新题库第十三章第04节函数的极限与函数的连续性docx.docx

1、新题库第十三章第04节函数的极限与函数的连续性docx求函数的极限1.求下列各极限:(1) limXT8解：(1) lim(2) limXT+8函数的极限与函数的连续性3x3 +4x-lx3 -2xx3 一 2x=limHT8(x2 + x) - X2(2) lim (-/x2 + x -x)XT+8(Vx2 +x - x) = lim 二二 lim“TH Vx2+X+X “TZ2x2 + 兀 + XX32求吋2宀1 2“ 1XT8解：lim (XT 2jt-1 2兀+ 1(2x +1)兀？ (2x_ 1) = limXToo(2 兀 2 1)(2 兀+1)= limXT82x4+ 兀 一2%

2、4 +x3+x2= lim $ 94；r +2x -2x-1= lim1+-724 +x3.求下列各极限:(1)limYT85%3+ 2/_1(2)解:(1)limXT82x3 +1= limXT8(2)limXT89 =lim对 +5兀一10 XTooX2limXT8+ 5x 102 + 4JT7i5 + -x(3) lirn Vx 1 V-2 +1。XT8lim2 + lim XT8 YT8 兀.r 丄 2 1 5 + 0 + 0 5lim 5 + lim limXT8 KT8 % XT8 兀1_ + 77io1 +7r 1 r 2 lim + lim XT8 X XT8 厂 c s =0

3、. lim 1 + limlim XT8 XT8 兀 XT8 兀lim = (K EZE + R)XT87x2 -1 + a/x2 +1二 lim / f 7%2-l+Vx2+l题型2 利用函数的连续性求极限1.求极限：lim 宀 x2 _5x+3解:limxt22 八l _ 2x21 5x + 3 2? 5x2 + 3152.求下列各极限: cos x sin xazx-ax-12(1)lim(2)lim ； a04cos 2xxti ic + 4x 1cos x-sin x cosx-sin x172解：(1)lim= lim ；=limnXT_cos 2xX- COS 兀一-sin x

4、Jcos 兀 + sin 兀2444(2)limci x - 12 cia 12 (ci 4)(g + 3)=- 4 oXT12x a+ 4x-ld + 4-1d + 3 x 63求极陆凹EE解：XCV1(x-2)(2x + 3)_lim 2兀 + 3_凹(2兀 + 3)二_7 xt2 (兀一 2)(2x-3) g2 2兀一 3 lim(2x-3)xt24.求卞列各极限:(1) limxt31曲、片-38 Vx + 2解：(1) lim.yt3V，l + X2=limxt3x-3(Jl + x 2)( Jl + 兀 + 2) _ 曲(兀一3)(J1 + 兀 + 2) *t3 (兀3)(J1 +

5、 兀 + 2)（1 + 兀）一4x-3= lim XT3 (x-3)(71 +X+ 2)= limxt3（2）怛垢于二凹(V1 x 3)(V 1 x + 3)(M兀-_ 2Vx + 4)(V-V + 2)(V- + 4)(Jl 兀 + 3)(x + 8)(V1 x + 3)= lim大t-8(Vx2 2yx + 4) _ - 4 - 2 x (-2) + 4一 25.求极限：lim芈二!Xi y/X-1Vx-1解：lim p= =lim r- r- z Vx-i z(Vx + i)(Vx-i)=lim =.z Vx + 1 26.求极限：lim硏一丽XT（）(a0)解：.(/ +兀-需)(Ja

6、 + x + 奶)二x, :.、a + x 一航二 ,Q a 十 x + Q a v 4a x-4ci . x K 1 1 4a.lim = lim / t= = lim 亍 =亍 =.xto x “TO (Jq + x + Jg)兀 “to +兀+ 2a 2d7.求极限：lim 1 +兀-XT() X解：vvmi = = _l , h. 二 在区间卜仁+切上连续,A lim 戸-1xtO% X(5/ l+X + 1) Jl+X + 1 Jl+% + 1二 lim 二 一=-兀 ioji + x + i 71 + 0 + 1 28求下列各极限：呵牛中曲心-1XT X解：（1）(x 1)2 x=

7、 limXTlV2-1u+i)(x2 + i) (i+i)(r + i) 4(2) limttO7171-1 lim兀 XT(1J-1 =limX(J1 + X + 1) IO1Jl + 无 +19.求极限：limxt4Jl + 2x 3x-4解：原式=limxt4l + 2x-9, =lim(x-4)(Vl + 2x + 3) s4Jl + 2x+3 71 + 2x4+3 -卞丫3 _ Q r 4- ?讥求卜列各极限：咽壬厂(2) lim 1XTl 1 一兀31-丿解：(1)原式=lim(zMz2)XT1 (I -x)(l +x)= limx2 + V2=0；XT1 _( + 兀)(2)原式

8、二lim =lim】(l-x)(l + x + x-) 1(1 x)(2 + Q,二讪(1 一 X)(2 +兀+ 兀2) XT111.求极限：lim （血+ 延1一_牛） a -x 1仮解：原式二 lim( + ” _ 2 (1 + 仮)二 Um JI + x -、云二恤 一 .I 1 - r 1 - r 2】 1 - r Z 1 +X +()(a0)2(1 -cosx) 2(1 +1) 4= lim = =-f 1 一 cos+ cos x 1 + 1 + 1 3r 313.求下列各极限：(1) lim斗二3 对 一9解： V (4 ci 4- x - 4ci)(yJa-x + 4ci) =

9、x, y/a + x - 4a = . X ,Q a 十 x + Q ci. Q a + x x 1 1 yci.lim = lim / t= = lim f= = = xt 丫 xto (Jq + x+Jq)兀 xto Jq + x + Jq 2Ja 2a16.求极限：lim -XTO X解：7 Vl + X-1 = + = 1 且.在区间1, +oo)上连续,X(a/1 + x +1) a/1 + X + 1 a/1 + % +1 lim = lim - = -=-5 X DJ1+X + 714-0 + 1 2忆求下列各极限：卿弓乎lim曲_1xtO x解：(1)jm (x-lW2-x=i

10、mXTl 工4 _ I(x4-1)(x24-1)_(1 + 1)(124-1)_4；(2) limttOE-l lim (1J- = lim兀 XTO x(J1 + x + 1) xtO1Jl + 无 +118.求极限:十 Jl + 2x 3limx4x-4解：原式=limxt4l + 2x-9t =lim(x-4)(Jl + 2x + 3) s4Jl + 2x+3 71 + 2x4+3 -亍，/ _ Q r 4. O何求卜列各极限：咽壬厂(2) lim 1XTl 1 一兀31-丿解：(1)原式=lim(zMz2)XT1 (I -x)(l +x)= limx2 + V2=0；XT1 _( +

11、兀)(2)原式二lim =lim21 (1-X)(1+X + X)兀 T1(1 x)(2 + Q,二恤(1 -x)(2 + x + x2) 320.求极限：lim (血+延1一_岂=)z 1-X 1-Vx解：原式二lim ( + ” _ (I + 仮)二Um 胡 + _、云二恤 十 Ti Vl + x + V2x 4XT】 X21.求极限: 2 sin2 x lim f 1 + cos x解:lim2sin2 x “ 2(1 cos x) =lim :1 + cosr xt/t 1 + cosr= limXf兀2(1 - cos 兀)(1 +cos x)(1 + cosx)(l - cos X

12、 + cos2 x)=Hm 2(l-cosx) 2(1) xf 1 -cos+ cos x 1 + 1 + 1 3(2)心2 x-222.求下列各极限：(1) lim 4-xt3 兀2 _ 9解:(1)i x 3 1 lim = lima3 _ 9 x3x-3= lim (x + 3)(x - 3)宀 x + 3 6(2)limxt2如O 二 limx-2 XT2x-1 -1jjyj 二 * 二(兀-2)(V7T + i)3 77T + i VT + i 2题型3 函数的连续性及应用1. 给定函数f(x)=x-x,(其中X表示不大于X的最大整数).(1) 求 f(0), (1,5), f(-2

13、.5)的值；(2) 作出函数f(x)=x-x的图象的草图;(3) 求limf(x), limf(x),并说明函数f(x)在点处没有极限.XT广 大一厂解：(1) f(0)=0-0=0-0=0, f(1.5)=1.5-1.5=1.5-1 =0.5, f(-2.5)=-2.5-2.5=-2.5-(-3)=0.5.(2) 该函数的图象如图2-3-9所示.(3) 由函数 f(x)=x-x的图象可以看出,lim f(x)=1, lim f(x)=0.XTl- XT 广 4321 O 2 3 4 5 h lim f(x)H lim f(x).从而，函数f(x)在点x=1处没有极限.XT1 xt! 图 2-

14、3-9(0 x l),2x2. 已知函数f(x)= F(1 v XV 2), 函数f(x)在点xh； x=2处是否连续？2x(2 x 0)当a取何什时,函数f(x)是连续的?解：lim f(x)= limxt(t 兀一0一1 _ ( _ 兀) 1 IS 肿肓=rSf(x)=f(0)=a -当a=i 时吧f(x)=f(0)即函数f(x)在点x=0连续当a=l时,f(x)是处处连续的.4.已知函数f(x)二aF + b IX (兀 V1)xm(x = 1)bx + c lz (、 +1(兀1)x (1) 若函数f(x)在x=1处有极限，求a、b、c的值；(2) 若函数f(x)在处连续，求m .+

15、h解：(1) V lim 存在，ax2+b含冇因式即x=1是方程ax2+b=0的根，Aa=-bYTl- X-l:2/. lim = lim a(x+1)=2a.同理由 lim (加 + + 1)存在，得 b二c ;大一厂 X 、T1- XT1+ Xhx + Clim (- +1) = lim (b+1 )=b+1. V lim f(x)存在，2a=b+1, XT 广 X XT 广 XTl由解得a二一，b二,c=:3 3 32 2 (2)若函数f(x)在x=1 处连续,则有lim=f，由(1) limf(x)=2a= ,Am=.XTl XT1 3 3x -1,%0 “TO解:V lim f(x)

16、= lim (x-1)=-1,而 lim f(x)= lim (x+1)=1,A limf(x)不存在A-0 XT(P XT(f XT(T7T(2) f(x)=tanx 在点 x=q处;6.判断下面函数在所给出的点是否连续:(1) f(x)=x2-2x+3 在点 xh 处；l, (3)f(x)二x = 0x2 在点x=0处.H 0I兀I解:(1)函数 f(x)= x2-2x+3 在点 x=4 及其附近有定义，且lim (x2-2x+3)= lim x2-2 lim x+3XTl XTl XT1=(lim x)2-21im x +3=12-2x1+3=2=f(1)o .*.f(x)=x2-2x+

17、1 在点 x=1 处连续.XT1 XT1y=tanx的一个间断点.(3)函数f(x)= 0x = 0 “J知f(x)在点x=0及其附近有定义.又lim f(x)= lim f(x)=O, XT(r XT()+兀v 0 lim f(x)#f(0)o Af(x)在点x=O处不连续，点x=0是函数f(x)的间断点.xtOX + l(x 1),解：显然f(X)在(8,1)和(1, +切内是连续的，故只需讨论在分界点X = -1处的连续性. lim f(x)= lim (x2+1)=2, lim f(x)= lim (x3+3)=2, A lim f(x)=2.当 k=2 II寸，f(x)在(,+g)内

18、连XT-厂 XT-厂 XT-广 XT-广 XT-1续；当kH2吋，f(x)在(8,1)u(1,+ 8)内连续.ax,x0&设f(x)二 ,怎样选择实数a吋，使函数f(x)是连续的?ex0解：lim f(x)= lim (a+x)=a, lim f(x)= lim ex=1.又f(O)二a,故当a二*1 时，lim f(x)=f(O),上式就说 xtO+ xt(T xtO明了f(x)x=O连续.在xHO的其他任何x值，f(x)显然连续.因此，当ah时，f(x)在(8,+8)是连续的ex(X 0)解：f(0)=a+0=a. lim f(x)= lim ex=e=1, lim f(x)= lim (

19、a+x)=a.XT()- XT()- YT()* TO*ex(x0)令 f(0)= lim f(x)= lim f(x),得 a=1.A选取 可使函数 f(x)= 0)兀2 _ 410. 讨论f(x)二 的连续性；适当定义菜点的函数值，使f(x)在区间(3,3)上连续.x-2兀2-4解：分母不能为0,f(x)二 的定义域为：(8,2)U(2,+8)。当x*2时,f(x)二x+2, f(x)在(巴2)x-2兀2 _4 / c二7工2)此吋f(x)在区间(3, 3)4, (x = 2)内连续，在(2,+切内连续x=2不属于f(x)的定义域.f(x)在x=2处不连续.兀2 _ 4又T lim = l

20、im (x+2)=4,不妨设 f(2)=40XT2 x-2 xt2上连续.r2_411. 已知函数/(x)二 ,(2)求/(X)的不连续点Xo；x + 2(1)求/(x)的定义域，并作出函数的图彖；(3)对心)补充定义，使其是R上的连续函数.解(1)当2M0时，有卅一2,因此，函数的定义域是兀2一4 (-8 -2)52,+切,当 42时，心)二 一-=x-2,其图象如右图x + 2(2)由定义域知，函数/(x)的不连续点是x0=-2.(3八当x#-2时,/(x)=x-2,. lim/U)= lim(x-2) = -4.因此,将 心)的表达式改写为XT-2 XT-22-42),则函数心)在r上是

21、连续函数.-4 (x = -2)12. 求证：方程x=asinx+b(a0,b0)至少有一个正根，且它不大于a+b解：设 f(x)=asinx+bx,则 f(O)=bO,f(a+b)二asin(a+b)+b(a+b)二a Esin(a+b)1 0, 又f(x)在(O,a+b内是连续函数,所以存在一个x()w(O,a+b,使f(xo)=O,即x。是方程f(x)=O的根,也 就是方程x=a sinx+b的根.因此，方程x=asinx+b至少存在一个正根，几它不大于a+b(xv_l)(-lxl)(lx1 XT-厂lim /(x)=3=/(1), lim Z(x)不存在，所以limgx)不存在，.心)

22、在不连续，但左连续，右不连续.又X-r XT1+ XT1lim /(x)=/(O)=O,0T 以 心)在 x=0 处连续.xtO心)中，区间(-1),一行,(1,5上的三个函数都是初等函数,因此心)除不连续点=1外, 再也无不连续点，所以/(x)的连续区间是(-1), -1,1和(竄514.求 lin/严 7.3 4 arctan解:利川函数的连续性,即 lim /(x) = /(x0),lim Sin(2-V)心必 xti 4 arctan Isin(2-l)4 arctan l1 - J1 -兀15.若心)二xa + bxY 处处连续，求3的值。x0解：lim.f(x) = lim xtO

23、 xtOX=lim / X A0 1 + yj x, lim/(-v)= lim(d + bx) = O,c = 2 xtO* xtO* 22X -116.已知函数f(x)= 2 +l(xhO)1 (x = 0)(1) /(x)在x=0处是否连续？说明理由；(2) 讨论心)在闭区间-1,0和0,1上的连续性.1-一 (*0)解 T/W二 . 1 ; lim W=-1, lim /(x)=1,m以lim)不存在，故心)在 x=0 处不乙十1 片 tO“ xtO* xtO1 (x = 0)连续。(2) Rx)在(一8,+8)上除心0外，再无间断点，由知心)在x=0处右连续，心)在T, 0上是 不连续函数，在0,1上是连续函数.(x0)求/(-X)； (2)求常数3的值，使心)在区间(一8,+8)内处处连续.J1十X 1 ( 小解(1)Kx)二x (兀)a-hx (x 0)(2)要使 心)在(一%+8)内处处连续，只要 心)在=0连续，T lim 彳x)二 lim = lim = lim =丄；lim Rx)二 lim (a+bx)=m。.要 Rx)在xt(f xt(t x xto-x(l+ J1 兀) xt(f1 + U1-x 2 x-o+ xto+x=O 处连续，只要 lim f(x)= lim f(x)=