新题库第十三章第04节函数的极限与函数的连续性docx.docx

资源描述

新题库第十三章第04节函数的极限与函数的连续性docx.docx

《新题库第十三章第04节函数的极限与函数的连续性docx.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新题库第十三章第04节函数的极限与函数的连续性docx.docx（27页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

新题库第十三章第04节函数的极限与函数的连续性docx.docx

新题库第十三章第04节函数的极限与函数的连续性docx

求函数的极限

1.求下列各极限:

（1）lim

XT8

解：

（1）lim

（2）lim

XT+8

函数的极限与函数的连续性

3x3+4x-l

x3-2x

x3一2x

=lim

HT8

（x2+x）-X2

（2）lim（-\/x2+x-x）

XT+8

（Vx2+x-x）=lim二二lim

“THVx2+X+X“TZ

\x2+兀+X

2•求吋2宀12“1

XT8

解：

lim（—^

XT®2jt-12兀+1

（2x+1）—兀？

（2x_—1）

）=lim

XToo

（2兀2—1）（2兀+1）

=lim

XT8

2x4

+兀‘一2%4+

x3+x2

=lim$9

4；r+2x-2x-1

=lim

1+-

7^~~2

4+——

3.求下列各极限:

（1）

lim

•YT8

5%3

+2/_1

（2）

解:

（1）

lim

XT8

2x3+1

=lim

XT8

（2）

lim

XT8

9=lim

对+5兀一10XToo

lim

XT8

+5x—10

2+4

7^~~i

5+-

（3）lirnVx~—1—V-^2+1。

XT8

lim2+lim—

XT8・YT8兀.

r＜丄［・2~~15+0+05

lim5+lim—lim—

XT8KT8%XT8兀'

_+7

7^~~io

1+——7

r1r2lim—+lim—

XT8XXT8厂c

"s~~=0.lim1+lim——lim—

XT8XT8兀XT8兀

lim=（K—EZE+R）

XT8

7x2-1+a/x2+1

二lim/

f7%2-l+Vx2+l

题型2利用函数的连续性求极限

1.求极限：

lim

宀x2_5x+3

解:

lim

xt2

2八l_2x2—1

—5x+32?

—5x2+3

2.求下列各极限:

…cosx—sinx

azx-ax

-12

（1）

lim

（2）

lim—；

——a>0

cos2x

xtiic+4x—1

cosx-sinx

「cosx-

-sinx

解：

（1）

lim

=lim—；—

——=lim

XT_

cos2x

X^-COS兀一

-sinxJ

cos兀+sin兀

（2）

lim

—cix-12ci

〜—a—12（ci—4）（g+3）

=-4o

XT1

2xa

+4x-l

d+4-1

d+3

—x—6

3求极陆凹EE

解：

XCV1™

（x-2）（2x+3）_lim2兀+3_凹（2兀+3）二_7xt2（兀一2）（2x-3）g22兀一3lim（2x-3）

xt2

4.求卞列各极限:

（1）lim

xt3

⑵1曲、片-3

8Vx+2

解：

（1）lim

.yt3

V，l+X~2=lim

xt3

x-3

（Jl+x—2）（Jl+兀+2）_]曲

（兀一3）（J1+兀+2）*t3（兀—3）（J1+兀+2）

（1+兀）一4

x-3

=lim

XT3（x-3）（71+X+2）

=lim

xt3

（2）怛垢于二凹

（V1—x—3）（V1—x+3）（M兀-_2Vx+4）

（V-V+2）（V-+4）（Jl—兀+3）

（x+8）（V1—x+3）

=lim

大t-8

—（Vx2—2y[x+4）_-[4-2x（-2）+4]

一—2

5.求极限：

lim芈二!

•

Xiy/X-1

Vx-1

解：

lim—p=~=limr-r-zVx-iz（Vx+i）（Vx-i）

=lim——=—.

zVx+12

6.求极限：

lim硏^一丽

XT（）

（a>0）

解：

•.•（//+兀-需）（Ja+x+奶）二x,:

.、］a+x一航二,

Qa十x+Qa

•v4a^x-4ci..xK114a

..lim=lim—/t=—=lim〔亍=—亍=——.

xtox“TO（Jq+x+Jg）兀“to+兀+2』a2d

7.求极限：

lim1+兀~~-

XT（）X

解：

vvm~i==_l,h.二在区间卜仁+切上连续,

Alim戸-1

xtO

%X（5/l+X+1）Jl+X+1Jl+%+1

二lim—二一=-

兀ioji+x+i71+0+12

8•求下列各极限：

⑴呵牛中

⑵］曲心-1

XT°X

解：

（1）

（x1）^2—x

=lim

XTl

V2-1

u+i）（x2+i）（i+i）（r+i）4

（2）lim

・ttO

7171-1lim

兀XT°

（1J-1=lim

X（J1+X+1）IO

Jl+无+1

9.求极限：

lim

xt4

Jl+2x—3

x-4

解：

原式=lim

xt4

l+2x-9

=lim

（x-4）（Vl+2x+3）s4

Jl+2x+371+2x4+3-卞

丫3_Qr4-?

讥求卜列各极限：

⑴咽壬厂

（2）lim1

XTl1一兀3

1-丿

解：

（1）原式=lim（£zM£±£z2）

XT1（I-x）（l+x）

=limx2+V~2=0；

XT1_（］+兀）

（2）原式二lim—=lim

―】（l-x）（l+x+x-）—1

（1—x）（2+Q,二］讪

（1一X）（2+兀+兀2）XT1

11.求极限：

lim（血+延1一_牛）a\-x1—仮

解：

原式二lim（"+”_'2（1+仮））二UmJI+x-、云二恤「一•

.—I1-r1-r2】1-rZ^1+X+<2x4

12.求极限:

2sin2x

lim

E1+COS'兀

解：

lim

2sin~x2（1-cos~x）

=liml+cosrzl+cosr

2（1-cosx）（l+cosx）

=lim

（1+cosx）（l一cosx+cosx）

（2）

lim坂Hi

XT2x-2

解：

（1）

x—3

lim=lim

jvt3兀-—9xt3

x-3

（2）lim

xt2

14.求极限:

解：

lim—~=lim

ZJx一1Z

（x+3）（%一3）23x+36

=lim—

x-1-l

v111

（x-2）（V7H+i）xt2VT^T+iQH+i2

Vx-l

=]jm—-—=—

（坂+1）（依-1）z頁+12*

15.求极限：

lim后^一侖

A->（）

（a>0）

2（1-cosx）2（1+1）4

=lim==-

f1一cos+cos~x1+1+13

r—3

13.求下列各极限：

（1）lim斗二

—3对一9

解：

V（4ci4-x-4ci）（yJa-^-x+4ci）=x,y/a+x-4a=.X——,

Qa十x+Qci

..Qa+x—x11y[ci

..lim=lim—/t=—=lim『f==—=

xt°丫xto（Jq+x+Jq）兀xtoJq+x+Jq2^Ja2a

16.求极限：

lim~-

XTOX

解：

7Vl+X-1=+=1且.在区间[・1,+oo）上连续,

X（a/1+x+1）a/1+X+1a/1+%+1

・•・lim=lim-—=-=^=—=-

5XDJ1+X+]714-0+12

忆求下列各极限：

⑴卿弓乎

⑵lim曲_1

xtOx

解：

（1）]jm（x-lW2-x=]im

XTl工4_]—I

（x4-1）（x24-1）_（1+1）（124-1）_4；

（2）lim

・ttO

E-llim（1J-]=lim

兀XTOx（J1+x+1）xtO

Jl+无+1

18.求极限:

十Jl+2x—3

lim

x—>4

x-4

解：

原式=lim

xt4

l+2x-9

t=lim

（x-4）（Jl+2x+3）s4

Jl+2x+371+2x4+3-亍，

/_Qr4.O

何求卜列各极限：

⑴咽壬厂

（2）lim1

XTl1一兀3

1-丿

解：

（1）原式=lim（£zM£±£z2）

XT1（I-x）（l+x）

=limx2+V~2=0；

XT1_（]+兀）

（2）原式二lim—=lim

21（1-X）（1+X+X^）兀T1

（1—x）（2+Q,二恤

（1-x）（2+x+x2）3

20.求极限：

lim（血+延1一_岂=）

z1-X1-Vx

解：

原式二lim（"+”_"'（I+仮））二Um胡+_、云二恤十•

"TiVl+x+V2x4

XT】X

21.求极限:

■•2sin2xlim—

f1+cos'x

解:

lim

2sin2x“2（1—cos~x）

=lim:

——

1+cosrxt/t1+cosr

=lim

Xf兀

2（1-cos兀）（1+cosx）

（1+cosx）（l-cosX+cos2x）

=Hm2（l-cosx）^2（1^）^xf1-cos+cos^x1+1+13

（2）

心2x-2

22.求下列各极限：

（1）lim4-^-

xt3兀2_9

解:

（1）

i•x—31•

lim—=lim

a—>3〒_9x—>3

x-3

=lim—

（x+3）（x-3）宀x+36

（2）

lim

xt2

如O二lim

x-2XT2

x-1-1

—]jjyj二*二[

（兀-2）（V7^T+i）377^T+iV^T+i2

题型3函数的连续性及应用

1.给定函数f（x）=x-[x],（其中[X]表示不大于X的最大整数）.

（1）求f（0）,（1,5）,f（-2.5）的值；

（2）作出函数f（x）=x-[x]的图象的草图;

（3）求limf（x）,limf（x）,并说明函数f（x）在点处没有极限.

XT广大一>厂

解：

（1）f（0）=0-[0]=0-0=0,f（1.5）=1.5-[1.5]=1.5-1=0.5,f（-2.5）=-2.5-[-2.5]=-2.5-（-3）=0.5.

（2）该函数的图象如图2-3-9所示.

（3）由函数f（x）=x-[x]的图象可以看出,limf（x）=1,limf（x）=0.

XTl-XT广

—4—3—2^1O\2345hlimf（x）Hlimf（x）.从而，函数f（x）在点x=1处没有极限.

XT1xt!

图2-3-9

—（0

2.已知函数f（x）=F（1vXV2）,函数f（x）在点xh；x=2处是否连续？

2x（2

解：

limf（x）=lim一=—,limf（x）=limx2=1,

2x2XT广XT广

Tlimf（x）Hlimf（x）,/•limf（x）不存在，f（x）在点x=1

XT厂XT广XTl

处不连续.

类似地讨论冇:

limf（x）=limf（x）=4,即limf（x）=4,又f

（2）=4,Af（x）在点x=2处连续.

xt2-xt2

评注：

（1）考虑分段函数在分界点处的极限，一般要分左极限、右极限进行讨论来确定，判断函数在一点处是否连续，应准确抓住三个条件，并注意把握思考的顺序：

-•看有无定义，二看极限，三看函数值.

1-Jl-兀（

3.设f（x）=—^（"°）a+bx（x>0）

当a取何什时,函数f（x）是连续的?

解：

limf（x）=lim

xt（t兀一>0一

1_（]_兀）1I

S肿肓=rSf（x）=f（0）=a'•■-当a=i时‘吧f（x）=f（0）>

即函数f（x）在点x=0连续・・••当a=l时,f（x）是处处连续的.

4.已知函数f（x）二＜

aF+bIX（兀V1）

x~\

m（x=1）

bx+clz（、——+1（兀〉1）

x—\

（1）若函数f（x）在x=1处有极限，求a、b、c的值；

（2）若函数f（x）在处连续，求m.

解：

（1）Vlim存在，ax2+b含冇因式即x=1是方程ax2+b=0的根，Aa=-b

YTl-X-l

©:

/.lim=lima（x+1）=2a.同理由lim（加+"+1）存在，得b二・c②;

大一>厂X~\、T1-XT1+X~\

hx+C

lim（-+1）=lim（b+1）=b+1.Vlimf（x）存在，2a=b+1,③

XT广X~\XT广XTl

由①②③解得a二一，b二—,c=—:

333

（2）若函数f（x）在x=1处连续,则有lim=f⑴，由

（1）limf（x）=2a=—,Am=—.

XTlXT133

x-1,%<0,,

5.已知f（x）斗,问limf（x）存在吗？

兀+l,X>0“TO

解:

Vlimf（x）=lim（x-1）=-1,而limf（x）=lim（x+1）=1,Alimf（x）不存在•

A->0"XT（PXT（fXT（T

（2）f（x）=tanx在点x=q处;

6.判断下面函数在所给出的点是否连续:

（1）f（x）=x2-2x+3在点xh处；

（3）

f（x）二

x=0

x2在点x=0处.

——H0

I兀I

解:

（1）函数f（x）=x2-2x+3在点x=4及其附近有定义，且lim（x2-2x+3）=limx2-2limx+3

XTlXTlXT1

=（limx）2-21imx+3=12-2x1+3=2=f

（1）o.*.f（x）=x2-2x+1在点x=1处连续.

XT1XT1

y=tanx的一个间断点.

（3）函数f（x）=<1,

/.limf（x）=Ot但f（0）=1,xtO

（2）函数gx在点旨的附近有定义,但有X石没有定义，也不存在极限，.••点X石是函数

x>0

x=0“J知f（x）在点x=0及其附近有定义.又limf（x）=limf（x）=O,XT（rXT（）+

兀v0limf（x）#f（0）oAf（x）在点x=O处不连续，点x=0是函数f（x）的间断点.

xtO

X"+l（x<_1）,

7•讨论f（x）=U（x=-1）,的连续区间.

兀3+3（x>—1）,

解：

显然f（X）在（・8,・1）和（・1,+切内是连续的，故只需讨论在分界点X=-1处的连续性.

・.•limf（x）=lim（x2+1）=2,limf（x）=lim（x3+3）=2,Alimf（x）=2.当k=2II寸，f（x）在（・《>,+g）内连

XT-厂XT-厂XT-广XT-广XT-1

续；当kH2吋，f（x）在（・8,・1）u（・1,+8）内连续.

[a^x,x>0

&设f（x）二,怎样选择实数a吋，使函数f（x）是连续的?

\e\x<0

解：

limf（x）=lim（a+x）=a,limf（x）=limex=1.又f（O）二a,故当a二*1时，limf（x）=f（O）,上式就说xtO+xt（TxtO

明了f（x）x=O连续.在xHO的其他任何x值，f（x）显然连续.因此，当ah时，f（x）在（・8,+8）是连续的•

ex（X<0）

9.怎样选取实数a,使函数f（x）二彳A在点x=0处连续？

其屮e是无理数.

[a+x（X>0）

解：

f（0）=a+0=a.limf（x）=limex=e°=1,limf（x）=lim（a+x）=a.

XT（）-XT（）-・YT（）*"TO*

[ex（x<0）

令f（0）=limf（x）=limf（x）,得a=1.A选取可使函数f（x）=<'在点x=0处连续.

xt（txto+[a+兀（％>0）

兀2_4

10.讨论f（x）二的连续性；适当定义菜点的函数值，使f（x）在区间（・3,3）上连续.

x-2

兀2-4

解：

・・•分母不能为0,・・・f（x）二的定义域为：

（・8,2）U（2,+8）。

当x*2时,f（x）二x+2,・・・f（x）在（・巴2）

x-2

兀2_4/c\

二7'°工2）此吋f（x）在区间（・3,3）

4,（x=2）

内连续，在（2,+切内连续•・・・x=2不属于f（x）的定义域.・・・f（x）在x=2处不连续.

兀2_4

又Tlim=lim（x+2）=4,不妨设f

（2）=40

XT2x-2xt2

上连续.

r2_4

11.已知函数/（x）二~,

（2）求/（X）的不连续点Xo；

x+2

（1）求/（x）的定义域，并作出函数的图彖；

（3）对心）补充定义，使其是R上的连续函数.

解

（1）当"2M0时，有卅一2,因此，函数的定义域是

兀2一4（-8-2）5—2,+切,当42时，心）二一-=x-2,其图象如右图

x+2

（2）由定义域知，函数/（x）的不连续点是x0=-2.

（3八・当x#-2时,/（x）=x-2,.\lim/U）=lim（x-2）=-4.因此,将心）的表达式改写为

XT-2XT-2

\2-4

2）,则函数心）在r上是连续函数.

-4（x=-2）

12.求证：

方程x=asinx+b（a>0,b>0）至少有一个正根，且它不大于a+b・

解：

设f（x）=asinx+b—x,则f（O）=b>O,f（a+b）二a・sin（a+b）+b—（a+b）二aEsin（a+b）—1]<0,又f（x）在（O,a+b]内是连续函数,所以存在一个x（）w（O,a+b],使f（xo）=O,即x。

是方程f（x）=O的根,也就是方程x=asinx+b的根.因此，方程x=asinx+b至少存在一个正根，几它不大于a+b・

（xv_l）

（-l

（l

13.已知函数f（x）=x（x+l）

log2（x-l）

⑴讨论/（x）在点x=-1,0,1处的连续性；⑵求/（x）的连续区间.

解⑴limKx）=3,lim/（x）=-1,.\lim心）不存在,在x=T处不连续,

但lim/（x）=/（-1）=-1,lim/（x）#/（-1）,Af（x）在x=T处右连续,左不连续

X—>~1XT-厂

lim/（x）=3=/

（1）,limZ（x）不存在，所以limgx）不存在，・・.心）在不连续，但左连续，右不连续.又

X-»rXT1+XT1

lim/（x）=/（O）=O,0T以心）在x=0处连续.

xtO

⑵心）中，区间（―-1）,［一行］,（1,5］上的三个函数都是初等函数,因此心）除不连续点％=±1外,再也无不连续点，所以/（x）的连续区间是（―-1）,［-1,1］和（竄5］・

14.求lin/严7

.34arctan

解:

利川函数的连续性,

即lim/（x）=/（x0）,・・・lim'"~Sin（2-'V）

心必xti4arctanI

sin（2-l）

4arctanl

1-J1-兀

15.若心）二—x—

a+bx

Y°处处连续，求3的值。

x>0

解：

lim.f（x）=lim""

xtOxtO

—=lim/

XA—>01+yj\—x

],・••lim/（-v）=lim（d+bx）=O,・・・c=]

2xtO*xtO*2

2X-1

16.已知函数f（x）=~—

2"+l

（xhO）

1（x=0）

（1）/（x）在x=0处是否连续？

说明理由；

（2）讨论心）在闭区间［-1,0］和［0,1］上的连续性.

1-一（*0）

乙十1片tO“xtO*xtO

1（x=0）

连续。

（2）Rx）在（一8,+8）上除心0外，再无间断点，由⑴知心）在x=0处右连续，・・・心）在［T,0］上是不连续函数，在［0,1］上是连续函数.

（x<0）

a+bx（x>0）

⑴求/（-X）；

（2）求常数3的值，使心）在区间（一8,+8）内处处连续.

J1十X—1（小

解

（1）K—x）二—x—（兀）

a-hx（x»0）

（2）要使心）在（一°%+8）内处处连续，只要心）在％=0连续，

Tlim彳x）二lim=lim=lim=丄；limRx）二lim（a+bx）=m。

.••要Rx）在

xt（fxt（txxto-x（l+J1—兀）xt（f1+U1-x2x->o+xto+

x=O处连续，只要limf（x）=limf（x）=

展开阅读全文