3．平行四边形的判别方法
①定义：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
②方法1：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
③方法2：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
④方法3：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
⑤方法4：
对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（）
A.88°，108°，88°B.88°，104°，108°
C.88°，92°，92°°，92°，88°
2.若平行四边形的两邻边长分别为12和26，两长边之间的距离为8，则两短边
的距离为
3.如图，在□ABCD中，DB＝DC，∠A＝65°，
CE⊥BD于E，则∠BCE＝.
4、A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD
；④BC＝AD；这四个条件中任选
两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法共有（）
（A）3种（B）4种（C）5种（D）6种
5.三角形的三条中位线长是3cm，4cm，5cm，
则这个三角形的周长为.
6、如图，□ABCD中，对角线AC、BD
交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为（）
A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm
二、矩形
1.矩形定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.矩形性质
边：
对边平行且相等；
角：
对角相等、邻角互补，矩形的四个角都是直角；
对角线：
对角线互相平分且相等；
对称性：
轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．
1.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（）
A.对角相等B.对角线互相平分C.对角线相等D.对边相等
2如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，
如果∠BFA＝30°，那么∠CEF等于（）
3.矩形的判定：
满足下列条件之一的四边形是矩形
有一个角是直角的平行四边形；
对角线相等的平行四边形；
四个角都相等
识别矩形的常用方法
先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．
先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．
说明四边形ABCD的三个角是直角．
1、如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为（）
A.平行四边形B、矩形C、菱形D.正方形
2、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组
的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）
．
A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等
C
．测量一组对角是否都为直角D．测量其中三角形是否都为直角
4.矩形的面积
设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab．
1.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，
过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，
BC＝3.则图中阴影部分的面积为.
2、矩形的面积为120cm2，周长为46cm，则它的对角线长为（）
A、15
cmB、16cmC、17cmD、18cm
三、菱形
1.菱形定义：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2.菱形性质
边：
四条边都相等；
角：
对角相等、邻角互补；
对角线：
对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；
对称性：
轴对称图形（对角线所在直线，2条）．
1.菱形具有而一般平行四边形不一定具有的特征是（）
A.对边相等B.对角线互相平分
C.对角相等D.对角线互相垂直平分
2．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．
3.菱形的判定：
满足下列条件之一的四边形是矩形
有一组邻边相等的平行四边形；
对角线互相垂直的平行四边形；
四条边都相等．
识别菱形的常用方法
先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等．
先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直．
说明四边形ABCD的四条相等．
1.已知四边形ABCD，顺次连接各边中点，得到四边形EFGH，添加下列条件能使四边形EFGH成为菱形的是（）
A.平行四边形ABCDB.菱形ABCD
C.矩形ABCDD.对角线互相垂直的四边形ABCD
2.顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（）
A.菱形B.正方形C.矩形D.等腰梯形
3如图，在菱形ABCD中，对角线AC=4，∠BAD=120°，则菱形ABCD的周长为（）
A．20B．18C．16D．15
4、如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则此菱形的边长为（）
A．5B．6C．8D．10
5、如图，已知菱形ABCD的一个内角
，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且
，则
= 度．
6、如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是_____cm.
4.菱形的面积
设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；
若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱形=
．
1．若菱形的两条对角线的比为3：
4，且周长为20cm，则它的一组对边的距离等于__________cm，它的面积等于________cm2．
四、正方形
1.正方形定义：
有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形。
它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形。
2.正方形性质
边：
四条边都相等；
角：
四角相等；
对角线：
对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；
对称性：
轴对称图形（4条）．
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）
A.对角线互相垂直平分B.内角之和为360°C.对角线相等D.对角线平分内角
点为正方形ABCD的对角线AC上一点，且AE＝AB
连接BE，则∠CBE＝度.
2．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF．若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为（）
（A）10°（B）15°（C）20°（D）25°
3.正方形的判定：
满足下列条件之一的四边形是正方形．
有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形
有一组邻边相等的矩形；
对角线互相垂直的矩形．
有一个角是直角的菱形
对角线相等的菱形；
识别正方形的常用方法
先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等．
先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等．
先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等．
先说明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD的一个角为直角．
4.正方形的面积
、解答题（本大题共52分）
1.（本小题5分）求证：
顺次连接矩形各边中点的四边形是菱形.
2.（本小题5分）如图，□ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，求证：
四边形AECF是平行四边形.
3.（本小题7分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD，
∠C＝60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点.
求证：
四边形AEFD是平行四边形.
4、如图，已知菱形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，∠ABC=116°，AE平分∠CAD，分别交OD、CD于点F、E，求∠AFO的度数.
5.已知
ABCD中，如图，BE平分∠ABC交AD于E，若CE平分∠DCB，且AB=2，求：
ABCD的其余边长．
6、如图，已知M、N、P、Q分别为AB、BD、CD、AC的中点，求证：
四边形MNPQ是平行四边形.
7.（本题6分）已知：
如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE＝∠CBP，BE＝BP.
求证：
⑴△CPB≌△AEB；⑵PB⊥BE.
8.（本题6分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC，BD平分∠ABC.
求证：
⑴AD＝EC；⑵AB＝EC.
9.（本小题10分）如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，
过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，
交∠BCA的外角平分线于点F.
求证：
EO＝FO；
当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论.
10、已知：
在□ABCD中，∠A的角平分线交CD于E，若
，AB的长为8，求BC的长。
11、如图，在
中，
，AD是角平分线，CH是高，交AD于F，
于E.
求证：
四边形CDEF是菱形.
12、如图，在□ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DB，BF，DE
（1）求证：
△ADE≌CBF；
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形请证明你的结论．
13、如图,矩形ABCD中,O是AC与BD的交点,过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F.
（1）
证明:
△BOE≌△DOF.
（2）当EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是菱形,为什么
14．已知：
如图，四边形ABCD是平行四边形，DE证：
四
边形ADEF是平行四边形.
17、已知：
如图，四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别为BC、AD的中点，BA、EF的延长线交于
点M，CD、EF的延长线交于点N.求证：
∠AME=∠DNE.
18、如图，在△ABC中，P是中线AD的中点，连接BP并延长交AC于E，F为BE的中点，求证：
AF∥DE.
19、如图，在□ABCD中，M是OB的中点，连接AM并延长至P.使MP=AM，连接DP交AC于N.
求证：
（1）MN∥AD；
（2）S四边形MPNQ=S△OBC
20如图，AD是△ABC的外角平分线，CD⊥AD于D，E是BC的中点.
求证：
（1）DE∥AB；
（2）DE=
（AB+AC）
21如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD=BC.对角线相交于点O，∠AOB=60°，且E、F、M分别是OD、OA、BC的中点.求证：
△EFM是等边三角形.
22已知：
AD是△ABC的角平分线，E是BC的中点，过E作EG∥AD交AB于F，交CA的延长线
于G.求证：
BF=CG.
23如图，正方形ABCD中，
（1）若AF平分∠BAC，求证：
OE=
CF.
（2）若点E是OB的中点，AE的延长线交BC于F，求证：
BF=
CF.
24如图，
（1）E、F为△ABC的中点，G、H为AC的两个三等分点，连接EG、FH并延长交于D，
连接AD、CD.求证：
四边形ABCD是平行四边形.
（2）若E、F是□ABCD的边AB、BC的中点，DE、DF分别交AC于点G、H.求证：
AG=GH=HC.
25.（本小题8分）如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧
作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF.
求证：
四边形DAEF是平行四边形；
探究下列问题（只填满足的条件，不需证明）：
当△ABC满足条件时，四边形DAEF是矩形；
当△ABC满足条件时，四边形DAEF是棱形；
当△ABC满足条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在
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