学年新人教版数学初中八年级下册1821《矩形》教案docx.docx
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学年新人教版数学初中八年级下册1821《矩形》教案docx
《18.2.1矩形》
本课是在学习了平行四边形后,通过角的特殊化引入了矩形的概念,并研究矩形的性质,得到直角三角形斜边上的中线的性质定理.通过研究性质定理的逆命题探索判定的条件,并从定义出发证明结论,得到矩形的判定定理.
1.理解矩形的概念,明确矩形与平行四边形的区别与联系;
2.探索并证明矩形的性质,会用矩形的性质解决简单的问题;
3.探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理.
4.掌握矩形的两个判定定理,能根据不同条件,选取适当的定理进行推理计算;
5.经历矩形判定定理的猜想与证明过程,渗透类比思想,体会类比学习和图形判定探究的一般思路,发现学生的推理思维.
矩形区别于一般平行四边形的性质的探索、证明和应用.矩形判定的探索、证明和应用.
课件,四根木条制作的平行四边形模型
第一课时
一、观察思考形成概念
活动1:
下图中的独木桥大家玩过吗?
请回答下列问题:
(1)当独木桥前后运动时,四边形ABCD是什么形状?
(2)当独木桥最后停下时,四边形ABCD有什么特殊的变化?
(3)当独木桥静止时,四边形ABCD是什么图形?
【活动说明】学生根据生活中的经验及已学过平行四边形的知识回答上述问题,关键是提醒学生独木桥停止时,铁链条AD和木条由于重力作用互相垂直,并且得到长方形的形象。
活动2:
拿一个活动的平行四边形教具,轻轻拉动一个点,它还是一个平行四边形吗?
为什么?
(动画演示拉动过程如图)
图18-2-1
再次演示平行四边形的移动过程,当移动到一个角是直角时停止,让学生观察这是什么图形?
(小学学过的长方形)引出本节课题及矩形定义.
图18-2-2
[说明与建议]说明:
通过平行四边形教具,操作探究矩形与平行四边形之间的关系,帮助学生体会矩形与平行四边形的区别和联系,感受由平行四边形变为矩形的过程,为研究矩形的性质做铺垫.建议:
在展示平行四边形教具的变化情况后让学生说出它的特征,尤其是和平行四边形相比较特殊的性质.
矩形定义:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形).
举例说明矩形是我们常见的图形之一.学生体会矩形与平行四边形的关系.矩形具有哪些特殊性质呢?
教师强调分析:
矩形只比平行四边形多一个条件:
“有一个角是直角”.
二、类比思考探究性质
活动3矩形性质的探究
1.作为特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形所有的性质.此外,矩形还有哪些一般平行四边形没有的特殊性质呢?
【教师引导】再次演示教具,并用两只橡皮筋分别固定在AC和BD两端,观察再由平行四边形到矩形的过程中,图形的边、角和对角线哪些元素在发生变化,发生变化的元素也就是矩形特有性质的所在.
【学生活动】通过观察演示,发现矩形的特殊性质体现在角和对角线两个方面,通过画图度量,得出猜想.
猜想1:
矩形的四个角都是直角;
猜想2:
矩形的对角线相等.
2.试用推理论证验证上面两个猜想.
已知:
在矩形ABCD中,∠BAD=90°,对角线AC和BD相交于O,
求证:
∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,AC=BD.
证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AB=CD,AB∥CD,∠BCD=∠BAD=90°,∠ABC=∠ADC.
∴∠BAD+∠ABC=90°,
又∵∠BAD=90°,
∴∠ABC=∠ADC=90°.
在△BAD和△CDA中,
∴△BAD≌△CDA.
∴AC=BD.
【小结】
矩形
性质
边
对边平行且相等
角
四个角都是直角
对角线
互相平行且相等
活动4直角三角形斜边上中线的性质
思考下列问题:
三位学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个直角三角形的三个顶点处,目标物放在斜边的中点处.三个人的位置对每个人公平吗?
请画图说明.
一张矩形纸片,沿着对角线剪去一半,你能得到什么结论?
Rt△ABC中,BO是一条怎样的线段?
它的长度与斜边AC有什么关系?
一般地,这个结论对所有直角三角形都成立吗?
请用一句话叙述刚才发现的结论:
定理:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
三、运用性质解决问题
活动5填空:
1.如图,一个矩形纸片,剪去部分后得到一个三角形,则图中∠1+∠2的度数是( )
A.30°B.60°C.90°D.120°
2.如图,在矩形ABCD中,AB<BC,AC,BD相交于点O,
(1)图中等腰三角形的个数是;图中直角三角形的个数为.
(2)若矩形对角线的长是10cm,一边长是6cm,则其周长是______cm,面积是___cm2.
(3)矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4,则矩形对角线的长,则矩形的面积为cm2.
活动6例1 [教材P53例1]如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,∠AOB=60°,AB=4.求矩形的对角线的长.
解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC与BD相等且互相平分.
∴OA=OB.
又∵∠AOB=60°,
∴OA=AB=4,
∴AC=BD=2OA=8.
练习:
如图,矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形的周长的和是86cm,对角线的长是13cm,则矩形的周长是多少?
例2如图,BD,CE是△ABC的两条高,G,F分别是BC,DE的中点.
求证:
FG⊥DE.
解:
连接EG、DG,
∵BD为△ABC的高,
∴∠BDC=90°,
在Rt△BCD中,
∵DG为中线,
∴DG=
BC.
同理,EG=
BC.
∴DG=EG,
又∵EF=DF,
∴FG⊥ED.
四、课堂小结:
1.知识小结:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.矩形是轴对称图形,连接对边中点的直线是它的两条对称轴.
2.知识网络:
第二课时
一、创设情境复习引入
1.回顾平行四边形判定定理的探究过程,想想我们是如何由性质定理猜想出判定定理的?
2.小华想要制作一个矩形相框送给妈妈做生日礼物,于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作,你有什么办法可以检测他制作的是矩形相框吗?
看看谁的方法可行?
[说明与建议]说明:
通过对矩形定义的复习进一步感受什么是矩形,进而明确定义是判定的重要依据,在此基础上通过问题:
还有没有别的条件也能证明一个四边形是矩形呢?
引导学生思考利用其他的条件证明矩形的方法.
建议:
首先师生一起回顾矩形的定义,重点强调概念中的两个要素,并强调定义是最基本的判定方法.而后提出问题:
是否还有其他的判定方法?
是否可类比平行四边形的判定方法呢?
问题提出后给学生一定的思考时间,针对个别学生可以给出适当的引导.
二、合情猜想得出结论
1.矩形的性质定理有哪些?
能否通过研究矩形性质的逆命题,得到判定矩形的方法呢?
猜想1 对角线相等的平行四边形是矩形.
猜想2 三个角是直角的四边形是矩形.
[说明与建议]说明:
学生通过复习性质定理发现,矩形的性质主要体现在对角线和角两个方面,试着让学生说出这两个性质定理的逆命题即判定,教师适时进行条件的规范得出猜想.
建议:
教学中让学生大胆说出猜想,作出尝试就好.在学生说出“矩形的四个角都是直角”这一性质定理的逆命题时,学生会说“四个角是直角的四边形是矩形”,这里老师追问,需要四个角吗?
提醒学生四边形内角和是360°.
2.请同学们证明上面两个猜想.
(1)矩形判定定理1:
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言:
∵四边形ABCD是平行四边形,AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形.
已知:
在平行四边形ABCD中,AC=DB.
求证:
平行四边形ABCD是矩形.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
在△ABD和△DCA中,
∴△ABD≌△DCA(SSS).
∴∠BAD=∠CDA.
又∵AB∥CD,
∴∠BAD+∠CDA=180°,
∴∠BAD=90°.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴□ABCD是矩形.
[说明与建议]
建议:
学生观察、思考后尝试证明判定定理.
教师引导学生证明结论.
提示:
平行四边形的对边相等且平行;有一个角是90°的平行四边形是矩形.
(2)矩形判定定理2:
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言:
∵四边形ABCD是平行四边形,∠A=∠B=∠C=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
已知:
在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证:
四边形ABCD是矩形.
证明:
在四边形ABCD中,∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
又∵∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠D=360°—(∠A+∠B+∠C)=90°.
∴∠A=∠C,∠B=∠D.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵∠A=90°,
∴□ABCD是矩形.
3.练习:
下列各句判定矩形的说法是否正确?
为什么?
(1)有一个角是直角的四边形是矩形;( × )
(2)有四个角是直角的四边形是矩形;( √ )
(3)四个角都相等的四边形是矩形;( √ )
(4)对角线相等的四边形是矩形;( × )
(5)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形;( × )
(6)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;( √ )
(7)对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形;( × )
(8)一组邻边垂直,一组对边平行且相等的四边形是矩形;( √ )
(9)两组对边分别平行,且对角线相等的四边形是矩形.( √ )
三、活用结论形成能力
1.例1[教材P54例2]如图18-2-63,在□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD,∠OAD=50°.求∠OAB的度数.
解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
又∵OA=OD,
∴OA=OB=0C=OD.
∴□ABCD是矩形.
∴∠DAB=90°,
∴∠OAB=∠DAB-∠OAD=40°.
变式练习:
已知▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△AOB是等边三角形,AB=4cm,求这个平行四边形的面积.
解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=
AC,BO=
BD.
∵AO=BO,∴AC=BD.
∴□ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
在Rt△ABC中,∵AB=4cm,AC=2AO=8cm,
∴BC=
=4
(cm).
∴矩形ABCD的面积为4×4
=16
(cm)2.
2.例2已知:
如图18-2-64,▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.求证:
四边形EFGH是矩形.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∴∠DAB+∠ABC=180°.
又∵AE平分∠DAB,BG平分∠ABC,
∴∠EAB+∠ABG=
×180°=90°,
∴∠AFB=90°.
同理可证∠AED=∠BGC=∠CHD=90°.
∴四边形EFGH是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).
四、课堂小结:
略。