。

【考点】矩形的性质，等边三角形的判定和性质。

【分析】∵四边形是矩形，∴OA=OB=

AC。

又∵∠AOB=60°，∴△AOB为等边三角形。

又∵AB=2，∴AB=OA=2。

∴AC=2OA=2×2=4。

7.（2009江苏省3分）如图，已知

是梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为

，则梯形ABCD的面积为▲cm2．

【答案】16。

【考点】梯形中位线定理

【分析】根据已知△DEF的高为梯形高的一半，从而根据三角形的面积可求得中位线与高的乘积，即求得了梯形的面积：

设梯形的高为h，

∵EF是梯形ABCD的中位线，∴△DEF的高为

。

∵△DEF的面积为

，∴

。

∴梯形ABCD的面积为

。

8.（2010江苏镇江2分）如图，在平行四边形ABCD中，CD＝10，F是AB边上一点，DF交AC于点E，

且

，则

＝▲，BF＝▲.

【答案】

，6。

【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB。

∴△AFE∽△CDE。

∵

，∴

（相似三角形的面积比等于相似比的平方）。

由△AFE∽△CDE得

，

∵CD＝10，∴AF＝4。

∴BF＝6。

9.（2012江苏镇江2分）如图，E是平行四边形ABCD的边CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AD=4，

，则CF的长为▲。

【答案】2。

【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质的。

【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，BC=AD=4。

∴△CEF∽△ABF。

∴

。

又∵

，BF=BC+CF=4+CF，∴

，解得CF=2。

三、解答题

1.（2003江苏镇江5分）已知，如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF，

（1）求证：

△BCE≌△DCF

（2）若∠FDC=300，求∠BEF的度数

【答案】解：

（1）证明：

∵ABCD是正方形，∴DC=BC，∠DCB=∠FCE。

∵CE=CF，∴△DCF≌△BCE（SAS）.

（2）∵△BCE≌△DCF，∴∠DFC=∠BEC=60°。

∵CE=CF，∴∠CFE=45°。

∴∠EFD=15°。

【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。

【分析】

（1）根据正方形的性质及全等三角形的判定方法即可证明△BCE≌△DCF。

（2）由两个三角形全等的性质得出∠CFD的度数，再用等腰三角形的性质求∠EFD的度数。

9.2.（2004江苏镇江6分）已知：

如图，在

中，对角线AC、BD相交于点O，EF过点O分别交

AD、BC于点E、F.求证：

OE=OF.

【答案】证明：

∵ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC。

∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO。

∴△AEO≌△CFO（AAS）。

∴OE=OF。

【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】要证明线段相等，只需证明两条线段所在的两个三角形全等即可。

3.（2005江苏镇江8分）已知：

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．

（1）求证：

△BCE≌△AFE；

（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．

【答案】解：

（1）证明：

∵AD∥BC，∴∠EAF=∠B，∠BCE=∠F。

又∵E是AB的中点，∴AE=BE。

∴△BCE≌△AFE（AAS）。

（2）∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠DAB=∠ABC=90°。

∵由

（1）△BCE≌△AFE，BC=4，∴AF=BC=4。

又∵E是AB的中点，AB=6，∴AE=BE=3。

∴

。

【考点】平行的性质，全等三角形的判定，勾股定理。

【分析】

（1）直接根据AE=BE，∠B=∠EAF，∠BCE=∠F（AAS）可判定△BCE≌△AFE。

（2）根据

（1）中的证明△BCE≌△AFE得到AF=BC=4，利用勾股定理可求出EF=5。

4.（2005江苏镇江8分）已知：

如图，四边形ABCD中，∠C=90°，∠ABD=∠CBD，AB=CB，P是BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E、F．

（1）求证：

PA=EF；

（2）若BD=10，P是BD的中点，sin∠BAP=

，求四边形PECF的面积．

【答案】解：

（1）连接PC、EF。

∵AB=CB，∠ABD=∠CBD，BD=BD，

∴△ABD≌△CBD（SAS）。

∴∠BAD=∠BCD=90°，AD=CD，∠ADB=∠CDB。

又∵DP=DP，∴△ADP≌△CDP（SAS）。

∴PA=PC。

又∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴四边形PECF是矩形。

∴PC=EF。

∴PA=EF。

（2）在Rt△BAD中，∵P为BD中点，BD=10，

∴AP=

BD=5。

∴PC=EF=5。

∵sin∠BAP=

，∴sin∠PCE=

。

∴EP=5×

＝3。

∴FP=4。

∴EP•FP=3×4=12，即四边形PECF的面积为12。

【考点】全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理。

【分析】

（1）连接PC、EF，根据条件AB=CB，∠ABD=∠CBD，BD=BD，判定△ABD≌△CBD得到AD=CD，∠ADB=∠CDB，从而判定△ADP≌△CDP所以PA=PC=EF。

（2）利用sin∠BAP=sin∠PCE=

和勾股定理求出EP和FP的长，即可求出EP•FP=3×4=12，即四边形PECF的面积为12。

5.（2006江苏镇江5分）已知：

如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交与点O，AB∥CD，AO=CO，

求证：

四边形ABCD是平行四边形。

【答案】证明：

∵AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO。

∵AO=CO，∠AOB=∠COD，∴△ABO≌△CDO（ASA）。

∴AB=CD。

∴四边形ABCD是平行四边形。

【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定。

【分析】要证四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的判定，和已知条件，只需证AB=CD，继而需求证△ABO≌△CDO，由已知条件很快确定ASA，即证。

6.（2007江苏镇江6分）已知，如图，在

中，E、F分别是AD、BC的中点．

求证：

⑴△ABE≌△CDF．

⑵BE=DF．

【答案】证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD，AD=BC。

又∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE=CF。

∴△ABE≌△CDF（SAS）。

（2）由△ABE≌△CDF，得BE=DF。

【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】

（1）要证明△ABE≌△CDF，根据平行四边形的性质，易证AB=CD，∠A=∠C，AE=CF，利用SAS可证得两三角形全等。

（2）由

（1）的结论可以直接得到。

7.（2009江苏省10分）如图，在梯形

中，

两点在边

上，且四边形

是平行四边形．

（1）

与

有何等量关系？

请说明理由；

（2）当

时，求证：

是矩形．

【答案】解：

（1）AD=

BC。

理由如下：

∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，

∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形。

∵AD=BE,AD=FC，

又

四边形AEFD是平行四边形，∴AD=EF。

∴AD=BE=EF=FC。

∴AD=

BC。

（2）证明：

∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，∴DE=AB,AF=DC。

∵AB=DC，∴DE=AF。

又∵四边形AEFD是平行四边形，∴四边形AEFD是矩形。

【考点】梯形，平行四边形的判定和性质，矩形的判定。

【分析】

（1）由题中所给平行线，不难得出四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，而四边形AEFD也是平行四边形，三个平行四边形都共有一条边AD，所以可得出AD=

BC的结论。

（2）根据矩形的判定，对角线相等的平行四边形是矩形．只要证明DE=AF即可得出结论。

8.（2011江苏镇江7分）已知：

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB的中点。

求证：

四边形BCDE是菱形

9.（2012江苏镇江6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在BC边上，且∠GDF=∠ADF。

（1）求证：

△ADE≌△BFE；

（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由。

【答案】解：

（1）证明：

∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE（两直线平行，内错角相等）。

∵E是AB的中点，∴AE=BE。

又∵∠AED=∠BEF，∴△ADE≌△BFE（AAS）。

（2）EG与DF的位置关系是EG⊥DF。

理由如下：

∵∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF，

∴∠GDF=∠BFE（等量代换）。

∴GD=GF（等角对等边）。

又∵△ADE≌△BFE，

∴DE=EF（全等三角形对应边相等）。

∴EG⊥DF（等腰三角形三线合一）。

【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。

【分析】

（1）由已知，应用AAS即可证明△ADE≌△BFE。

（2）由∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF可得∠GDF=∠BFE，从而根据等角对等边得GD=GF；由

（1）△ADE≌△BFE可得DE=EF。

根据等腰三角形三线合一的性质可得EG⊥DF。