相遇与追及.docx

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相遇与追及

相遇与追及

　　例1.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比是3：

2，他们相遇后，甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有14千米，那么，A、B两地间的距离是多少千米？

[答疑编号0518400101]

　　【答案】45

　　【解答】

　　图示：

　　设出发时甲的速度为“3”，则乙的速度为“2”.相遇后，甲的速度为3×（1+20%）=

，乙的速度为2×（1+30%）=

.此时甲乙的速度比为

:

=18:

13.那么，当甲由相遇点到达B时，走了如图所示的2段路程，相同时间内，乙走2×

=

，还剩下3-

=

段，由此知，图上的每一小段长为14÷

=9（千米）.则全程为9×5=45（千米）.

　　基础知识：

　　1）相遇问题：

两人在同一直线上行进，且行进的方向正对着对方（相向而行），则两人在中间某个地点相遇。

　　常用关系：

相遇路程=速度和′相遇时间

　　前提条件：

时间相同（同时出发）

　　2）追及问题：

两人在同一直线上行进，且行进的方向相同（同向而行），如果后面的人速度更快一些，则他会在某个地点追上前面的人。

　　常用关系：

追及路程=速度差′追及时间

　　前提条件：

时间相同（同时出发）

　　例2.从A城到B城，甲要走2小时，乙要走1小时40分钟，若甲比乙先行10分钟，那么乙出发后多少分钟追上甲？

[答疑编号0518400102]

　　【答案】50

　　【解答】甲走完全程用2小时，即120分钟，

　　乙走完全程需1小时40分钟，即100分钟。

　　将A城到B城的路程设为单位“1”，则甲、乙的速度分别为

和

。

　　追及路程即为甲10分钟所走的路程：

，

　　追及时间为：

分钟。

　　例3.自行车队出发12分钟后，小张骑摩托车开始追，在距离出发点9千米处追上.小张立刻返回到出发点并且再次追赶自行车队，在距离出发点18千米处再次追上，那么自行车队每分钟前进多少米？

[答疑编号0518400103]

　　【答案】500

　　【解答】因为两次追上的地点分别距离出发点为9千米和18千米，

　　所以小张在两次相遇之间一共走了9+18=27千米.

　　同时自行车队前进了18-9=9千米，

　　因此小张的速度是自行车队的27÷9=3倍.

　　于是小张骑摩托车开始追自行车队的时候，

　　自行车队应该距离出发点9-9÷3=6千米，

　　而这时车队已经出发了12分钟，

　　所以车队的速度是6000÷12=500米/分钟.

　　总结：

在多人或多段行程问题中，我们要善于根据图示，发现可作为突破口的行程路段。

　　这类行程路段要么有同一个人的三量（路程、速度、时间）之二是已知的，要么有两个人的对应量是已知的。

　　例4.从甲市到乙市有一条公路，它分成三段.在第一段上，汽车速度是每小时40千米；在第二段上，汽车速度是每小时90千米；在第三段上，汽车速度是每小时50千米.已知第一段公路的长恰好是第三段的2倍.现在两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行，1小时20分后，在第二段的三分之一处相遇，那么甲乙两市相距多少千米？

[答疑编号0518400104]

　　【答案】185

　　【解答】

　　图示：

　　如图1，记两辆汽车在B点相遇，

　　并设汽车走完第三段公路（即从乙到C）所用时间为单位1.

　　由于在第一段和第三段公路上汽车的速度比是40:

50，

　　而第一段公路的长是第三段的2倍，所以走完第一段公路的时间是

个单位.

　　那么当从甲市出发的汽车走完第一段公路到达A时，

　　另一辆汽车已经在第二段公路上行驶了1.5个时间单位.

　　因为两辆汽车在第二段公路上的速度相等，

　　所以这时那辆汽车必然已经走了第二段公路的

，

　　因此从这时到两车相遇又经过了1.5个时间单位.

　　这样从两车出发到相遇，一共是2.5+1.5=4个时间单位，

　　所以每个时间单位是

小时，

　　那么甲乙两市之间的距离是

千米.

　　例5.小明从家去学校，出门一段时间后，爸爸发现小明未带铅笔盒，便骑车去追他.两人相遇之后爸爸立即回家，小明继续向学校走.爸爸到家后又发现小明未带作业本，拿着本再骑车去追他，而小明到校后也发现未带作业本，于是跑步回家去拿，与爸爸在途中相遇.已知两次的相遇点重合，相遇之间相差8分钟，且爸爸骑车的速度和小明跑步的速度分别是小明步行速度的4倍和3倍.那么小明步行从家到学校需要多少分钟？

[答疑编号0518400105]

　　【答案】22

　　【解答】依题意，小明跑步从学校到相遇点的速度是他步行从相遇点到学校速度的3倍，

　　所以在这段路程上，步行所用的时间是跑步的3倍，即步行了

分钟.爸爸在相遇点与家之间往返一次需要8分钟，单程要

分钟，因此从家到相遇点小明步行要

分钟.从而小明步行去学校的时间为

分钟.

　　总结：

图示法是分析复杂行程问题的重要方法。

　　例6.甲、乙两辆小汽车分别以每小时90千米和每小时60千米的速度从A地、B地出发相向而行，在此之前有一辆货车从A地出发向B地方向行驶.乙车在途中先与货车相遇，此时甲车距离它们有100千米；之后乙车与甲车相遇，此时货车与它们相距70千米.而当甲车追上货车时，它们已经经过B地又行驶了20千米.

（1）货车每小时行驶多少千米？

（2）甲、乙两地相距多少千米？

[答疑编号0518400106]

　　【答案】

（1）45

（2）300

　　【解答】

（1）从第一次相遇到第二次相遇所用的时间是：

小时，

　　在这一过程中，乙车行驶的路程为：

千米，

　　这说明货车在这一过程中行驶的路程为：

千米，

　　因此货车的速度是：

千米/小时。

（2）从第二次相遇到甲车追上货车的时间为：

小时，

　　这说明第二次相遇点到B地的距离是：

千米，

　　这也是甲乙两车出发到相遇时，乙车所走的路程，

　　由两车的速度之比可得两车的总路程（即A、B两地的距离）：

千米。

　　例1.A、B两地相距4800米，甲住A地，乙和丙住在B地.有一天他们同时出发，乙、丙向A地前进，而甲向B地前进.甲和乙相遇后，乙立刻反身行进，10分钟后又与丙相遇.第二天他们又是同时出发，只是甲行进的方向与第一天相反，但三人的速度没有改变，乙追上甲后又立刻返身行进，结果20分钟后与丙相遇.已知甲每分钟走40米，求丙的速度.

[答疑编号0518400201]

　　【答案】60米／分

　　【解答】由已知，第一天甲、乙相遇时乙、丙的距离是两人每分钟所走路程和的10倍，而第二天甲、乙追及时乙、丙的距离是两人每分钟所走路程和的20倍，因此第二天甲、乙追及时，乙、丙的距离是第一天的2倍.由于乙、丙的距离是乙、丙的速度差与甲、乙相遇所需时间的乘积，所以第二天甲、乙相遇所需时间是第一天的2倍.

　　由于第二天甲、乙追及所需的时间＝AB的距离÷甲和乙的速度差，而第一天甲、乙相遇所需的时间＝AB的距离÷甲和乙的速度和，因此甲、乙的速度和是甲、乙的速度差的2倍.

　　由于甲、乙的速度和是甲的速度的2倍加上两人速度差，因此甲速度的2倍等于甲、乙速度差，由此知乙的速度是甲的3倍，即乙每分钟走40×3＝120米.

　　在第一天中，甲、乙相遇用了4800÷（120＋40）＝30分钟，又乙返回10分钟后与丙相遇，因此乙、丙速度和是乙丙速度差的3倍，从而丙的速度为每分钟120×（3－1）÷（3＋1）＝60米.即丙每分钟走60米.

　　例2.A、B、C、O四个小镇之间的道路分布如图所示，其中A、O两镇相距20千米，B、O两镇相距30千米.某天甲、乙二人同时从B出发，甲到达O镇后再向A镇走，到达A镇后又立刻返回，而乙到达O镇后直接向C镇行进.丙从C镇与甲、乙两人同时出发，在距离O镇15千米处与乙相遇.当丙到达O镇后又向A镇前行，在与O镇相距6千米的地方与甲相遇.已知甲、乙的速度比为8:

9，求O、C两镇之间的距离.

[答疑编号0518400202]

　　【答案】50千米

　　【解答】当乙和丙相遇时，乙已经走了30＋15＝45千米.由于甲乙两人的速度比是8∶9，因此这时甲已经走了45×8÷9＝40千米.

　　当甲和丙相遇时，甲已经走了30＋20×2－6＝64千米，因此两次相遇之间的时间是全部时间的

.

　　而丙在两次相遇之间走的路程是15＋6＝21千米，说明在与甲相遇前他一共走了

千米，所以OC之间的距离是56－6＝50千米.

　　例3.在商场里并排安装有两个速度、长度都一样的自动扶梯，一个向上开，另一个向下开.小明和小强分别同时登上向上的和向下的扶梯.若小明还以一定的速度向上走，则两人经过60秒相遇；若小强也用同样的速度向下走，则两人只需要40秒即可相遇.现在如果他们都站在扶梯上不动，那么两人相遇需要多少秒？

[答疑编号0518400203]

　　【答案】120

　　【解答】设电梯的长度为“1”，则有电梯速度的2倍加一人的速度为

，

　　电梯速度的2倍加两人的速度为

，

　　则人的速度为

，

　　因此电梯速度的2倍为

，

　　若两人都不动，则最后相遇时间为

秒.

　　例4.江上有甲、乙两码头，相距15千米，甲码头在乙码头的上游.一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头出发向下游行驶，5小时后货船追上游船；又行驶了1小时，货船上有一物品落入江中（该物品可以浮在水面上），6分钟后被货船上的人发现了，便掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇.问游船在静水中的速度为每小时多少千米？

[答疑编号0518400204]

　　【答案】15

　　【解答】此题可以分为几个阶段来考虑.

　　第一个阶段是一个追及问题.在货船追上游船的过程中，两者的追及距离是15千米，共用了5小时，故两者的速度差是15÷5＝3千米.由于两者都是顺水航行，故在静水中两者的速度差也是3千米.

　　在紧接着的1个小时中，货船开始领先游船，两者最后相距3×1＝3千米.这时货船上的东西落入水中，6分钟后货船上的人才发现.此时货轮离落在水中的东西的距离已经是货轮的静水速度×

（千米）。

从此时算起，到货轮和落入水中的物体相遇，又是一个相遇问题，两者的速度之和刚好等于货轮的静水速度，

　　所以这段时间是货轮的静水速度×

÷货轮的静水速度＝

小时.

　　按题意，此时也刚好遇上追上来的游船.货船开始回追物体开始时，货船和游船刚好相距3＋3×

＝

千米，两者到相遇共用了

小时。

　　故两者的速度和是每小时

÷

＝33千米，这与它们两在静水中的速度和相等.

　　又已知在静水中货船比游船每小时快3千米，故游船的速度为每小时（33－3）÷2＝15千米.