中考数学压轴题十大类型 题目.docx

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中考数学压轴题十大类型题目

中考数学压轴题十大类型

第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题1

第二讲 中考压轴题十大类型之函数类问题7

第三讲 中考压轴题十大类型之面积问题13

第四讲 中考压轴题十大类型之三角形存在性问题19

第五讲 中考压轴题十大类型之四边形存在性问题25

第六讲 中考压轴题十大类型之线段之间的关系31

第七讲 中考压轴题十大类型之定值问题38

第八讲 中考压轴题十大类型之几何三大变换问题44

第九讲 中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究50

第十讲 中考压轴题十大类型之圆56

第十一讲 中考压轴题综合训练一62

第十二讲 中考压轴题综合训练二68

第一讲中考压轴题十大类型之动点问题

1.（2011 吉林）如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD 于点 E，

AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm．从初始时刻开始，动点 P，Q 分别从点 A，B 同时出

发，运动速度均为 1cm/s，动点 P 沿 A-B-C-E 方向运动，到点 E 停止；动点 Q 沿 B-C-E-D

方向运动，到点 D 停止，设运动时间为 x s，△PAQ 的面积为 y cm2，（这里规定：

线

段是面积为 0 的三角形）解答下列问题：

9

2

（2）当 5 ≤ x ≤ 14 时，求 y 与 x 之间的函数关系式．

4

15

梯形ABCD 时 x 的值．

（4）直接写出在整个运动过程中，使 PQ 与四边形 ABCE 的对角线平行的所有 x 的

．．

值．

2.（2007 河北）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，

BC=135．点 P 从点 B 出发沿折线段 BA-AD-DC 以每秒 5 个单位长的速度向点 C 匀速

运动；点 Q 从点 C 出发沿线段 CB 方向以每秒 3 个单位长的速度匀速运动，过点 Q

向上作射线 QK⊥BC，交折线段 CD-DA-AB 于点 E．点 P、Q 同时开始运动，当点 P

与点 C 重合时停止运动，点 Q 也随之停止．设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（t＞0）．

（1）当点 P 到达终点 C 时，求 t 的值，并指出此时 BQ 的长；

（2）当点 P 运动到 AD 上时，t 为何值能使 PQ∥DC

（3）设射线 QK 扫过梯形 ABCD 的面积为 S，分别求出点 E 运动到 CD、DA 上时，

S 与 t 的关系式；

（4）

P

A

D

△PQE 能否成为直角三角形若能，写出 t 的取值范围；

K                         D

若不能，请                 说明理由．

E

B

Q

C

B

C

（4）连结 PG ，当 PG ∥ AB 时，请直接写出 t 的值．

备用图

3.（2008 河北）如图，在 

ABC 中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D，E，F

分别是 AC，AB，BC 的中点．点 P 从点 D 出发沿折线 DE-EF-FC-CD 以每秒 7 个单

位长的速度匀速运动；点 Q 从点 B 出发沿 BA 方向以每秒 4 个单位长的速度匀速运动，

过点 Q 作射线 QK ⊥ AB ，交折线 BC-CA 于点 G ．点 P，Q 同时出发，当点 P 绕行一

周回到点 D 时停止运动，点 Q 也随之停止．设点 P，Q 运动的时间是 t 秒（ t > 0 ）．

（1） D，F 两点间的距离是；

（2）射线 QK 能否把四边形 CDEF 分成面积相等的两部分若能，求出 t 的值．若不能，

说明理由；

（3）当点 P 运动到折线 EF - FC 上，且点 P 又恰好落在射线 QK 上时，求 t 的值；

．．

4.（2011 山西太原）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是平行四边形．直

线 l 经过 O、C 两点．点 A 的坐标为（8，0），点 B 的坐标为（11，4），动点 P 在线段

OA 上从点 O 出发以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，同时动点 Q 从点 A 出发以每

秒 2 个单位的速度沿 A→B→C 的方向向点 C 运动，过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，与折

线 O-C-B 相交于点 M．当 P、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，

设点 P、Q 运动的时间为 t 秒（ t > 0 ），△MPQ 的面积为 S．

（1）点 C 的坐标为________，直线 l 的解析式为__________．

（2）试求点 Q 与点 M 相遇前 S 与 t 的函数关系式，并写出相应的 t 的取值范围．

（3）试求题

（2）中当 t 为何值时，S 的值最大，并求出 S 的最大值．

（4）随着 P、Q 两点的运动，当点 M 在线段 CB 上运动时，设 PM 的延长线与直线 l

相交于点 N．试探究：

当 t 为何值时，△QMN 为等腰三角形请直接写出 t 的值．

5.（2011 四川重庆）如图，矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝2 3，点 O 是 AB 的中

y

l

C

MQ

点相遇时停止运动．在点 E、F 的运动过程中，以 EF 为边作等边△ EFG

EFG

OPAx

和矩形 ABCD 在射线 PA 的同侧，设运动的时间为 t 秒（t≥0）．

（1）当等边△ EFG 的边 FG 恰好经过点 C 时，求运动时间 t 的值；

（2）在整个运动过程中，设等边△ EFG 和矩形 ABCD 重叠部分的面积为 S，请直接

写出 S 与 t 之间的函数关系式和相应的自变量 t 的取值范围；

（3）设 EG 与矩形 ABCD 的对角线 AC 的交点为 H，是否存在这样的 t，使△AOH

是等腰三角形若存在，求出对应的 t 的值；若不存在，请说明理由．

备用图 1

备用图 2

三、测试提高

1．（2011 山东烟台）如图，在直角坐标系中，梯形 ABCD 的底边 AB 在 x 轴上，

416

33

别为（－4，0），（0，4）．动点 P 自 A 点出发，在 AB 上匀速运动．动点 Q 自点 B 出

发，在折线 BCD 上匀速运动，速度均为每秒 1 个单位．当其中一个动点到达终点时，

它们同时停止运动．设点 P 运动 

（秒）时， OPQ 的面积为 

（不能构成OPQ 的

动点除外）．

（1）求出点 B、C 的坐标；

（2）求 S 随 t 变化的函数关系式；

（3）当 t 为何值时 S 有最大值并求出最大值．

备用图

第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题

1.（2011 浙江温州）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A 的坐标为

（-4，0），点 B 的坐标为（0，b）（b＞0）．P 是直线 AB 上的一个动点，作 PC⊥x

轴，垂足为 C，记点 P 关于 y 轴的对称点为 P′ （点 P′不在 y 轴上），连结 P P′，P′A，

P′C，设点 P 的横坐标为 a．

（1） 当 b=3 时，

①直线 AB 的解析式；

②若点 P′的坐标是（-1，m），求 m 的值；

（2）若点 P 在第一象限，记直线 AB 与 P′C 的交点为 D．当 P′D:

DC=1:

3 时，求 a

的值；

（3）是否同时存在 a，

，使P′CA 为等腰直角三角形若存在，请求出所有满足要

求的 a，b 的值；若不存在，请说明理由．

2.（2010 武汉）如

y

图，抛物线

y = ax 2 - 2ax + b

1

3

2

点 B．D

（1）求此抛物线

（2）若抛物线的

B

P

经过 A（－1， ），

与 x 轴交于另一

的解析式；

顶点为 M，点 P 为线

段 OB 上一动点

Q 在线段 MB 上

A             O      C          x

（不与点 B 重合），点

移动，且∠

MPQ=45°，设线段 OP=x，MQ=

2

2

y2，求 y2 与 x 的函数关系式，并直接写出自变量

x 的取值范围；

（3）在同一平面直角坐标系中，两条直线 x=m，x=n 分别与抛物线交于点 E，G，与

（2）中的函数图象交于点 F，H．问四边形 EFHG 能否为平行四边形 若能，求 m，n

之间的数量关系；若不能，请说明理由．

备用图

3.（2011 江苏镇江）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过点 A（1，0）且与 y 轴平行，直线 l

12

过点 B（0，2）且与 x 轴平行，直线 l 与 l 相交于点 P．点 E 为直线 l 上一点，反比例函

122

数 y =

k

x

（k>0）的图象过点 E 且与直线 l 相交于点 F．

1

（1）若点 E 与点 P 重合，求 k 的值；

（2）连接 OE、OF、EF．若 k>2

OEF 的面积

PEF 的面积 2 倍，求点 E 的

坐标；

（3）是否存在点 E 及 y 轴上的点 M，使得以点 M、E、F 为顶点的三角形与△ PEF

全等若存在，求 E 点坐标；若不存在，请说明理由．

4.（2010 浙江舟山）△ ABC 中，∠A=∠B=30°，AB= 2 3 

ABC 放在平面直角坐标

系中，使 AB 的中点位于坐标原点 

（如图），ABC 可以绕点 O 作任意角度的旋转．

（1）当点 B 在第一象限，纵坐标是 6 时，求点 B 的横坐标；

2

的

（2）如果抛物线 y = ax2 + bx + c （a≠0） 对称轴经过点 C，请你探究：

①当 a =5 ， b = - 1 ， c = - 3 5 时，A，B 两点是否都在这条抛物线上并说明理由；

425

②设 b= - 2am，是否存在这样的 m 值，使 A，B 两点不可能同时在这条抛物线上若存

在，直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由．

5.（湖北黄冈）已知二次函数的图象如图所示．

（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点 M 的坐标；

（2）若点 N 为线段 BM 上的一点，过点 N 作 x 轴的垂线，垂足为点 Q．当点 N 在线

段 BM 上运动时（点 N 不与点 B，点 M 重合），设 OQ 的长为 t，四边形 NQAC 面积为

S，求 S 与 t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范围；

（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P

1 PAC 为直角三角形若存在，求出

所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（

）将OAC 补成矩形，使得△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个

顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过

程）．

三、测试提高

1． （2011 山东东营）如图所示，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为（ -3，0 ），

1

2

折线 OAB 于点 E．

（

）记ODE 的面积为 S．求 S 与 b 的函数关系式；

1

2

形为四边形 O A B C ．试探究四边形 O A B C 与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发

11111111

生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

第三讲中考压轴题十大类型之面积问题

1.（2011 辽宁大连）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 经过 A（－1，0）、B（3，0）、C（0，

3）三点，对称轴与抛物线相交于点 P、与直线 BC 相交于点 M，连接 PB．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在一点 

，使QMB 与△PMB 的面积相等，若存在，求点 Q

的坐标；若不存在，说明理由；

（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点

，使 RPM 与△RMB 的面

积相等，若存在，直接写出点 R 的坐标；若不存在，说明理由．

2.（2011 湖北十堰）如图，己知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B，与

y 轴交于点 C（0，-3）．

P

C

M

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图

（1），己知点 H（0，-1）．问在抛物线上是否存在点 G （点 G 在 y 轴的左

侧），使得 

 GHC=

 GHA 若存在，求出点 G 的坐标，若不存在，请说明理由：

（3）如图

（2），抛物线上点 D 在 x 轴上的正投影为点 E（﹣2，0），F 是 OC 的中点，

连接 DF，P 为线段 BD 上的一点，若∠EPF=∠BDF，求线段 PE 的长．

3.（2010 天津）在平面直角坐标系中，已知抛物线 y = - x2 + bx

+c 与 x 轴交于点 A 、 B （点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴的正半轴交于点 C ，顶点为 E ．

（Ⅰ）若 b = 2 ， c = 3 ，求此时抛物线顶点 E 的坐标；

（Ⅱ）将（ Ⅰ ）中 的 抛 物 线 向 下 平 移 ，若 平 移 后 ，在 四 边 形 ABEC 中 满 足 S

△BCE =

 ABC，求此时直线 BC 的解析式；

（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形 ABEC 中满足

 BCE =2S

△AOC，且顶点 E 恰好落在直线 y = -4 x + 3 上，求此时抛物线的解析式．

4.（2011 山东聊城）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝12cm，BC＝8cm．点 E、F、G 分别

从点 A、B、C 同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点 E、G 的速度均为 2cm/s，

点 F 的速度为 4cm/s，当点 F 追上点 G（即点 F 与点 G 重合）时，三个点随之停止移

动．设移动开始后第 ts 时，△EFG 的面积为 Scm2．

（1）当 t＝1s 时，S 的值是多少

（2）写出 S 与 t 之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围；

（3）若点 F 在矩形的边 BC 上移动，当 t 为何值时，以点 B、E、F 为顶点的三角形与

以 C、F、G 为顶点的三角形相似请说明理由．

5. （2011 江苏淮安）如图，在 Rt△ABC 中，

BC=6，点 P 在 AB 上，AP=2，点 E、F

分别沿 PA、PB 以每秒 1 个单位长度的速

运动，点 E 到达点 A 后立刻以原速度沿

F 运动到点 B 时停止，点 E 也随之停止．在

中，以 EF 为边作正方形 EFGH，使它与

的同侧．设 E、F 运动的时间为 t 秒（t

A

G

B     F   C

∠C=90°，AC=8，

同时从点 P 出发，

度向点 A、B 匀速

AB 向点 B 运动，点

点 E、F 运动过程

△ABC 在线段 AB

＞ 0 ）， 正 方 形

EFGH 与△ABC 重叠部分面积为 S．

（1）当 t=1 时，正方形 EFGH 的边长是．当 t=3 时，正方形 EFGH 的边长是．

（2）当 0＜t≤2 时，求 S 与 t 的函数关系式；

（3）直接答出：

在整个运动过程中，当 t 为何值时，S 最大最大面积是多少

A

C

G

EP F             B

备用图

三、测试提高

1.（2010 山东东营）如图，在锐角三角形 ABC 中，BC=12，△ABC 的面积为 48，D，

E 分别是边 AB，AC 上的两个动点（D 不与 A，B 重合），且保持 DE∥BC，以 DE 为

边，在点 A 的异侧作正方形 DEFG．

（1）当正方形 DEFG 的边 GF 在 BC 上时，求正方形 DEFG 的边长；

（2）设 DE = 

，ABC 与正方形 DEFG 重叠部分的面积为 y，试求 y 关于 x 的函数

关系式，写出 x 的取值范围，并求出 y 的最大值．

A

DE

第四讲 A 中考压轴题十大类型之

三角形存在性问题

板块一、等腰三角形存在性

B

1.

7 与正比 函

3

4

x 的图象交于点

A，且与 x 轴交于点 B．

（1）求点 A 和点 B 的坐标；

（2）过点 A 作 AC⊥y 轴于点 C，过点 B 作直线 l∥y 轴．动点 P 从点 O 出发，以每

秒 1 个单位长的速度，沿 O—C—A 的路线向点 A 运动；同时直线 l 从点 B 出发，以

相同速度向左平移，在平移过程中，直线 l 交 x 轴于点 R，交线段 BA 或线段 AO 于

点 Q．当点 P 到达点 A 时，点 P 和直线 l 都停止运动．在运动过程中，设动点 P

运动的时间为 t 秒．是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形若存在，求

t 的值；若不存在，请说明理由．

（备用图）

4

189

轴的交点为点 A，与 y 轴的交点为点 B，过点 B 作 x 轴的平行线 BC，交抛物线于点

C，连结 AC．现有两动点 P，Q 分别从 O，C 两点同时出发，点 P 以每秒 4 个单位

的速度沿 OA 向终点 A 移动，点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 CB 向点 B 移动，点 P

停止运动时，点 Q 也同时停止运动，线段 OC，PQ 相交于点 D，过点 D 作 DE∥OA，

交 CA 于点 E，射线 QE 交 x 轴于点 F．设动点 P，Q 移动的时间为 t（单位：

秒）

（1）求 A，B，C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；

（2）当 t 为何值时，四边形 PQCA 为平行四边形请写出计算过程；

9

2

理由；

（4）当 t 为何值时，△PQF 为等腰三角形请写出解答过程．

板块二、直角三角形

3.（2009 四川眉山）如图，已知直线 y =

1

2

x + 1 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，抛

物线 y =

1

2

EC

x 2 + bx + c 与直线交于 A、 两点，与 x 轴交于 B、 两点，且 B 点坐标为 （1，

0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）动点 P 在 x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点 P 的坐标．

4.（2010 广东中山）如图所示，矩形 ABCD 的边长 AB=6，BC=4，点 F 在 DC 上，DF=2．动

点 M、N 分别从点 D、B 同时出发，沿射线 DA、线段 BA 向点 A 的方向运动（点 M

可运动到 DA 的延长线上），当动点 N 运动到点 A 时，M、N 两点同时停止运动．连

接 FM、FN，当 F、N、M 不在同一直线上时，可得△FMN，过△FMN 三边的中点

作△PWQ．设动点 M、N 的速度都是 1 个单位/秒，M、N 运动的时间为 x 秒．试解

答下列问题：

（

）说明FMN∽△QWP；

（2）设 0 ≤ x ≤ 4（即 M 从 D 到 A 运动的时间段）．试问 x 为何值时，△PWQ 为直角

三角形当 x 在何范围时，△PQW 不为直角三角形

（3）问当 x 为何值时，线段 MN 最短求此时 MN 的值．

C

5.（2011 湖北天门）在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax 2 + bx

+3 与 x 轴的两个交点分别为 A（-3， P）、B（1，0），过顶点 C 作 CH⊥x 轴于点 H．

W

（1）直接填写：

 a =，b=，顶点 C 的坐标为；

（2）在 y 轴上是否存在点 D，使得ACD 是以 AC 为斜边的直角三角形若存在，求

出点 D 的坐标；若不存在，说明理由；QNB

（3）若点 P 为 x 轴上方的抛物线上一动点（点 P 与顶点 C 不重合），PQ⊥AC 于点 Q，

当△PCQ 与△ACH 相似时，求点 P 的坐标．

（备用图）

三、测试提高

1.（2009 广西钦州）如图，已知抛物线 y = 3

4

x2 + bx + c 与坐标轴交于 A、B、C 三点， A

3

4t

上的一个动点，过 P 作 PH⊥OB 于点 H．若 PB＝5t，且 0 < t < 1 ．

（1）填空：

点 C 的坐标是_____，b＝_____，c＝_____；

（2）求线段 QH 的长（用含 t 的式子表示）；

（3）依点 P 的变化，是否存在 t 的值，使以 P、H、Q 为顶点的三角形与△COQ 相

似若存在，求出所有 t 的值；若不存在，说明理由．

第五讲中考压轴题十大类型之

四边形存在性问题

3

4

同时从 O 点出发，同时到达 A 点，运动停止．点 Q 沿线段 OA 运动，速度为每秒 1

个单位长度，点 P 沿路线 O→B→A 运动．

（1）直接写出 A、B 两点的坐标；

（2）设点 Q 的运动时间为 t 秒，△OPQ 的面积为 S，求出 S 与 t 之间的函数关系式；

48

5

的第四个顶点 M 的坐标．

2. （2010 河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A （-4，0） ，B （0， - 4） ，C （2， 0）

三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 

，AMB 的面积为 S．求

S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值．

（3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y = - x 上的动点，判断有几个位置能够

使得点 P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标．

3. （2011 黑龙江鸡西）已知直线 y =3x + 4 3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，

∠ABC=60°，BC 与 x 轴交于点 C．

（1）试确定直线 BC 的解析式；

（2）若动点 P 从 A 点出发沿 AC 向点 C 运动（不与 A、C 重合），同时动点 Q 从 C 点

出发沿 CBA 向点 A 运动（不与 C、A 重合），动点 P 的运动速度是每秒 1 个单位长度，

动点 Q 的运动速度是每秒 2 个单位长度．设△APQ 的面积为 S，P 点的运动时间为 t

秒，求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）在

（2）的条件下，当△APQ 的面积最大时，y 轴上有一点 M，平面内是否存在

一点 N，使以 A、Q、M、N 为顶点的四边形为菱形若存在，请直接写出 N 点的坐标；

若不存在，请说明理由．

7

4. （2007 河南）如图，对称轴为直线 x＝ 2 的抛物线经过点 A （6，0）和 B（0，4）．

（1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点 E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形 OEAF 是以 OA

为对角线的平行四边形，求四边形 OEAF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出

自变量 x 的取值范围；

（3）①当四边形 OEAF 的面积为 24 时，请判断 OEAF 是否为菱形

②是否存在点 E，使四边形 OEAF 为正方形若存在，求出点 E 的坐标；若不存

在，请说明理由．

5. （2010 黑龙江大兴安岭）如图，在平面直角坐标系中，函数 y = 2 x + 12 的图象分别交

x 轴、y 轴于 A、B 两点．过点 A 的直线交 y 轴正半轴于点 M，且点 M 为线段 OB 的

中点．

（1）求直线 AM 的解析式；

   ABP＝

（2）试在直线 AM 上找一点 P，使得

 AOB ，请直接写出点 P 的坐标；

（3）若点 H 为